基于Kramers-Kronig關系的油紙絕緣直流電導計算方法

何津, 鄒陽

(福州大學電氣工程與自動化學院, 福建 福州 350108)

0 引言

油紙絕緣作為一種經典的復合絕緣介質， 具有絕緣性能良好、 成本低廉、 取材方便等優點， 廣泛應用于電力系統的變壓器、 絕緣套管等設備上[1]. 油紙絕緣在運行過程中受到電、 熱、 機械力的作用， 難免發生老化劣化的現象， 若不及時處理， 將導致設備故障， 造成不必要的損失. 目前針對油紙絕緣狀態的檢測方法分為傳統診斷方法和介電響應診斷法， 而后者具有攜帶信息量大， 抗干擾強、 無需吊芯等優點， 更適合于現場診斷， 成為研究熱點[2].

介電響應診斷法有時頻域之分， 其中時域響應有回復電壓法、 極化-去極化電流法， 頻域響應有頻域介電譜法. 無論是時域還是頻域， 油紙絕緣的介電響應譜線都包含豐富的絕緣狀態信息. 文獻[3]分析了不同絕緣狀態下回復電壓最大值、 主時間常數和初始斜率等回復電壓極化特征量的變化規律； 文獻[4]用極化-去極化電流法測量了不同服役時間變壓器的水分質量分數， 詳細地分析了變壓器老化過程與水分質量分數的關系； 文獻[5]發現隨著絕緣油電導率增加， 低頻域電導損耗特性逐漸向高頻擴展， 卻無法將電導損耗譜線分離出來； 文獻[6]基于擴展德拜等效電路， 驗證了最小和最大時間常數支路中的RC參數能反映絕緣紙的老化狀態， 但其模型參數的確定具有隨機性； 文獻[7]基于去極化電流譜， 提出微分解譜法確定擴展德拜模型的極化支路參數， 但無法確定模型中的絕緣電阻. 以上研究表明， 對于利用油紙絕緣介電響應來診斷老化狀態取得一定的成果， 但是還存在對介電譜信息挖掘不夠深刻， 等效模型中描述電導的參數無法唯一確定的問題.

針對以上問題， 本研究在油紙絕緣樣品FDS測量數據的基礎上， 提出基于Kramers-Kronig關系的油紙絕緣直流電導計算方法. 首先， 在實驗室的條件下制備不同水分含量的油紙絕緣樣品， 并利用Dirana介電分析儀測量其頻域響應譜線； 然后， 根據Kramers-Kronig關系對測量復極化率實部譜線進行積分， 獲得剔除電導后的弛豫損耗譜線， 進而得到電導損耗譜線； 最后， 使用最小二乘法對電導損耗譜線進行擬合， 結合電導在雙對數坐標系的頻域特性， 計算出電導值， 并驗證其正確性.

1 頻域介電響應特性分析

1.1 復電容的實部和虛部之間的關系

在交變電場中， 油紙絕緣介質同時存在帶電粒子的轉移過程和表面結合效應， 分別導致電導過程以及極化過程. 隨著電場頻率的變化， 極化和傳導過程發生不同程度的響應， 材料中輸出電流的相位和幅度也會發生變化. 復電容是關于電流和電壓的函數， 可以反映電荷的傳導和極化[8]， 公式如下：

(1)

其中：I(ω)和U(ω)是響應復電流和施加的復電壓；C′(ω)和C″(ω)是復電容C(ω)的實部和虛部.

此外， 復電容、 復介電常數及復極化率之間的關系如下：

(2)

1.2 直流電導與低頻色散區別

由FDS測量獲得的實際介電譜是由極化和電導組成的綜合響應， 而電導的頻域特性為：

(3)

上式意味著電導G對于復極化率的實部的貢獻為0， 所以由FDS測量得到復極化率實部不包含電導， 而復極化率虛部則包含電導損耗和極化損耗兩個部分， 用以下式子表示：

(4)

由式(3)可以看出， 電導正比于ω-1， 即頻率越低， 電導損耗越大， 這與文獻[9]強調介電譜虛部低頻段由電導損耗主導一致， 而對低頻段的極化損耗以及其微觀響應機制的探討較為缺乏[10]， 因此油紙絕緣FDS測量曲線的具體物理機制仍存在爭議[11].

