Tavis-Cummings模型的幾何相位特性研究

舒鵬麗，高 平，王燕鋒

(呂梁學院 物理系，山西 離石 033001)

0 引言

1984年，M.V.Berry[1]在研究絕熱循環系統的含時哈密頓量時，發現了一個不同于動力學相位的額外相因子，稱之為絕熱幾何相位[2]。Berry指出在絕熱近似條件下，體系的瞬時本征態經周期循環演化，得到的幾何相位不依賴于體系的動力學性質[3]，而是與具體演化路徑的幾何結構有關，是不可積的相位因子，隨后，實驗上[4,5]也證實了該幾何相位的存在。自從Berry提出幾何相位的概念以來，幾何相位的研究引起了很多研究者的關注，得到了一系列的發展[6,7,8]，并廣泛應用各種量子體系，如單個二能級原子與單模光場的相互作用系統(Jaynes-Cummings模型[9,10])、兩二能級原子與單模光場相互作用系統(Tavis-Cummings模型[9,11])等量子系統。

本文選取Tavis-Cummings模型為研究對象，在體系的某一瞬時絕熱本征態下計算幾何相位，得到幾何相位隨系統參數的演化關系，這為利用幾何相位實現量子邏輯門[12]容錯操作提供一定的理論基礎。

1 物理模型

Tavis-Cummings模型中兩原子間存在偶極相互作用的系統哈密頓量可表示為:

(1)

(2)

(3)

為研究方便，將(1)式轉化到相互作用繪景中，則T-C模型的哈密頓量表示為：

(4)

以希爾伯特空間中的|e1,e2,n〉，|e1,g2,n+1〉，|e2,g1,n+1〉和|g1,g2,n+2〉作為基矢，考慮系統共振情況，即ω≈ω0,(4)式可寫為矩陣形式：

(5)

根據(5)式，可求得四個非簡并的本征能量Ej和其相應的本征態|φj〉(j=1,2,3,4)，將每個絕熱瞬時本征態以希爾伯特空間的基矢展開：

|φj〉=cj1|e1,e2,n〉+cj2|e1,g2,n+1〉+cj3|g1,e2,n+1〉+cj4|g1,g2,n+2〉

(6)

其中|cj1|2+|cj2|2+|cj3|2+|cj4|2=1.

為計算幾何相位，絕熱瞬時本征態(6)變換到薛定諤繪景中，引入時間演化算符：

U(t)=U(φ)=exp[-iφ(t)a+a]，

(7)

其中φ(t)周期性變化，變化范圍為[0,2π]得到：

|φj(t)〉=U(t)|φj〉=U(φ)|φj〉，

(8)

系統的幾何相位計算式[13]為：

(9)

將(7)、(8)代入(9)式得到：

γj=2π[n|cj1|2+(n+1)(|cj2|2+|cj3|2)+(n+2)|cj4|2].

(10)

2 數值模擬

2.1 幾何相位與原子與光場間相互作用的演化

圖1 幾何相位隨原子與光場間相互作用的演化

從圖1(a)可以看出，當偶極間耦合系數Ω比較小時，幾何相位γ2隨原子與光場間的相互作用強度g從零迅速變為0.5π，隨后保持該值不變，當Ω比較大時，γ2隨g逐漸增大，在給定g下，隨著Ω的增大，γ2的值減小，即γ2的增長曲線越來越平緩，但最終都趨于一穩定值0.5π。可以判斷當系統光子數為n=0，偶極間的作用Ω可以忽略時，γ2幾乎不受g變化的影響，保持穩定值0.5π。當Ω不可以忽略時，其取值可減緩γ2隨g變化的增速，并隨Ω取值的增大，對γ2的減緩效果越明顯，但γ2仍隨g的增大而增大，且趨于穩定值0.5π。

取光子數n=6，偶極間耦合系數取值Ω=0.01,0.1,1,5,10時，研究γ2隨原子與光場間相互作用強度g的演化。如圖1(b)，兩者間的演化關系與圖1(a)相似，兩圖的不同點在于，當光子數n=6時，γ2最終趨于的穩定值為0.826π，說明幾何相位的取值不僅取決于原子與光場間的相互作用，還取決于光子數的大小，光子數越多，幾何相位越大。

2.2 幾何相位與偶極-偶極間耦合系數的演化

圖2 幾何相位與偶極-偶極間耦合系數的演化

令原子與光場間相互作用系數取值g=0.01,0.1,1,5,10，光子數n=0，討論γ2隨偶極-偶極間耦合系數的演化關系。圖2中，當g比較小時，γ2隨Ω從0.5π迅速降為零，并維持零相位不變，當g較大時，γ2隨Ω從0.5π逐漸減小，在給定Ω下，隨著g的增大，γ2的值增大，即γ2的下降曲線越來越平緩，最終趨于零相位，表明幾何相位隨偶極間耦合系數呈下降趨勢，但原子與光場間的相互作用可減緩該下降趨勢。取光子數n=6，幾何相位γ2隨Ω從0.826π下降并趨于零相位。經對比，當光子數取值相同時，幾何相位隨原子與光場相互作用增長的起點(終點)和幾何相位隨偶極間耦合系數下降的終點(起點)相同，這直接表明了幾何相位與光子數的取值相關。下面來研究幾何相位與光子數的變化關系。

2.3 幾何相位與系統光子數的演化

圖3(a)中Ω/g取值分別為10,100,500,1 000，觀察到幾何相位γ2隨光子數n從零開始增大，當n達到107數量級時，γ2趨于π。另外，在不同的Ω/g取值下，γ2的增長速度隨Ω/g的增大逐漸放緩，即在給定n下，Ω/g值越大，γ2越小，但最終隨著n增加趨于一穩定值π。從前面討論已知，γ2隨Ω的增大而減少，說明γ2隨n的增長速度明顯大于隨Ω的減少速度，從而整體表現為增長趨勢。

圖3 幾何相位與系統光子數的演化

圖3(b)中g/Ω的取值分別為10,20,50,100,200,此時幾何相位γ2隨光子數從0.5π開始增大，當光子數的數量級在102時，γ2就趨于π，隨著g/Ω變大，幾何相位的變化曲線間的差別越來越小，g/Ω越大，曲線越趨于重合。可以推斷，g?Ω，即Ω可忽略時，γ2的取值主要由n決定，受g變化的影響較小，該結論正好與圖1吻合。

3 結論

從上面的討論可以推出，幾何相位隨原子-光場間相互作用的增大而增大，隨偶極-偶極間耦合系數的增大而減少，隨光子數的增大而增大，但都不是無限地增大或減少，幾何相位最終都趨于一穩定值，該穩定值由光子數的取值而確定，當光子數為0時，幾何相位穩定值為0.5π，光子數比較大時，穩定值為π，幾何相位穩定值變化范圍γ2∈[0.5π,π]，表明幾何相位隨不含時參數的演化，與原相位相差模為1的因子。

同樣可選取本征能量E3對應的本征態作為絕熱本征態計算幾何相位，得到幾何相位隨偶極間的耦合系數的增大而增大，隨原子-光場間相互作用系數的增大而減少，隨光子數的增大而增大，總體來講，這幾個參數的相互博弈影響幾何相位的取值。當選取E1和E4對應的本征態時，幾何相位僅與光子數有關，呈線性增長關系，可見在同一哈密頓量下選取不同的絕熱本征態，可得到幾何相位不同的演化情況，這為實現不同的量子邏輯門操縱提供了可能。