廖山濤與微分動力系統文蘭院士訪談錄

王濤 付曉青

作者簡介：王濤，1988年生，河北武安人，中國科學院自然科學史研究所副研究員，研究方向為近現代數學史。Email：mbokey@126.com;付曉青，1981年生，山東臨淄人，山東大學歷史文化學院講師，研究方向為數學文化。

基金項目：國家自然科學基金（項目編號：11801553）;中國科學院青年創新促進會資助項目（項目編號：2021148）;國家自然科學基金數學天元基金（項目編號：11926403）

訪談整理者按 廖山濤是一位具有國際聲譽和世界影響的中國數學家。他于1920年出生于湖南衡山，1938年考入西南聯合大學數學系，1942年肄業后輾轉于多所中學任教。1946—1950年在北京大學數學系、中央研究院數學研究所工作。1950—1956年赴美留學，在陳省身的指導下獲得芝加哥大學博士學位，并到普林斯頓高等研究院等單位從事代數拓撲的研究工作。1956年回國后任北京大學教授，直至1997年去世。

20世紀60年代，廖山濤從代數拓撲轉向剛剛興起的微分動力系統，是國際上這一領域的幾位先驅者之一。他相繼提出典范方程組和阻礙集兩個基本概念，并以此為核心形成了一套獨特的研究體系（廖理論），是中國微分動力系統的奠基人與開拓者。1986年，第三世界科學院將首次頒發的數學獎授予廖山濤，并選舉他為第三世界科學院院士。廖山濤還于1987年榮獲國家自然科學一等獎，1991年當選為中國科學院院士，1995年榮獲何梁何利科技進步獎。在2002年北京召開的第24屆國際數學家大會上，時任國際數學聯盟主席的帕里斯（J. Palis， 1940— ）在開幕式的講話中高度評價廖山濤的功績，認為中國數學由陳省身、華羅庚、馮康、谷超豪、吳文俊和廖山濤等人共同奠基和培育[1]。

目前科學史界關于廖山濤的研究尚處起步階段。2020年是廖山濤誕辰100周年，北京大學舉辦了“紀念廖山濤先生誕辰100 周年暨微分動力系統研討會”（下稱“研討會”）。經北京師范大學—香港浸會大學聯合國際學院校長湯濤院士的推薦與“研討會”主辦方的邀請，筆者受命為廖山濤撰寫一篇學術傳記。為了詳細了解廖山濤對微分動力系統的貢獻，筆者特地對北京大學數學科學學院文蘭院士進行了訪談。

受訪人文蘭，安徽涇縣人，1946年出生于甘肅蘭州，現為北京大學數學教授。1969年畢業于北京大學數學力學系，1981年研究生畢業于北京大學數學系，導師廖山濤。1986年獲得美國西北大學博士學位，1988年回國后在北京大學工作至今。文蘭長期下苦功學習廖山濤獨創的理論和方法，在微分動力系統的研究中取得了突出的研究成果。文蘭于1996和2011年先后榮獲中國數學會陳省身獎與華羅庚獎，1999年當選為中國科學院院士，2005年當選為第三世界科學院院士，2004—2007年擔任中國數學會理事長。

受訪人：文蘭

訪問整理人：王濤、付曉青

訪談時間：2020年12月4日;2021年7月7日

訪談地點：北京大學數學科學學院文蘭院士辦公室

中圖分類號 N092∶O1

文獻標識碼 A

一 師從廖山濤

王濤、付曉青（以下簡稱“王”）：廖山濤先生于1956年回國任教，您是1964年考入北京大學數學力學系，讀大學時廖先生是否教過您？

文蘭（以下簡稱“文”）： 沒有。作為低年級大學生，我們入學后接觸到的老師主要是教我們基礎課的幾位老師，比如鄧東皋、丁石孫、程慶民等。讀了兩年以后，“文化大革命”開始了，后面就是搞運動。當時自己想不到看書，另外幾乎也沒人看數學書了，天天學習毛主席著作與報刊社論。如果一切正常的話，到高年級選擇專門化時沒準我會接觸到廖先生，但“文革”把這些都打亂了。本來我們應該是1969年畢業，結果到1970年3月才離校，是和1965級一同分配的。

