水下推進(jìn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模及控制

鄧 旭

（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）

0 引言

水下機(jī)器人在海洋資源探索、海底地形測(cè)繪以及軍事戰(zhàn)備等領(lǐng)域均具有很高的應(yīng)用價(jià)值。而推進(jìn)器是驅(qū)動(dòng)水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵設(shè)備[1]，對(duì)水下作業(yè)的精度有很大的影響，推進(jìn)設(shè)備包括電機(jī)推進(jìn)、液壓推進(jìn)、噴射推進(jìn)、仿生推進(jìn)、滑翔推進(jìn)、磁流體推進(jìn)和混合推進(jìn)7 種[2]。作為最常用的推進(jìn)系統(tǒng)，電機(jī)推進(jìn)以電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)源，帶動(dòng)螺旋槳轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生推力。大型或者對(duì)操縱要求高的水下機(jī)器人，往往會(huì)配備多個(gè)電機(jī)推進(jìn)器構(gòu)成一個(gè)矢量推進(jìn)系統(tǒng)，以保證提供足夠的驅(qū)動(dòng)力或者靈活的操縱。同時(shí)，現(xiàn)在多數(shù)水下機(jī)器人引入閉環(huán)控制算法實(shí)現(xiàn)自主運(yùn)動(dòng)控制，多數(shù)針對(duì)水下機(jī)器人的控制器輸出均為廣義力/力矩。而在實(shí)際工程應(yīng)用中，直接輸出到推進(jìn)器系統(tǒng)的是控制信號(hào)（PWM 信號(hào)或者模擬電壓信號(hào)）[3]，并不能直接對(duì)推進(jìn)系統(tǒng)輸入廣義力和力矩。現(xiàn)在常用的方式為映射求解方法，即對(duì)推進(jìn)器推力和控制電壓的關(guān)系進(jìn)行擬合，通過(guò)所需的推力值求解計(jì)算得到推進(jìn)器需要的控制電壓，且認(rèn)為推進(jìn)器的推力響應(yīng)是瞬時(shí)完成的而忽略了推進(jìn)器的動(dòng)態(tài)特性[4]。

一些學(xué)者針對(duì)水下推進(jìn)系統(tǒng)的響應(yīng)特性展開(kāi)了研究工作。1990年，YOERGER 等[5]最先研究了推進(jìn)器特性對(duì)水下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的影響，針對(duì)轉(zhuǎn)矩控制的推進(jìn)器，在考慮進(jìn)速的情況下，建立了推進(jìn)器的動(dòng)力學(xué)模型，并且設(shè)計(jì)了三種控制器進(jìn)行轉(zhuǎn)速跟蹤控制。LOUIS 等[6]針對(duì)推進(jìn)器的非穩(wěn)態(tài)控制問(wèn)題，通過(guò)試驗(yàn)，在遙控?zé)o人潛水器（Remote Operated Vehicle，ROV）定位控制中比較了三種控制策略的優(yōu)缺點(diǎn)，三種控制策略分別是前饋控制（開(kāi)環(huán)控制）、轉(zhuǎn)速反饋控制和基于模型的轉(zhuǎn)速控制，最終得出結(jié)論：基于模型的轉(zhuǎn)速控制在ROV 較大的作業(yè)范圍內(nèi)均表現(xiàn)出了更好的控制性能。FOSSEN[7]等在無(wú)人水下航行器（Unmanned Underwater Vehicle，UUV）縱蕩運(yùn)動(dòng)中考慮螺旋槳的特性以及螺旋槳進(jìn)速對(duì)推力的影響，將UUV的縱向速度和螺旋槳軸向進(jìn)水流速作為狀態(tài)量，設(shè)計(jì)了以推進(jìn)器轉(zhuǎn)速為控制輸入的二階非線性系統(tǒng)，并設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)螺旋槳軸向進(jìn)水流速值進(jìn)行觀測(cè)。最終通過(guò)設(shè)計(jì)雙環(huán)控制器實(shí)現(xiàn)縱向控制。Chu 考慮了推進(jìn)器地動(dòng)力學(xué)特性，建立了三階水下機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，推進(jìn)器模型被簡(jiǎn)化成一階非線性系統(tǒng)，ROV 和推進(jìn)器地模型通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得到，基于反步法設(shè)計(jì)了控制器，并且通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，控制目標(biāo)轉(zhuǎn)速經(jīng)濾波處理后，可以有效地抑制線電流的突變峰值。最終在軌跡跟蹤控制中證明了算法的有效性。

