區域高程異常擬合的分區方案研究

廖俊州 趙仁君

(?？谑型恋販y繪院, 海南 海口 570100)

0 引言

高程異常擬合中經常出現某些擬合精度較低的控制點,因為少量點位精度不夠導致整個區域高程異常擬合精度偏低的情況常有發生[1-4]。有關高程異常分區擬合已有一些較為成熟的成果:高偉等通過區域內高程異常值變化速度作為分區依據,將測區分為兩個區域,取得了較好的擬合效果[5];王昶等在分區邊界使用混合擬合模型獲得了較好的邊界平滑效果[6]。由于平面擬合模型的模型曲面平緩,使用此模型擬合獲得的低精度控制點可以作為擬合中需要重點關注的控制點,通過加權分區分配低精度點的權重,在分區擬合中提高各分區擬合精度,達到精化區域似大地水準面的目的[7-12]。本文分析兩個算例,使用多項式擬合法、最小二乘配置法、多面函數擬合法分別從小面積與大面積兩個方面驗證提出方案的可行性。

1 分區擬合方法

選取測區后,首先使用平面擬合法進行初步擬合處理,可以認為平面擬合法是多項式擬合法的一種特殊情形。在較小區域中似大地水準面是一個比較平坦的曲面,因此可以使用起伏平緩的平面擬合模型進行高程異常擬合。平面擬合模型表達式如下:

F(x,y)=a0+a1x+a2y+v

(1)

式中,ai為模型擬合參數,x為擬合點縱坐標,y為擬合點橫坐標,v為殘差。由于模型有3個參數,因此至少需要3個擬合點才能求解,當然擬合點超過3個時,可使用超定方程組求解待定系數。將式(1)改寫為矩陣形式為:

F(x,y)=AX+v

(2)

再根據式(3)計算即可得參數矩陣B:

B=(XTX)-1XTξ

(3)

式中,ξ為擬合點已知高程異常值。

根據模型參數計算此區域控制點高程異常值中誤差,對比殘差值與中誤差的大小,可得到大于中誤差的殘差點。通常情況下大于中誤差的殘差點不會太多,會集中在幾個較大的點上,將此類點作為分區的依據,將分區分為以大于中誤差的點為主一類與以小于中誤差的點為主一類。以小于中誤差的點為主的分區使用二次曲面模型進行擬合計算,以大于中誤差的點為主的分區擬合時,需要在二次曲面模型的超定方程組解算式中加入權重,權重計算函數為:控制點擬合殘差平方,即殘差較大的點分配較大權重,以改進此類點在擬合中精度偏低的情況。加權解算式在式(3)基礎上略有改動:

B=(XTPX)-1XTPξ

(4)

式中,P為控制點權重矩陣。區域間的邊界重合點會出現多個擬合結果的情況,以多個結果的加權平均值為最終結果,權重計算函數為:該點中誤差平方的倒數,即精度較高的值占有較高的權重。由于本文所用三種數學模型均能在已有文獻中查閱,因此不再敘述模型解算過程,僅在各算例中介紹使用的模型參數。

2 測區概況一

2.1 實驗一

實驗一利用某區域測量成果,由于數據量較大,表1僅列舉其中9組數據(總計45組已知點)。

表1 實驗一已知點的數據 單位：m

對數據進行平面擬合,得到擬合參數(-27.647、0.000 001 44、0.00 005),計算擬合中誤差為0.034 m,確定了大于中誤差的殘差點有8、10、14、27、29、30、31、33、40、43、44,最大殘差為31號點,為0.066 m。大于中誤差的殘差點根據實際情況進行分區處理,見圖1。

如圖1所示,分區一、分區二主要以小于中誤差的點為主,分區三、分區四主要以大于中誤差的點為主,產生了6個邊界重合點:8、9、13、29、30、36,其中分區一共計25個點,分區二共計8個點,分區三共計6個點,分區四共計12個點。由于分區三、分區四主要以大于中誤差的點為主,在此兩分區中計算各點權重,使用式(4)解算擬合殘差。

2.2 算例一

2.2.1模型參數

計算各分區多項式擬合參數如下:

分區一(-6 766.741、0.003 48、-0.000 418、7.641×10-11、-4.477×10-10、1.908×10-10)

分區二(89 178.783、-0.051 8、0.052 8、-1.391×10-8、7.425×10-9、1.955×10-9)

分區三(28 043.848、-0.013 9、-0.002 96、4.915×10-9、1.498×10-9、-1.792×10-8)

分區四(-38 956.746、0.028 1、-0.071、2.348×10-8、-4.924×10-9、-2.353×10-8)

本文最小二乘配置法計算使用已有程序,因此未列出相關系數,由于協方差通常需經過大量觀測資料樣本的統計計算才可得到,故在實際有限樣本的應用中,一般采用平方根函數作為協方差函數。