王：您在1978年考取了廖先生的研究生。

文：大學畢業后我被分配到河北獻縣的農村插隊。1977年晚些時候傳出大學要招研究生的消息。由于我大學是在北大念的，自然想回母校讀研究生，但不知道報考誰。很多同學都準備報考當年教過我們的幾位老師，我也有此打算。還異想天開地想學數理邏輯。我的姐姐與姐夫在北大數學系工作，他們給我出主意說廖先生的學問大，建議我報考廖先生。此前我一直在農村教書，根本不清楚廖先生的研究方向——動力系統是什么，甚至連“動力系統”這4個字是什么意思都不知道。

王：他們怎么知道廖先生的學問大？

文：當時“文革”已經結束兩年了，廖先生的重要文章也快要發表出來了，他們在一個系里，誰有學問大家肯定是知道的。事后分析，廖先生大量的深入研究是在“文革”當中做的。當時不僅我們學生荒廢了，絕大多數的老師們也荒廢了。白天都筋疲力盡了，晚上誰還有精力去做研究呢？而且研究數學被視為政治不正確。在這種情況下悄悄堅持數學研究，只能是那種視數學為生命的人。“文革”中有一段所謂的“逍遙”時期，學校里行政機構雖然都癱瘓了，但仍然發工資，我們學生在學校里也還有助學金，但就是不上課，主要工作除了政治學習就是到外面宣傳、串聯與游行。白天的各種活動廖先生肯定是要參加的，那廖先生的時間是從哪里來的呢？他只能是另外加班。那時廖先生住在蔚秀園里的一個獨立的平房小院，相對“與世隔離”，估計他“加班”別人也不知道。他從1956年回國之后一直住在那里，直到20世紀80年代才搬到中關園，從此再也沒有搬過家。就跟中國科學院數學研究所的陳景潤一樣，一開始大家也都不知道，后來形勢一寬松，他就能拿出厚重的研究成果。廖先生也是這樣，只是沒有被報道。

王：廖先生如何指導您學習？

文：讀研究生的時候我有兩位師兄，張筑生和歐陽奕孺。當時國家剛恢復招考研究生，系里沒有統一的研究生課程，都是各個方向的老師們自己解決開課的問題。記得廖先生給我們講過黎曼幾何。后來到蔣云平、岳澄波、丁紅宇、章梅榮的時候可能情況就好一些了，那時候張筑生已經留校了，開了微分動力系統課。廖先生沒有引導我們學習他那一套理論，因為那些內容很難上手，可能我們還“不夠格”吧。廖先生是讓我們學習西方的理論和方法。可以說，跟隨廖先生讀研究生時，我們這些學生對他只有一個抽象的認識——廖先生特棒，其他具體的都不太知道。我們當時也有討論班，廖先生讓我們去讀一些文章，然后在討論班上報告。討論班就不多幾個人，廖先生和他的助手詹漢生老師，再就是我們幾個研究生了。廖先生對我們在討論班上作報告只要求四個字：“甩開稿子”。這四個字看著簡單，其實很厲害，迫使我們不得不把要講的內容消化掉，全部記在腦子里。后來知道這不只是對我們的要求。廖先生一輩子對他自己就是這樣要求的。廖先生給我們講黎曼幾何課，講了三個月，從頭到尾沒看過一眼講稿。他有講稿，但放在桌上，從未打開。