文獻[12]在對數百種介質的介電響應研究后發現， 在低頻范圍存在一種不同于電導的介電現象， 并稱之為低頻色散(low-frequency dispersion, LFD). 低頻色散過程的特征是其復極化率的實部和虛部具有很強的分散性. 換而言之， 其復極化率的實部與虛部譜線會隨著頻率的增加而下降[12]， 其表達式如下：

χ(ω)=A(iω)n-1

(5)

式中：A是常數， 指數n小于1. 當n較小時， 意味著響應電流隨時間的變化較為緩慢， 因此可以將其描述為“準直流電流”(quasi-d.c)[12]. 因此當低頻范圍內極化弛豫過程和直流電導過程耦合在一起時， 低頻色散過程常常被直流電導分量掩蓋， 無法對其進一步研究， 甚至也有直流電導過程被誤作弛豫過程處理的情況發生[13]. 然而LFD與真正的直流電導之間的根本區別在于直流電導并不涉及系統中的任何電荷存儲.

2 基于Kramers-Kronig關系的直流電導計算步驟

電介質的極化率實部和虛部是由同一個介質的響應函數分離出來的， 因此兩者之間有不可切割的聯系， 即Kramers-Kronig關系. 直流電導過程不產生電荷的存儲， 對極化率實部的貢獻為0， 因此， 通過Kramers-Kronig變換由實部獲得的虛部譜線為剔除直流電導后的極化損耗譜線. 結合式(4)， 可以進一步計算獲得直流電導損耗譜線.

2.1 Kramers-Kronig關系

在因果律成立的前提下， Kramers-Kronig關系可以表示為[14]：

(6)

其中： P.V.表示柯西積分主值；u為奇異點頻率.

從上式可以看出， 某一特定頻率點的復極化率虛部是由整個連續頻率范圍內的復極化率實部積分而得到， 然而在實際的測量中， 受到設備的限制， 只能獲得有限頻率范圍內的離散測量值. 另外， 在積分的過程中奇異點的存在導致需要用到柯西主值積分的定義， 二者都給計算帶來了極大的困難.

2.2 直流電導計算步驟

圖1 直流電導計算步驟示意圖

為解決以上問題， 本研究使用最小二乘法對復極化率測量離散點進行插值或擬合， 并在最低(高)頻率測量點處外延一個數量級， 以保證頻率測量點處計算得到的剔除電導的復極化率虛部盡可能準確； 另外， 對于奇異點積分， 本研究以奇異點頻率fu附近的兩個頻率點作為積分上下限， 采用直線對此區間的近似曲線進行擬合， 最后通過牛頓-萊布尼茨公式進行積分計算.

計算步驟示意圖如圖1所示. 具體而言， 按照以下步驟來獲得剔除電導的弛豫損耗譜線以及直流電導.

1) 以f1(fN)表示測量點的最低(高)頻率， 用最小二乘直線對最低(最高)兩個或者三個測量頻率點進行插值或擬合， 如下式所示， 并以辛普森法則計算積分：

lnχ′(f)=Blnf+C

(7)

式中，B、C表示最小二乘直線系數.

2) 將直線外延一個數量級， 得到χ′(0.1f1)和χ′(10fn). 設χ′(f)在0.1f1和10fN之外的響應均為常數， 因此會有額外的貢獻：

(8)

3) 根據普適弛豫定理， 介電響應數據在雙對數坐標系下通常是非常平滑的， 因此使用拋物線對剩余測量點每三個點之間進行插值， 如下式， 并以辛普森法則進行積分計算.

lnχ′(f)=A(lnf)2+Blnf+C

(9)

式中：A、B、C表示插值拋物線系數.

4) 設奇異點頻率fu附近的兩個頻率點分別為fu1和fu2， 采用最小二乘直線對區間(fu1,fu2)的曲線進行擬合， 并計算積分， 表達式如下所示：

(10)

式中：a、b表示擬合直線系數.

3 實驗結果與分析

為驗證電導計算方法的正確性， 本研究制作了三組不同含水率的油紙絕緣樣品， 并對其進行FDS測量. 根據第2.2節所述步驟， 對頻域介電響應數據進行分析， 最終計算得到樣品的直流電導.