(5)

多面函數平滑因子在各分區中取值分別為:230、260、1 100、580,模型待定系數見表2。

圖1 分區圖一

表2 多面函數待定系數

2.2.2殘差分析

根據3種數學模型擬合殘差,繪制分區殘差曲線圖,如圖2所示。

圖2 實驗一分區殘差曲線圖

分區擬合后可以看出,多項式擬合模型精度最低,最小二乘配置擬合結果與多項式擬合模型趨勢一致。這是因為本文使用的最小二乘配置擬合是基于多項式擬合模型的,因此僅能在原有的多項式模型基礎上進行一定程度的改進,由于協方差函數使用平方根函數代替導致擬合精度提升有限。分區一絕大多數點是大于中誤差點組成,且分區面積較大,因此分區后精度提高比較有限;分區二雖然僅有兩點為小于中誤差點,但由于采用了加權計算且分區面積小,擬合效果依然很好;分區三多數為小于中誤差點,分區擬合效果較好,殘差很小;分區四分區后擬合殘差依然較大,分析原因可能是該區域測點過于集中,導致整體擬合效果不好。四個分區3種方法擬合中誤差如表3所示。

表3 四個分區的中誤差 單位:m

由表2可知,最小二乘配置法相對多項式模型提升精度比較有限,多面函數模型相對最小二乘配置提升精度也比較有限,這是因為多面函數比較適合大范圍擬合,在小范圍內擬合有時無法體現其模型優勢。最小中誤差為分區三的最小二乘配置模型,中誤差值為0.008 m。

3 測區概況二

3.1 實驗二

實驗二使用92個已知點,平面擬合參數(-325.328、0.000 024 8、0.000 458),計算擬合中誤差為0.094 m,確定了大于中誤差的殘差點有35個,最大殘差為83號點,為0.087 m。將大于中誤差的殘差點表示在圖上并標記紅色,根據實際情況進行分區處理,見圖3,由于本區域較大,篇幅限制不再列舉已知數據,圖上點位緊湊,也不再標記點號。

圖3 分區圖二

由圖3分析可知,分區二、分區四主要以小于中誤差的點為主,分區一、分區三、分區五主要以大于中誤差的點為主,產生了19個邊界重合點,其中分區一共計7個點,分區二共計18個點,分區三共計25個點,分區四共計48個點,分區五共計13個點。由于分區一、分區三、分區五主要以大于中誤差的點為主,在此兩分區中計算各點權重,使用式(4)解算擬合殘差。

3.2 算例二

3.2.1模型參數

計算各分區擬合參數如下:

分區一(447 758.146、-0.005 33、-1.919、1.245×10-8、-4.744×10-11、2.053×10-6)

分區二(12 218.273、-0.015 7、0.073 9、3.221×10-8、1.337×10-10、-2.103×10-7)

分區三(-1 107 165.069、0.469、0.816、-1.205×10-6、1.057×10-8、4.270×10-6)

分區四(-1 690 732.967、-0.581、12.321 2、2.371×10-6、-6.485×10-8、-2.354×10-5)

分區五(-293 932.484、0.0129、1.167、-2.501×10-8、-1.924×10-10、-1.161×10-6)

多面函數平滑因子在各分區中取值分別為:1 200,2 260,1 100,950,1 420,模型待定系數見表4。

表4 算例二模型多面函數待定系數

3.2.2殘差分析

根據3種數學模型擬合殘差,繪制分區殘差曲線圖,如圖4所示。

圖4 實驗二分區殘差曲線圖

大面積測區擬合中多面函數有明顯的擬合優勢,在各分區中擬合精度均處于較高水平。五個分區擬合中誤差結果如表5所示。

由表5可知,多面函數模型在大范圍分區擬合中取得了較好的擬合效果,各分區殘差均較低;最小中誤差出現在分區一的多面函數擬合法中;多項式擬合法與最小二乘配置法擬合精度較低,不適宜于實際工程應用。

表5 五個分區的中誤差 單位：m

4 結束語

本文提出了使用平面擬合中誤差結果作為分區依據的分區方法,通過小面積、大面積兩個實例驗證該方法的擬合效果。實驗證明在兩個測區擬合中均取得了較好的分區擬合效果。分區劃分時需要注意,分區過多雖然能提高精度,但是也會增加計算量,且需要更多的地面已知GNSS控制點,因此應兼顧精度與經濟效益,選擇合適的分區方案。針對3種數學模型分析,發現在小范圍擬合中最小二乘配置法和多面函數擬合法精度接近,但在大范圍擬合中多面函數有明顯的精度優勢,建議在分區擬合中當測區面積較大時使用多面函數擬合法提高擬合精度,在測區面積較小時使用最小二乘配置法即可獲得較高的擬合精度。