研究生畢業之后我到山東大學工作了一年，1982年9月赴美國攻讀博士。1988年回國后到北大做博士后，當時不像現在有明確的合作導師，其實合作導師就是廖先生。等到與國外建立起學術聯系，信息交相反饋，我們以及國外的學者才越來越多地了解到廖先生的了不起。回國之后我跟廖先生的接觸比以前多了，研究的方向和內容也慢慢向廖先生靠攏。所以我跟廖先生接觸比較密切的是1988—1997年這一段時間，其間廖先生組織的學術活動我基本上都參加了。我和章梅榮、甘少波還辦了個小討論班，專門學習廖先生的這套理論，他知道后也樂見其成。這里我想強調的是，廖先生并不是關起門來做研究。他的眼光開放且長遠，對國外文獻的了解可以說如數家珍。記得有一個暑假，天氣非常炎熱，學校的圖書館里基本沒有人。我進去后發現廖先生正俯身在查閱《數學評論》（Mathematical Reviews）。《數學評論》是和報紙差不多大的厚重開本，人搬不動，字體卻非常小，查閱起來很不容易。廖先生那時已經是古稀之年，他對文獻的了解都是這樣辛苦得來的。

王：有一種說法是廖先生的英文不好，真實情況如何？

文：其實不是。這種說法可能是因為看到廖先生的很多文章是用中文寫的。但這并不說明廖先生的英文不好，更不能簡單地理解為狹隘的民族主義，否則就無法解釋為何他早年與晚年的很多論文是用英文寫的，而且是一手漂亮的英文。實際上，廖先生用中文寫數學論文主要是在回國以后至改革開放之前，那時中國對外隔絕，不可能用英文寫作到國外去發表。我前面提到過，廖先生的很多成果是在“文革”中做出的，他都是用中文寫在厚厚的本子上，改動很少，不像我們現在都是用電腦輸入，很方便改來改去。廖先生當年寫作時事先肯定打好了腹稿。這些稿子在“文革”結束以后稍加整理就可以發表。關于廖先生的英文，我這里還有一個故事。我曾在一篇數學文章的初稿中寫道“an unique solution”，廖先生看到后糾正我說：“unique之前要用a而不是an。”令我受益匪淺。那時我已從美國博士畢業回來，卻不知道這個語法。一些逸聞說廖先生的英文不好，可能是為了反襯廖先生的數學特牛。這個說法有幽默感，因此流傳頗廣。

王：廖先生是怎樣的一個學者？

文：我對廖先生的第一個印象是純粹，這是廖先生最大的特點，他的頭腦與生活中只有數學。其實廖先生也有很多其他才能，比如文學、歷史，但他有意識地壓縮這些愛好，久而久之也就真成了沒有其他愛好了。第二個印象是下苦功。廖先生有幾篇短文，其中有一篇是講功底的[2]。里面有一句話是說一本書要熟悉到閉上眼睛能像放電影一樣，一頁一頁地把那本書放出來的程度。我一直在琢磨這句話是什么意思。我們有時也有一些類似的感受。就是你書的某一段讀得遍數多了，一個定理在書中某頁的具體位置你都會記得，包括使用的符號都會成為你記憶的一部分。廖先生一定是下苦功把幾本最重要的著作消化掉了，也就自然地印在了腦子里。如果只許用一個詞來形容廖先生，我想“堅忍不拔”最為合適。

二 微分動力系統

王：請您簡單介紹一下微分動力系統這門學科。

文：動力系統從19世紀末龐加萊（H. Poincaré， 1854—1912）創立微分方程定性理論開始，他認為方程的式子并沒有那么重要，而是側重于從幾何的觀點看問題，定性理論也就是幾何理論的意思。微分動力系統的研究興起于20世紀60年代初，揭開序幕的是一位來自巴西的數學家，名字叫佩肖托（M. Peixoto， 1921—2019），所以巴西的微分動力系統很強。20世紀50年代末，佩肖托在普林斯頓大學數學系訪問拓撲學家萊夫謝茲（S. Lefschetz， 1884—1972）。萊夫謝茲在晚年的時候非常關心常微分方程的定性理論。20世紀30年代，有一項微分動力系統的萌芽性工作是由蘇聯數學家龐特里亞金（L. S. Pontryagin， 1908—1988）與物理學家安德羅諾夫（A. A. Andronov， 1901—1952）做出的。他們在一篇文章中提出了一個非常重要的概念——結構穩定性（structural stability）。在萊夫謝茲的建議下，佩肖托成功地將蘇聯科學家的結果從圓盤推廣到一般的二維曲面上[3， 4]。