上述對(duì)推進(jìn)器的研究在實(shí)際應(yīng)用中主要存在以下兩點(diǎn)阻礙：（1）在水下機(jī)器人自主運(yùn)動(dòng)控制的實(shí)際應(yīng)用中，推進(jìn)器的輸出推力是很難被測(cè)量，因此推力很難直接作為推進(jìn)器閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋量。（2）隨著數(shù)字化技術(shù)的普及，水下機(jī)器人的控制系統(tǒng)多為數(shù)字計(jì)算機(jī)控制，在一個(gè)采樣周期內(nèi)，輸出到推進(jìn)器的信號(hào)值保持不變，而上述研究均是基于連續(xù)系統(tǒng)開(kāi)展的。

本文針對(duì)三相無(wú)刷直電機(jī)驅(qū)動(dòng)的水下推進(jìn)系統(tǒng)，對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性建立離散模型，并設(shè)計(jì)一種新型離散滑模推進(jìn)器轉(zhuǎn)速控制器，引入一種新型自適應(yīng)趨近律，一方面可以加快滑模函數(shù)的收斂速度，另一方面可以有效地消除控制器輸出的抖振現(xiàn)象。

1 推進(jìn)器動(dòng)力學(xué)建模

三相無(wú)刷電機(jī)驅(qū)動(dòng)的推進(jìn)系統(tǒng)模型主要包括三項(xiàng)無(wú)刷電機(jī)的電壓模型和電機(jī)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)模型兩個(gè)部分。

1.1 電壓方程

推進(jìn)器使用的三相無(wú)刷電機(jī)電子定子繞組為Y型接法，驅(qū)動(dòng)電路為三相全橋電路，工作時(shí)保證只有兩路處于導(dǎo)通狀態(tài)。為了簡(jiǎn)化無(wú)刷直流電機(jī)的電壓數(shù)學(xué)模型，假設(shè)：

（a）鐵芯飽和，渦流無(wú)損耗，齒槽效應(yīng)和磁滯無(wú)損耗。

（b）電機(jī)的三相繞組完全對(duì)稱。

（c）二極管和功率管為理想元器件。

基于上述假設(shè)，建立三相無(wú)刷電機(jī)的電壓方程：

其中，R為相電阻（Ω），L為繞組自感（H），M為繞組互感（H），us為相電壓（V），is為相電流（安培），ω0為電機(jī)轉(zhuǎn)速（rad/s），es為反電動(dòng)勢(shì)，es=keωs，ke為反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)。

根據(jù)式（1），得到如圖1 所示的等效電路圖。

圖1 三相無(wú)刷電機(jī)等效電路圖

1.2 轉(zhuǎn)動(dòng)方程

在忽略磁損耗及轉(zhuǎn)子摩擦損耗的情況下，電機(jī)轉(zhuǎn)子輸出功率可以表示為

其中，Te0為電機(jī)轉(zhuǎn)子驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩（N·m）。

由于每一時(shí)刻三相電機(jī)中僅兩相導(dǎo)電，所以電機(jī)轉(zhuǎn)子輸出轉(zhuǎn)矩可表示為[8]：

設(shè)連接電機(jī)轉(zhuǎn)軸與螺旋槳轉(zhuǎn)軸的減速器的減速比為nb，即ω0=nbω，則在忽略傳動(dòng)損耗情況下可得螺旋槳轉(zhuǎn)軸的輸入轉(zhuǎn)矩

據(jù)牛頓第二定律可得推進(jìn)器轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)方程

其中，TL為螺旋槳在水中轉(zhuǎn)動(dòng)受到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，B為阻尼系數(shù)，J為所有轉(zhuǎn)動(dòng)部件的綜合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

式中，ρ為水的密度（kg/m3），D為螺旋槳直徑（m），a1，a2為表征螺旋槳轉(zhuǎn)矩特性的兩個(gè)系數(shù)。

1.3 推進(jìn)器動(dòng)態(tài)模型

以控制電壓us以及螺旋槳進(jìn)口水流速度va為輸入，以螺旋槳轉(zhuǎn)速為輸出，建立推進(jìn)器的動(dòng)態(tài)模型。

由于電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于器機(jī)械時(shí)間常數(shù)，且對(duì)于水下推進(jìn)器的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，往往很難獲得內(nèi)部電流的反饋數(shù)據(jù)，因此電壓方程（1）可以簡(jiǎn)化為穩(wěn)態(tài)形式：

