一個捕食者兩個食餌的隨機時滯種群模型的最優獲取

蘭瑞平，李香林

(呂梁學院 數學系，山西 離石 033001)

0 引言

在自然界中，捕食者以相互競爭的食餌為食是普遍存在的現象，如獅子同時以斑馬和非洲牛羚為食，所以種群的數量，與捕食者和食餌的數量息息相關.另一方面，它也受隨機波動的環境的影響，且應考慮時滯的作用.文獻 [1] 中建立了描述這類種群系統的模型，作者證明了該模型是全局吸引和依分布穩定的.本文在文獻 [1] 中模型的基礎上考慮最優獲取問題，建立了下面的模型.

(1)

初始值為:

其中，X1(t),X2(t)分別表示食餌種群1和食餌種群2的數量，X3(t)表示捕食者種群的數量.b1,b2分別表示食餌種群1和食餌種群2的出生率，b3表示捕食者種群的出生率.cii,i=1,2,3表示三個種群各自的種內競爭率，c12,c21表示種群X1(t),X2(t)的種間競爭率，c13,c23表示X3(t)對X1(t),X2(t)的捕獲率，c31,c32表示種群X1(t),X2(t)對種群X3(t)的轉化率.以上的所有系數均為正常數.

對于種群系統 (1)，定義期望可持續獲取為[2]

1 基本假設和引理

為了使用方便，引入下面的記號.

Cij表示行列式C中的元素cij余子式，i,j=1,2,3.在陳述主要定理之前，先給出一些假設.

假設1C>0,Ci>0,i=1,2,3，這表明在沒有隨機干擾和對系統的獲取的條件下，模型 (1) 中的三個種群是可以共生的.

假設3c11>c12+c13，c22>c21+c23，c33>c31+c32.

下面給出證明定理的過程中需要用到的一些引理.

(2)

引理1和引理2 的證明與文獻 [1] 中定理2和定理4的證明類似，此處不再贅述.

注2G-1+(G-1)T是正定矩陣.證略.

2 主要定理及證明

定理對于模型 (1)，記

A=(λ1,λ2,λ3)T=[G(G-1)T+I]-1L．

在假設1，2，3下，有

(Ⅱ)如果 (Ⅰ) 中的條件不滿足，則最優獲取策略不存在.

先證 (Ⅰ).顯然,A∈Q，則Q是非空的.

已知

令ρ(x) 表示模型 (1) 的穩態密度函數，有：

(3)

由引理2，μ(.)是不變測度.由 [3] 中的推論3.4.3知，μ(.) 是強混合的，又由 [3] 中的定理3.2.6知，μ(.)是遍歷的.因此有：

(4)

注意到，模型 (1) 的不變測度是唯一的，由不變測度與ρ(x)的一 一對應關系有：

(5)

由 (3)、(4)、(5) 可得：

(6)

由引理1可知，若獲取效應H∈Q，則 (2) 式成立，從而有：

(7)

由 (6)、(7) 得,

Y(H)=HTG-1(L-H)．

為了得到H*，求解下面的方程，

=G-1L-[G-1+(G-1)T]H．

(8)

得H=A=[G(G-1)T+I]-1L.又

由注2可知，-(G-1+(G-1)T)是負定的. 因此，A=[G(G-1)T+I]-1L是Y(H)的唯一極值點，則最優獲取效應為H*=A，期望可持續獲取的最大值為:

Y(H*)=(H*)TG-1(L-H*)．

且當H=A時，ri>0,i=1,2,3,與 (Ⅱ) 的條件矛盾.定理得證.