王：可以說是佩肖托打開了微分動力系統的大門？

文：是的。當佩肖托打開這扇大門時，美國數學家斯梅爾（S. Smale， 1930— ）斯梅爾，美國數學家，研究方向涉及拓撲學、動力系統、數理經濟學、計算復雜性、學習理論等領域，以證明五維及其以上的龐加萊猜想而知名。1966年獲得菲爾茲獎，2007年獲得沃爾夫數學獎。剛獲得博士學位不久，在普林斯頓高等研究院做博士后。他得知佩肖托的結果后非常感興趣，也開始研究動力系統。但那時他年輕氣盛，認為只需把微分拓撲的概念加進去，就可以將佩肖托的定理推廣到高維。斯梅爾很快寫了一篇文章，主要內容是佩肖托的定理在高維是如何陳述的，并斷言這個定理在高維依然成立[5]。后來常微分方程的專家萊文森（N. Levinson， 1912—1975）寫信告訴斯梅爾一個反例，后者收到信后半信半疑。那時斯梅爾正在位于巴西的純粹數學與應用數學研究所（簡稱IMPA）訪問，他在海灘上拿著萊文森的文章反復揣摩，累了就游游泳，最終抽出了隱藏在分析式子背后的幾何圖形——馬蹄（horseshoe）[6]。

王：馬蹄的發現有什么意義？

文：馬蹄的發現說明佩肖托的定理在高維確實不成立，表明結構穩定性可以和復雜性共存，這成為現代動力系統開端的標志。與佩肖托相比，斯梅爾雖然只對高了一維的情形進行討論，但他的結果使得更高維的情形都可以想象了，所以是本質性的擴展。

很快，斯梅爾歸納馬蹄、托姆環面自同構等例子，在蘇聯學者阿諾索夫（D. Anosov）重要工作的基礎上提出了雙曲集的概念，并與自己的學生帕里斯一起提出了相當于佩肖托判別條件的高維形式，即著名的“穩定性猜測”，他自己則證明了第一個大范圍結構穩定性定理：離散系統的穩定性定理。穩定性猜測引發出后續很多數學家的重要工作，從而推出了微分動力系統的一個全盛時期[7]。

三 廖山濤的貢獻

王：廖山濤先生是拓撲出身，他是如何注意到微分動力系統這一領域的？

文：廖先生轉向動力系統是在回國以后。佩肖托與斯梅爾的文章發表在1959—1962年。《舊金山時報》在1986年7月2日有過一篇報道[8]，文中說廖先生在1959年從一篇介紹國外微分動力系統的文章中，預感到這門學科將會有巨大的應用價值。這篇報道可能會與陳省身先生有關，因為文中的論述很內行，提到廖先生提出“典范方程組”和“阻礙集”兩個基本概念，以此為核心，形成獨特的研究體系等等。的確，廖先生的獨立性極強，他是不會跟著別人走的，而且一上來就考慮高維的問題。

王：廖先生當時還在開拓撲課吧？

文：是的。那時廖先生已經開始研究動力系統了，但他開的課程仍是拓撲。廖先生在北大數力系帶了幾屆拓撲專門化的學生，我知道1962年畢業的有周作領、熊金城、詹漢生、劉旺金、左再思，1963年畢業的有劉應明，1965年畢業的有唐云與麥結華。他的學生在改革開放后有不少人轉入動力系統。

王：廖先生對微分動力系統的研究獨具特色，這句話怎么講？

文：動力系統在斯梅爾之前基本上只有連續時間動力系統（簡稱“連續系統”）。這類動力系統是從常微分方程來的，里面都有一個連續時間t。時間t從負無窮到正無窮，因此一個點拉出來是一條線，也就是一條軌道。斯梅爾的馬蹄則是第二類動力系統，類似于機器的輸入與輸出，將輸出的值再輸入，反復進行，這就是迭代。因此也有人將動力系統的起源追溯到牛頓（I. Newton， 1643—1727），因為牛頓曾用迭代法求解方程的根。一個數多次迭代后出來是一個數列，從幾何上看則是一個位置的點列。這類動力系統和連續系統在精神上是類似的，只不過微分方程對時間的看法是連續的，迭代對時間的看法是離散的，因此叫做離散時間動力系統（簡稱離散系統）。

