基于非參數貝葉斯諧波阻抗估計的諧波責任區分

江友華，劉子瑜，張 煜，楊興武，吳衛民

（1.上海電力大學，上海 200120；2.國網山東省電力公司棗莊供電公司，山東 棗莊 277000；3.上海海事大學，上海 200120）

0 引言

隨著智能電網、主動配電網等概念的提出和逐步實現，我國電網架構和運行方式都較以往發生了巨大變化，大量新能源和電力電子設備的接入，使電網的電能質量問題，尤其是諧波污染問題日益嚴重[1-4]。針對諧波污染的獎懲機制建立問題，國內外已經進行了廣泛而深刻的探討，而獎懲機制建立的前提是諧波責任的合理區分[5]。

諧波責任區分的關鍵問題是諧波阻抗的有效估計。目前，諧波阻抗的估計大多基于線性回歸法[6-10]。一般的線性回歸法在背景諧波電壓變化的情況下，有較大誤差。針對這一問題已進行了很多探討：文獻[11]利用聚類的方法，篩選背景諧波電壓穩定的有效數據段，以期降低背景諧波電壓波動的影響，但系統中存在未知諧波源時，聚類效果變差；文獻[12]將傳統線性回歸模型回歸常數項修改為一個關于時間的函數，利用泰勒公式近似后，采用核估計的方法找到其表達式，據此估計諧波阻抗，該方法僅在背景諧波電壓波動不大的情況下有較理想的效果；文獻[13]采用波形匹配的方法篩選背景諧波電壓相對穩定的數據，對諧波監測數據進行分類處理，分別進行回歸分析。

由以上分析可知：現有的研究往往需要對數據做人為處理或假設，可能引入誤差；對諧波監測數據分類標準不同，方法各異，實際應用時常有局限性，普適性并不理想。針對以上問題，提出一種普適性諧波阻抗估計方法?？紤]背景諧波電壓難以直接測量的特點，在一般線性模型的基礎上將背景諧波電壓視為隱變量，用GMM（高斯混合模型）建模，并指出GMM 參數在實際工程背景下的意義。將GMM 參數、線性模型參數建模為DPM（狄利克雷過程混合模型），推導基于諧波監測數據的各參數的后驗分布，利用MCMC（馬爾科夫鏈-蒙特卡洛）采樣方法從各后驗分布中抽取樣本，進行貝葉斯估計，求解諧波阻抗和背景諧波電壓工況數，并評估諧波責任。

1 含隱變量的多諧波源系統模型

1.1 含未知諧波源的多諧波源系統

近年來隨著光伏、風力機等新能源的并網，電力電子裝置的大量應用，系統中單一諧波源的諧波發射水平可能并不顯著，但大量此類諧波源的共同作用不能忽略。顯然，要逐一監測這些諧波源是不現實的，多諧波源系統中存在未知諧波源。本文將多諧波源系統中的諧波源劃分為關注諧波源和背景諧波源，背景諧波源進一步劃分為可監測諧波源和未知諧波源，其關系如圖1 所示。

這種含有未知諧波源的多諧波源系統的等效電路如圖2 所示，其中，電流和阻抗Z 的下標表示相應的諧波源，c1—ck為關注諧波源，ck+1—cq為可監測諧波源，cq+1—cn為未知諧波源。

圖1 諧波源的分類

圖2 含未知諧波源的多諧波源系統

對于某次諧波，PCC（公共耦合點）處的諧波電壓可表示為：

式中：R 為諧波責任；I 為諧波電流幅值；Upcc為PCC 處諧波電壓幅值；為諧波阻抗的模值；θ為諧波源在PCC 處產生的諧波電壓與的夾角。本文假定系統中各諧波源不存在耦合或已經過解耦處理，將各饋線電流視為諧波源的發出電流。按以下原則評估諧波責任，若R 為正，則對應諧波源發出諧波，應按比例承擔相應責任；若R 為負，則對應濾波源吸收諧波，不應受到懲罰或應得獎勵。