根據(jù)式（4）-（7）得：

在數(shù)字計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，推進(jìn)器的轉(zhuǎn)速模擬電壓信號(hào)通過(guò)A/D 卡采集，控制信號(hào)模擬電壓則由D/A卡輸出，在一個(gè)采樣周期內(nèi)，采集的轉(zhuǎn)速值和輸出的電壓值均是零階保持的。因此，取采樣周期T=0.001 s，則可以將式（8）進(jìn)行歐拉前向差分離散處理[9]，同時(shí)考慮存在一定的外界總擾動(dòng)，得到離散化的動(dòng)力學(xué)方程：

式中，dk=O（T）為外界總擾動(dòng)，各參數(shù)定義如下：

以天津昊野公司的T530 型推進(jìn)器為例，其推進(jìn)器參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 推進(jìn)器參數(shù)

根據(jù)表1，可以得到式（10）中的參數(shù)取值為：k1=345.4，k2=51.25，k3=-0.057，k4=1.18。

1.4 推進(jìn)器推力特性

推進(jìn)器的推力由螺旋槳產(chǎn)生，學(xué)者們根據(jù)大量螺旋槳實(shí)驗(yàn)，構(gòu)建了螺旋槳推力（N）與轉(zhuǎn)速（rad/s）之間的表達(dá)式：

式中，KT為螺旋槳的推力系數(shù)，b1和b2為表征螺旋槳推力特性的兩個(gè)參數(shù)，其中b1=0.4196，b2=-0.4271。在進(jìn)速va已知的情況下，可以通過(guò)式（11）計(jì)算得到推進(jìn)器轉(zhuǎn)速和推力之間的關(guān)系為：

2 離散滑模推進(jìn)器閉環(huán)控制算法

2.1 滑模面及趨近律設(shè)計(jì)

離散滑模控制方法中的趨近律概念最早由高為炳[10]提出，提出趨近律的初衷是為了更好地改善滑模變量到達(dá)滑模面的形式，并且抑制由于有限的采樣周期而帶來(lái)的抖振現(xiàn)象。該方法一經(jīng)提出，便引起了大批學(xué)者的關(guān)注，許多基于趨近律的離散控制策略被相繼提出。這些文章主要進(jìn)行了兩個(gè)方面的改進(jìn)研究，一是加快趨近速度，使滑模函數(shù)可以更快地到達(dá)滑模面；二是減小滑模函數(shù)最終的收斂域，以減小抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生。

設(shè)計(jì)離散滑模控制方法主要分為兩個(gè)階段：（1）設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)量收斂的滑模函數(shù)；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)合適的趨近律，使滑模函數(shù)最終到達(dá)原點(diǎn)。

本文首先采用如下形式的積分滑模函數(shù)[11]：

其中e為自然底數(shù)，0<α2<1。

同時(shí)，在系統(tǒng)存在外界擾動(dòng)的情況下，趨近律中引入擾動(dòng)補(bǔ)償，趨近律形式可以表示為：

其中：

易知，μ（sk）是隨著單調(diào)遞減的函數(shù)，通過(guò)洛必達(dá)法則，可以得到和0。因此，有以下結(jié)論：

2.2 控制律設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

根據(jù)（13）定義的滑模函數(shù)，可知下一時(shí)刻的滑模函數(shù)：

將式（18）代入式（15），可得：

將推進(jìn)器轉(zhuǎn)速離散方程（9）代入上式，則可以求得控制律為：

其中，采用歷史值計(jì)算dk-i（i=1，2，3）：

定理1：在控制律（20）和趨近律（15）的作用下，從任何初始狀態(tài)s。出發(fā)的滑模函數(shù)sk最終都將進(jìn)入到準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)域Ω 內(nèi)，其中：

證明：

定義Lyapunov 函數(shù)：

根據(jù)趨近律（15），則有：

△Vk<0 等價(jià)于：

或者

因?yàn)? -φ（sk）T>φ（sk）T，所以當(dāng)時(shí)，都有△Vk<0 恒成立。最終，sk會(huì)進(jìn)入到Ω 中。

3 推進(jìn)器轉(zhuǎn)速閉環(huán)試驗(yàn)