斯梅爾開創了離散系統的研究。他通過說明馬蹄映射有無窮多個周期點，進而說明所對應的流有無窮多個周期軌道。這種取截面，然后取返回的映射，是一種將兩種動力系統聯系起來的方式。那是否所有的連續系統的問題都可以轉化為低一維的離散系統呢？實際上并不是。連續系統中流的理論要比離散系統復雜得多。任何離散系統的動力現象都可以在高一維的連續系統里出現，但反過來，并非任何連續系統的動力現象都可以在低一維的離散系統里出現。斯梅爾之后的很多學者開始直接研究離散系統。其實連續系統始終是更根本、也更困難的動力系統。

廖先生從一開始就致力于對更困難的連續系統進行研究，他將其稱為常微系統，認為離散系統只不過是常微系統的“特款”。同樣的問題，離散系統比常微系統容易出結果，所以做常微系統比做離散系統要“吃虧”，但廖先生不為所動。關于這一點，斯梅爾的學生弗蘭克斯（J. Franks）說得好：“常微系統比離散系統要復雜和困難，所以定理總是先在離散系統中被證明，而反例通常首先在常微系統中被發現。”西方學派多從離散系統入手，取得突破，再試圖向常微系統進行推廣。這種研究方式取得了巨大的成就，形成了實力深厚的學派，但畢竟不能代替對常微系統的直接研究。理由如上所述，有些重要的常微系統的問題是不可能轉化為離散系統的。廖先生始終直面常微系統，特別是常微系統中的奇點問題，這是其中最復雜、最困難的問題所在，是離散系統所無法比擬的。

王：那廖先生如何研究常微系統？

文：廖先生相繼提出了“典范方程組”與“阻礙集”兩個基本概念，并以此為核心，形成了一套獨特的研究體系，與西方學派交相輝映而更勝一籌。典范方程組的方法是通過活動標架，把流形上常微系統的相圖的一部分性質，循適當途徑，化成歐氏空間中通常的常微分方程組來討論。這一方法有計算和定量估計上特有的方便。阻礙集是由阻礙點構成的集合，所謂阻礙點即阻礙雙曲性成立的點。雙曲性是一個不變集的性質，是比較整體的，卻可以被一種點的出現而破壞，這本身就耐人尋味。阻礙集理論是廖先生在研究穩定性猜測中創立的，在這個猜想的研究中起著重要的作用。

王：廖先生在穩定性猜測中做了哪些貢獻？

文：穩定性猜測從佩肖托開始就是一個最引人注目的問題，馬蹄就是從這個問題中產生出來的。1970年帕里斯與斯梅爾提出了兩個有基本意義的猜測，其主要內容是：

猜測Ⅰ：結構穩定性蘊含公理A+強橫截。

猜測Ⅱ：Ω穩定性蘊含公理A+無環。

Ω 穩定性是一個比結構穩定性稍弱的概念，即結構穩定蘊含Ω 穩定。兩個猜測的充分性證明分別由羅賓（J. Robbin）-羅賓遜（C. Robinson）與斯梅爾在20 世紀70年代初給出。進一步，皮尤（C. Pugh）-舒伯（M. Shub）與羅賓遜對于常微系統也證明了充分性，被稱為“穩定性定理”。與之相對的是，必要性的證明則十分困難，漸漸被稱為“穩定性猜測”，并在很長一段時間內被稱為動力系統的“中心問題”（central problem）。舒伯在他的著作中寫道：“中心問題確實是中心的。”（The central problem is really central.） [9]