實際工程中，諧波電壓和諧波電流的相角通常難以準確測量，參考文獻[13]的方法，以為基準，將其旋轉至正實軸，其余相量旋轉同樣的角度，此時取式（1）的實部則有：

1.2 背景諧波電壓GMM 及其參數的意義

背景諧波電壓常常包含未知諧波源，因此難以直接測量背景諧波電壓數據，故將背景諧波電壓視為隱變量。用線性回歸法估計諧波阻抗時，式（4）可寫作式（5）：

式中：Upcc，i為PCC 處諧波電壓，即回歸模型的響應變量（i 表示第i 個數據，下同）；Ii為諧波源的諧波電流；Uo，i為背景諧波電壓，是隱變量；εi為隨機誤差，εi～N（0，σε2），服從均值為0、方差為σε2的高斯分布，滿足協方差Cor（εi，εj）=0，i≠j，均值E（εiIi）=0，E（εiUo，i）=0。

背景諧波電壓的分布往往為非標準高斯分布，呈現峰值偏移、多峰、長尾等特征[15]，僅采用核估計法難以準確建模背景諧波電壓分布。高斯混合分布常用于近似表示復雜的非標準分布，故將背景諧波電壓建模為GMM，即Uo，i～N（μi，σi2），且εi～N（0，σε2），由于高斯分布的線性性質，Uo，i+εi服從高斯混合分布，則Upcc，i-ZIi服從高斯混合分布，即：

式中：f（g）為高斯分布的密度函數，其參數為Θc；πc為權重參數，表示數據來自第c 個高斯分布的概率；混合模型有K 個不同的高斯分布，K≤N，N 為數據容量。對于每個數據i，其對應參數Θc，i由μc，i和組成。則有：

式（7）即為背景諧波電壓的GMM。

在實際的工程背景下，背景諧波電壓GMM參數K，c，πc和Θc都具有實際意義：參數K 在GMM 中代表模型中混合的單個高斯分布的個數，在實際背景中代表背景諧波電壓工況的個數，若諧波監測數據屬于同一種背景諧波電壓工況，則其背景諧波電壓服從同一個高斯分布，在一定范圍內保持穩定；參數c 在GMM 中表示數據來自第c 個高斯分布，在實際中表示諧波監測數據屬于第c 個背景諧波電壓工況；參數πc在GMM 中代表數據來自第c 個高斯分布的概率，在實際中表示諧波監測數據屬于第c 個背景諧波電壓工況的概率；參數Θc在GMM 中是第c 個高斯分布的參數，在實際中是第c 個背景諧波電壓工況對應分布的參數。

1.3 基于狄利克雷過程混合模型的參數建模

在含未知諧波源的背景諧波電壓GMM 中，混合分布的元素個數K 難以直接確定?；诓恢付ū尘爸C波電壓服從分布類型的前提，即在“更弱、更一般”的情況下，對參數Θ 引入一個先驗G，G 是一個狄利克雷過程混合分布。Θ 的共軛先驗，即G 的基分布G0如下：

完整的DPM 可以表示為：

式（10）—（14）中：Discrete（g）為離散分布；INVGamma（g）為逆Gamma 分布，a，b 為其參數；Dir（g）為狄利克雷分布，α 為其參數。

基于DPM，可通過從分布中抽樣，用參數估計的方式確定K 及其他參數的值。對DPM 抽樣需要已知參數的后驗分布由貝葉斯定理，各參數的后驗分布可統一表示為：

2 基于MCMC 采樣的諧波責任區分

2.1 模型參數的后驗分布

諧波阻抗的計算和諧波責任區分應建立在對前文模型進行非參數貝葉斯估計的基礎上，需要估計的參數由狄利克雷過程參數{c，Θ，α}和線性模型參數{Z，Uo}兩部分組成。

在貝葉斯理論中，參數估計需要基于參數的后驗分布進行。目前DPM 的后驗分布已有成熟的研究成果[16]，由于其推導較為復雜繁瑣，本文將根據各參數的先驗分布，在已知諧波監測數據的前提下直接給出各參數的后驗分布。