3.1 樣品制備

采用厚度為 1 mm 的普通纖維絕緣紙板和25號環烷基礦物油制備用于測試的油浸紙樣品. 首先， 將絕緣紙板裁剪為多塊 100 mm×80 mm 大小合適的長方形， 絕緣油分為多組放入可密封玻璃容器中. 接著， 將絕緣紙和絕緣油分別放在105 ℃的恒溫干燥箱中干燥24 h. 然后， 將干燥處理過的絕緣紙樣品放置于高精度電子天平上， 進行自然吸潮直至滿足目標實驗質量. 最后， 將受潮的絕緣紙板浸入絕緣油中48 h， 確保絕緣油充分地浸潤紙板空腔， 并將油紙絕緣樣品密封在專用容器中， 以防止水分進入. 本次實驗獲取四組油紙絕緣試品的水分含量分別為： 0.244%、 1.58%、 2.77%和 3.63%.

3.2 油紙絕緣樣品的測量數據分析

實驗獲得了頻率范圍在10-3～103Hz之間不同含水率的油紙絕緣樣品復電容曲線， 如圖2所示.

(a) 復電容實部曲線

圖2中不同含水率樣品的復電容實部均隨著測量頻率的升高而減小， 復電容虛部同樣也是隨著頻率的升高而減小， 但是相較于實部譜線， 其數量級大了1級， 不同含水率樣品譜線之間的差別更明顯， 因此復電容虛部對于水分的敏感度更高. 隨著絕緣紙水分含量的升高， 復電容實部和虛部均呈現增大的趨勢， 在10-3～103Hz的低頻范圍內變化明顯. 這是由于低頻段的譜線主要是由與劣化直接相關的電導和極化損耗組成的[15]： 水分含量增加， 油紙絕緣樣品的電導率增加， 造成電導損耗隨之增加； 另外， 水分增加也對油紙絕緣樣品中的LFD傳輸過程產生影響[16].

對于不同水分含量的復電容實部測量數據， 分別按照在第2.2節所述步驟進行了插值擬合以及積分計算， 得到對應的剔除電導后弛豫損耗譜線. 圖3 為不同含水率樣品的測量復電容虛部與剔除電導后的復電容虛部譜線. 由圖3可以看出， 剔除電導后的極化損耗曲線的峰型特征隨著水分增加而逐漸消失. 水作為強極性分子， 含水率增加， 介質中的偶極子數量增加， 不同偶極子之間的排列更加規律， 因此簇間的耦合作用增強， 損耗峰的低頻側譜線趨于平坦[17]. 根據式(4)， 測量譜線減去極化損耗譜線獲得直流電導損耗譜線， 并通過最小二乘直線對其進行擬合， 如圖4所示.

圖3 測量復電容虛部與剔除電導后的復電容虛部譜線

圖4 直流電導損耗譜線和擬合直線

電導計算結果和擬合公式如表1所示， 可以看出在雙對數坐標系的斜率均約等于-1， 與直流電導頻域特性相一致， 證明了本研究所提出電導計算方法的有效性和準確性.

表1 直線擬合公式和電導計算結果

圖5 含水率-電導擬合曲線

從表中可以發現， 隨著水分含量的增加， 計算出的電導也隨之增加. 這是由于水分是絕緣紙主要離子來源[18]， 而形成電導過程的主要原因是電子的勢壘跳躍運動[10]： 在施加的電場的作用下， 電子連續穿過陷阱勢壘， 最終到達電極. 當油紙絕緣樣品的水分含量增加時， 參與勢壘跳躍運動的離子隨之增加， 因此電導過程增強， 電導增大. 為了更直觀地研究受潮后油紙絕緣樣品的電導飽和特性， 繪制了含水率-電導曲線， 并計算斜率， 如圖5所示.

由圖5可知， 隨著含水率增加， 含水率-電導曲線的斜率減小， 說明油紙絕緣樣品受潮后會逐漸達到飽和狀態， 水分子自身解離出H3O+和OH-以及溶解于水分子的雜質離子逐漸達到最大值， 電導趨于飽和.

4 結論

本研究在油紙絕緣樣品的頻域測量介電譜基礎上， 提出了基于Kramers-Kronig關系的油紙絕緣直流電導計算方法. 通過對不同水分含量的油紙絕緣樣品的FDS實測譜線的電導計算， 驗證所提出方法的有效性和準確性. 此外， 利用Kramers-Kronig關系將復電容虛部譜線分解得到電導損耗譜線和弛豫損耗譜線， 對于區分電導過程和極化過程有重要意義， 為后續研究低頻范圍的微觀介電響應過程奠定基礎.