在很長的一段時間內，穩定性猜測這個動力系統領域中最艱深、最硬的“骨頭”不是由美國、俄羅斯或者歐洲的數學家攻克的，而是廖先生和巴西IMPA的馬涅（R. Maé， 1948—1995）馬涅，烏拉圭裔數學家，巴西純粹數學與應用數學研究所教授，1983與1994年兩度在國際數學家大會作報告，1994年當選為巴西科學院院士，同年獲得第三世界科學院數學獎。，他們二人可以說是微分動力系統的兩大支柱。1978 年，馬涅在一個附加條件下對二維離散系統證明了穩定性猜測。1980 年，在復旦大學主辦的《數學年刊》（Chinese Annals of Mathematics）的創刊號上，廖先生發表了“關于穩定性推測”（On the stability conjecture）的論文[10]。他運用自己獨創的阻礙集與“篩濾”引理等工具，在不附帶任何條件的情況下，成功地證明了三維無奇點常微系統的穩定性猜測。通過取扭擴，便自然證明了二維離散系統的穩定性猜測。IMPA的圖書館正好收錄了這期雜志，巴西的數學家告訴我說這一期都被翻得不像樣子了。1984年，廖山濤又進一步證明了四維無奇點常微系統與三維離散系統的穩定性猜測[11]。就穩定性猜測而言，廖山濤對常微系統取得的結果在很長一個時期里比離散系統得到的結果還要早與好，由此可見廖先生這一系列成果的分量。

馬涅對廖先生極為仰慕，廖先生對馬涅也十分欣賞，但他們沒有見過面。1987年，馬涅證明了離散系統的穩定性猜測，這是微分動力系統的一個重大成就。馬涅做出這項工作時還不到40歲，廖先生認為他完全有資格獲得菲爾茲獎，但最終沒有得到，這些事情就很難說了。比起離散系統，廖先生研究的常微系統的穩定性猜測有額外的難度￣——奇點問題。離散系統的不動點與非不動點在雙曲性上沒有本質區別，但流的奇點與非奇點在雙曲性上卻有本質區別。奇點的存在很大程度上相當于破壞了流形的緊性，給整個問題帶來了極大的困難。廖先生的工作為根本上解決奇點問題做了系統的、全面的準備，這些工作到今天仍然在各方面起著重要的作用。

王：廖先生在微分動力系統的地位如何？

文：廖先生所做的研究工作的難度、深度是那個年代中國數學界所能達到的最高水準之一，實際上也是國際上這一領域的最高水準之一。1986年，第三世界科學院將首次頒發的數學獎授予廖先生，以獎勵他在球面周期變換特別是微分動力系統的穩定性理論中做出的貢獻。這是一個國際性的獎項，不是自己申請來的，而是在自己不知道的情況下被第三世界科學院授予的，被認為是那個年代我國國際獎項的“零的突破”。1987年，廖先生又獲得了我國自然科學領域的最高獎項——國家自然科學一等獎。

不僅如此，在解決穩定性猜測的過程中，廖先生（馬涅也獨立注意到，但稍晚）還注意到了一個更強的所謂星號流的問題：如果周期軌道在擾動下不逼近奇點，星號流是否滿足公理A+無環？星號流問題實際上蘊含了穩定性猜測，因而對微分動力系統有著深遠的影響。廖先生是以問題而不是猜測的形式提出的，實際上他傾向于答案是正面的。由于星號流的要求條件太弱了，而公理A+無環的性質卻如此之強，因此一般人不敢設想這樣的問題。廖先生對星號流問題做了基本性的貢獻。他在1981年發表的《阻礙集Ⅱ》中證明，在“強分離”（即不同指標的周期軌道或奇點之間在擾動下不相互逼近）條件下，星號流滿足公理A+無環[12]。這是當時微分動力系統領域的最高成就，足以俯瞰世界。

廖先生生前對星號流問題一直非常關心。他在著作《微分動力系統的定性理論》的前言中強調了常微系統與離散系統的區別并提請讀者注意附錄，而在附錄中他明確點出了星號流問題并指出：如果星號流沒有奇點，相應的結論是否成立在目前尚是一難題[13]。2006年甘少波與文蘭合作，終于解決了廖先生和馬涅提出的星號流問題，即如果周期軌道在擾動下不逼近奇點，則星號流滿足公理A+無環。文章的副標題為向廖先生與馬涅致敬，以紀念這兩位微分動力系統的偉大學者[14]。