2.1.1 參數c

參數c 和參數Θ 存在一一對應的關系，即ci對應Θi，若ci=cj，則Θi=Θj。首先定義：

其中#（g）為滿足條件的元素個數。由狄利克雷過程定義，ci的先驗為：

定義F（Upcc，i，Θc）為似然函數，b 為歸一化參數，則ci的后驗為：

2.1.2 參數Θ

背景諧波電壓工況對應分布的參數Θ 由μ和σ2組成。其先驗已經在前文給出，如式（8）、式（9）所示。

參數Θ 的后驗分布為：

2.1.3 參數Z

線性模型參數Z，即諧波阻抗的先驗分布可以通過一般的線性回歸分析進行粗估，將粗估結果設為諧波阻抗的先驗分布：

在獲得諧波監測數據后，可以得到諧波阻抗的后驗分布：

2.1.4 參數Uo

Uo的后驗分布為：

2.1.5 參數α

參數α 為狄利克雷過程的集中參數，在實際模型中是背景諧波電壓工況的個數的初始值。由式（14）和式（15）可推導α 的后驗分布為：

式中：Γ（g）為Gamma 函數；α′為α 所有可能的取值。

式（26）即為參數α 的后驗分布。

2.2 MCMC 采樣和諧波責任區分

在推導出各模型參數的后驗分布后，即可使用MCMC 采樣方法對模型各參數進行抽樣。在各模型參數抽樣完畢后，依據線性模型參數Z，即諧波阻抗的抽樣結果，計算其均值作為諧波阻抗的估計值。進而將諧波阻抗Z，即cosθ 帶入諧波責任定義式（2）中，可求出關注諧波源在PCC 處的諧波責任。MCMC 采樣及諧波責任評估流程如圖3 所示。

圖3 MCMC 采樣及諧波責任評估流程

3 案例分析

為驗證文章方法的有效性，利用Simulink 平臺，對IEEE 14 節點測試系統和實際案例中測得的諧波發射水平數據進行測試。IEEE 14 節點測試系統網絡結構如圖4 所示。

圖4 IEEE 14 節點系統

將節點4 視為PCC，在節點2、節點9、節點12 處分別接入諧波源HS1，HS2，HS3，作為關注諧波源，諧波源諧波發射水平分別參照文獻[17]中案例22、案例23、案例25 中5 次諧波電流數據設置；在節點10 處接入HS4 作為濾波源，按案例29[17]的濾波設備數據設置。為模擬圖2 中含有未知諧波源的多諧波源系統，在節點11 接入諧波源HSB，作為背景諧波源。為模擬背景諧波電壓的不同工況，將案例21[17]中5 次諧波發射水平的100%，80%，50%，30%視為4 種不同工況，并加上方差為0.5 的高斯隨機波動，將4 種工況的背景諧波電壓數據等數量混合作為背景諧波電壓。采集3 600 個數據點，包括諧波源HS1，HS2，HS3，HS4 的諧波電流和PCC 處的諧波電壓，組成諧波測量數據集。

根據采集到的諧波數據，使用MCMC 采樣方法對模型參數進行抽樣，依據抽樣結果估計諧波阻抗。進行MCMC 抽樣前，需要設置模型參數的初值，目前還沒有一般性的初值設置方法。對于諧波阻抗初值，先采用一般線性回歸法進行粗估，將粗估結果作為MCMC 采樣的初值，其他參數給出表1 所示的初值參考。

表1 參數初值參考值

文獻[18]指出，一條MCMC 采樣鏈需要經過多次迭代后才能趨于穩定，其抽樣結果才具有用于貝葉斯推斷的意義。因此，對于不同的MCMC采樣鏈，需設置不同的burn-in 值來剔除MCMC采樣穩定前的數據，burn-in 值需要通過具體測試才能確定。通過測試，1 500 次迭代后，MCMC采樣鏈會趨于穩定，因此將burn-in 值設定為1 500，共迭代2 000 次，取最后500 次作為推斷依據數據。