根據(jù)式（12）可知，可以將推進(jìn)器的期望推力τd轉(zhuǎn)化為螺旋槳的期望轉(zhuǎn)速ωd，則可以對(duì)推進(jìn)器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制器以跟蹤到期望轉(zhuǎn)速，即推進(jìn)器輸出的推力為期望推力。對(duì)本文所選的推進(jìn)器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制試驗(yàn)，以系柱情況（va=0）為例，控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)如圖2 所示，通過(guò)A/D 卡采集推進(jìn)器轉(zhuǎn)速，通過(guò)D/A 卡輸出模擬量控制電壓。在對(duì)推進(jìn)器建模的過(guò)程中，用到的電壓值為電機(jī)內(nèi)部驅(qū)動(dòng)電壓（-48 V～48 V），而實(shí)際推進(jìn)器外部接口提供的是信號(hào)模擬電壓（-5 V ～5 V），這里可以認(rèn)為電機(jī)內(nèi)部驅(qū)動(dòng)電壓和信號(hào)模擬電壓之間為線性映射關(guān)系，則可以將控制器的控制電壓等比例縮小后輸出為推進(jìn)器的信號(hào)模擬電壓。

圖2 推進(jìn)器閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖

控制器參數(shù)取為：λ= 0.5，α1= 1/3，α2= 1/2，β1=75，β2=75，分別進(jìn)行定轉(zhuǎn)速控制試驗(yàn)（目標(biāo)轉(zhuǎn)速為1000 r/min）和轉(zhuǎn)速跟蹤控制試驗(yàn)（目標(biāo)轉(zhuǎn)速函數(shù)為y=1000+500 sin（0.5t），試驗(yàn)結(jié)果如圖3 和圖4 所示：

圖3 推進(jìn)器定轉(zhuǎn)速控制試驗(yàn)

圖4 推進(jìn)器轉(zhuǎn)速跟蹤控制試驗(yàn)

從圖3 中可以看出，對(duì)于定轉(zhuǎn)速控制問(wèn)題，該控制策略可以快速地使滑模函數(shù)sk從初始值約-47 收斂至原點(diǎn)附近，推進(jìn)器的轉(zhuǎn)速反饋值也在0.5 s 達(dá)時(shí)到達(dá)設(shè)定目標(biāo)1000 r/min，并且穩(wěn)定在設(shè)定目標(biāo)轉(zhuǎn)速附近；從圖4 中可以看出，對(duì)于變轉(zhuǎn)速的跟蹤控制問(wèn)題，該控制方法仍能在1 s 左右使滑模函數(shù)收斂至坐標(biāo)原點(diǎn)，盡管隨著目標(biāo)轉(zhuǎn)速的變化，滑模函數(shù)在原點(diǎn)附近有小范圍的波動(dòng)，但推進(jìn)器的轉(zhuǎn)速反饋值始終能較為準(zhǔn)確地跟蹤到目標(biāo)轉(zhuǎn)速。另外，從圖3 和圖4 中的信號(hào)模擬電壓值變化曲線可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)計(jì)的控制器輸出電壓并未出現(xiàn)在鋸齒狀的高頻抖振現(xiàn)象，曲線較為光順，說(shuō)明在趨近律設(shè)計(jì)中引入的對(duì)數(shù)自適應(yīng)項(xiàng)能消除滑模函數(shù)在sk=0 附近的抖振問(wèn)題。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)水下機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制的實(shí)際應(yīng)用中存在的底層執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制難問(wèn)題，本研究對(duì)常用的三相無(wú)刷電機(jī)驅(qū)動(dòng)的推進(jìn)器進(jìn)行了建模分析，并采用離散滑模控制方法，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)無(wú)抖振趨近律，基于此趨近律設(shè)計(jì)了控制器，最終在推進(jìn)器閉環(huán)控制試驗(yàn)中驗(yàn)證了算法的快速性和有效性。該項(xiàng)研究的理論和試驗(yàn)成果可以用于水下航行器的運(yùn)動(dòng)控制，作為推進(jìn)器的底層驅(qū)動(dòng)控制程序，可以將頂層的航行器控制力/力矩指令轉(zhuǎn)化成底層的推進(jìn)器目標(biāo)轉(zhuǎn)速指令，由推進(jìn)器轉(zhuǎn)速控制實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)轉(zhuǎn)速的跟蹤，進(jìn)而輸出控制力/力矩，控制水下航行器的運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)底層推進(jìn)器驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速的自主化。