王：廖先生給我們留下了哪些遺產？

文：如果談廖先生最有特點的“殺手锏”式的工具，我認為應該是他的篩濾引理和準雙曲軌弧的跟蹤引理。這兩個工具所起的作用對一些重要問題是其他工具無法代替的。國外一些頂尖的學者已經注意到這個情況，也開始學習使用這兩個工具。至于一般地說廖先生給我們留下的遺產，那就太多了。從大處講，比如典范方程組與阻礙集，我們尚在學習中，離完全掌握尚有很大的距離，這方面甘少波與楊大偉學習、掌握的最好。廖先生另一大塊工作是微分遍歷論，這方面孫文祥學習、掌握的最好。實際上，我們有不少學生對廖理論有相當程度的了解和掌握。廖先生可以欣慰的是，以文蘭、甘少波、孫文祥、楊大偉、田學廷等為代表的中國數學家，使用他的理論解決了國際上的不少重要問題。例如，1997 年日本學者哈雅西（S. Hayashi）證明了連接引理，并藉此證明了任意維常微系統的穩定性猜測。而在此前兩年，文蘭在假定了一種連接引理的情況下也給出了證明。2000 年文蘭又與夏志宏合作給出了這一連接引理的證明。

國際上有一個叫做“Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity”系列動力系統會議，是由巴西、美國與法國的數學家在2003—2004年倡導發起的，大概從2007—2008年開始增加了中國。此后這個會議一直由這4個國家輪流組織。這說明中國的動力系統在國際上是有地位的，也證明廖先生給我們留下的遺產確實是豐厚的。

王：聽了您的講解，我們對微分動力系統這門學科的發展，特別是廖山濤先生對微分動力系統的貢獻有了一個初步的認識。非常感謝您接受我們的采訪，祝您生活愉快！

致謝 本文在整理過程中得到了南方科技大學鄭如松博士、廈門大學王昕晟博士的幫助。完稿后文蘭院士進行了審閱修訂，河北師范大學鄧明立教授給予了支持鼓勵，特此致謝。

參考文獻

[1] Palis J. Opening ceremony[A]. Li D Q. Proceedings of the international congress of mathematicicians（2002 Beijing）： vol 1[C]. Higher Education Press， 2002. 14.

[2] 廖山濤. 思考[A]. 北京大學中國名人叢書編委會編. 苦澀的夢[C]. 長春： 北方婦女兒童出版社， 1990. 47—51.

[3] Peixoto M.. Structural stability on two-dimensional manifolds[J]. Topology， 1962， 1（2）： 101—120.

[4] Peixoto M.. On structural stability[J]. Annals of Mathematics， 1959， 69（1）： 199—222.

[5] Smale S.. Morse inequalities for a dynamical system[J]. Bulletin of The American Mathematical Society， 1960， 66（1）： 43—49.

[6] Smale S.. On how I got started in dynamical systems[A]. Smale S. The Mathematics of Time[C]. New Yrok： Springer， 1980. 147—151.

[7] 文蘭. 微分動力系統[M]. 北京： 高等教育出版社， 2015. 1—3.

[8] 董鎮喜， 文蘭， 孫文祥. 廖山濤論微分動力系統[M]. 濟南： 山東教育出版社， 2000. 444—445.

[9] Shub M.. Global Stability of Dynamical Systems[M]. New York： Berlin-Heidelberg， 1987. 114.

[10] Liao S T.. On the stability conjecture[J]. Chinese Annals of Mathematics， 1980， 1（1）： 9—30.

[11] 廖山濤. 關于結構穩定的特征性質[J]. 應用數學和力學， 1984， 5（6）： 771—775.

[12] 廖山濤. 阻礙集（Ⅱ）[J]. 北京大學學報（自然科學版）， 1981， 17（2）： 1—36.

[13] 廖山濤. 微分動力系統的定性理論[M]. 北京： 科學出版社， 1992. 368.

[14] Gan S B， Wen L.. Nonsingular star flows satisfy Axiom A and the no-cycle condition[J]. Inventiones Mathematicae， 2006， 164（2）： 279—315.