采用非參數貝葉斯估計法和一般線性回歸法分別重復進行20 次諧波阻抗估計試驗。以理論計算諧波阻抗為真實值，將非參數貝葉斯估計法和一般線性回歸法估計諧波源HS1，HS2，HS3諧波阻抗的相對誤差進行對比，結果如圖5—7所示。

圖5 HS1 諧波阻抗估計誤差

圖6 HS2 諧波阻抗估計誤差

圖7 HS3 諧波阻抗估計誤差

由圖5 可知，對于諧波源HS1 的諧波阻抗估計，非參數貝葉斯估計法的估計誤差大部分在5%以內，少數誤差較大的結果不超過10%，一般線性回歸法的估計誤差則在16%～25%。由圖6 可知，對于諧波源HS2 的諧波阻抗估計，非參數貝葉斯估計法的估計誤差在6%以內，一般線性回歸法的估計誤差大部分在6%～12%。由圖7 可知，對于諧波源HS3 的諧波阻抗估計，非參數貝葉斯估計法的估計誤差在6%以內，一般線性回歸法的估計誤差大部分在6%～13%?？梢钥闯觯菂地惾~斯估計法較一般線性回歸法在估計諧波阻抗的精度方面更具優勢。

取20 次重復試驗計算所得諧波責任的平均值作為最終結果。以理論計算諧波責任為真實值，將非參數貝葉斯估計法和一般線性回歸法估計諧波源HS1，HS2，HS3，HS4 的諧波責任進行對比，結果見表2。

由表2 可知，在評估諧波責任方面，非參數貝葉斯估計法比一般線性回歸法精度更高。此外，從諧波責任真實值可以看出，諧波源HS1，HS2，HS3，HS4 的諧波責任總和沒有達到100%，其余部分由背景諧波電壓貢獻，非參數貝葉斯估計法的評估結果較一般線性回歸法更能反映這一事實。

表2 諧波責任評估數據

傳統線性回歸法在處理背景諧波電壓波動的情形時，需要借助聚類算法分別計算各段背景諧波電壓穩定時的諧波責任，然后再進行綜合評估，聚類簇數K 的確定常常需要人為指定。非參數貝葉斯估計法在估計諧波阻抗的同時，可以通過迭代給出背景諧波電壓工況的個數K，即線性回歸法的聚類簇數，而不需要人為指定。重復20次非參數貝葉斯估計法試驗，所得的背景諧波電壓諧波工況數K 的頻數分布如圖8 所示。

圖8 背景諧波電壓工況數頻數分布

可以看出，K=4 的頻數為10，K=3 和K=5 的頻數分別為4 和3，非參數貝葉斯估計法對諧波工況個數的估計較為準確。

4 結語

線性回歸法在背景諧波電壓波動時，對諧波阻抗的估計常常有較大誤差，從而導致諧波責任評估失準；運用聚類-線性回歸法估計諧波阻抗時，在聚類簇個數的設定上又存在主觀性。本文針對以上兩點提出使用非參數貝葉斯估計法估計諧波阻抗，評估諧波責任，較線性回歸法有以下優勢：

（1）非參數貝葉斯估計法估計諧波阻抗的精度高于一般線性回歸法。一般線性回歸法在背景諧波電壓數值波動較大時，誤差較大。實驗表明非參數貝葉斯估計法在非單一背景諧波電壓工況的情況下，仍能保持較為理想的評估精度。

（2）非參數貝葉斯估計法在“更弱、更一般”的假設前提下，直接利用諧波監測數據估計諧波阻抗，評估諧波責任，無需人為干預，無需人工確定聚類簇數，是一種更具普適性的方法。非參數貝葉斯估計法還可以給出背景諧波電壓工況數，為背景諧波電壓的分析與研究提供了一種可行的方法。

此外，與傳統方法相比，非參數貝葉斯估計法含有多次迭代步驟，在運行速度方面并未表現出明顯優勢，因此在對運行速度要求較高的場合，非參數貝葉斯估計法仍需改進或結合其他方法使用，以取得理想效果。