借魔術東風 育模型思想

鄭燁婷

[摘? 要] 《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了適應學生發展和提高數學素養的十個核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，史寧中教授更是把“模型思想”列為小學階段三大數學基本思想之一，但是相比其他核心概念，“模型思想”比較抽象。數學魔術的表演和破解需要學生經歷“從實際生活中提取數學模型—求解數學模型—應用數學模型”的過程，它是培養學生“模型思想”的良好載體。

[關鍵詞] 數學魔術;數學模型;模型思想

■一、背景介紹

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了十大核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，并指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。”該論述明確了義務教育階段模型思想的價值和建立模型的基本過程（如圖1）：

相比其他核心概念，模型思想比較抽象，一線教師常常對此束手無策。在教學實踐中筆者發現，數學魔術是培養學生模型思想的良好載體。通過數學魔術的表演，引導學生用數學的眼光去觀察、分析和表示魔術中的各種變量，抽象出數學模型;在數學魔術背后的數學原理探究中，通過猜想、計算、推理、驗證等一系列的思維過程，求出模型的解，從而解釋魔術現象。數學魔術的過程旨在培養學生建立數學模型、解決實際問題的意識與能力。

本文將以數學魔術“猜一猜：硬幣在哪兒”為例，介紹如何借助數學魔術的教學，培養學生的模型思想。

■二、教學實踐

1. 魔術引入：感受神奇，激發興趣

精彩的課堂導入能迅速激發學生的學習欲望，有效喚起學生的課堂注意。數學課堂導入的方法有很多，用魔術進行課堂導入可以增添問題的神秘感，通過生動有趣的表演讓平時看起來不可能的事情現在就發生在眼前，孩子們的好奇心一下子會被激發出來。這時，“太神奇了吧”“是真的嗎”“老師是怎么做到的”等驚訝問題就會自然而然地縈繞在學生的腦海里，欲“解”不達，欲罷不能。通過以數學魔術導入引發思考探究的活動，能有效激發學生的思維活力，使學生把精力集中在思考和探究數學問題上，從而取得更為理想的學習效果。

生活中經常會玩這樣的游戲：把一個小物品藏在某一只手中，讓對方猜一猜藏在哪只手里。基于這樣的靈感，設計了以下的魔術：

師：（出示兩個硬幣，如圖2）今天老師要用數學銀行自制的1元、2元硬幣來玩一個魔術。看過魔術表演嗎？

生：看過。（興奮的表情露在臉上）

師：老師要變的魔術叫“讀心術”，等會兒老師請一個助手上來，請他把這兩枚硬幣分別藏在左右兩只手上，我不用看就知道這兩枚硬幣分別藏在哪只手上。誰愿意來做老師的助手？

指名上臺和教師合作。

師：（對助手）來，先請你看看這里的兩枚硬幣，一枚是1元，一枚是2元，有沒有問題？（沒有）好！下面請你將它們打亂，然后將它們分別藏在左右兩只手里。老師不用看，只要他回答我一個問題，我就能知道這兩枚硬幣分別藏在哪只手上。相信嗎？

學生中有信的，也有不信的。

師：請你把左手里的錢數加兩次，右手里的錢數加三次，再把得出的兩個數相加（邊說邊板書：左+左+右+右+右），噓……請告訴我結果是奇數還是偶數。

生：是偶數。

師：那么，1元硬幣藏在左手邊，2元硬幣藏在右手邊。

助理揭開答案，學生紛紛贊嘆不已。

數學模型的建立首先要“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題”，說明情境是建模的源點，也就是魔術的表演是這節課建模的源點，從中抽象出數學問題是建模的起點，從魔術表演到問題的環節可稱為“建模準備”。

2. 魔術分析：思考關系，嘗試建模

數學建模的關鍵是用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，學生要通過觀察、分析、抽象、判斷、推理等數學活動將數學魔術問題抽象、簡化，建立數學問題中的數量關系。在“猜一猜：硬幣在哪兒”這個數學魔術中，左手里硬幣的錢數加兩次，右手里硬幣的錢數加三次，最后合起來的結果是奇數還是偶數是關鍵，因此要引導學生思考和的奇偶性與加數有什么關系，建立和的奇偶性這一數學模型。

師：你們有什么疑問嗎？

生：老師，你會不會是蒙對的？（如果學生發出這樣的疑問，可以再進行一次表演）

生：老師，你會不會跟助理串通好了？

生：老師，你有超人的能力。

師：你們覺得老師到底是有超人的能力，還是有好方法呢？

生：我覺得老師是有方法的。

師：對啊，魔術都是有竅門的。那么，你們覺得這個魔術的關鍵在哪里？

生：在老師提出的那個問題。

生：左手里硬幣的錢數加兩次，右手里硬幣的錢數加三次，最后合起來是偶數。

師：同學們太厲害了！這么快就發現了魔術中的秘密，老師就是根據和是奇數還是偶數倒推出來的。幾個數相加，和是奇數還是偶數這樣的問題被稱為“和的奇偶性”。要想研究和的奇偶性，解決類似的問題，你打算怎么研究？

生：左+左+右+右+右，5個數相加太多了，可以從兩個數的和開始研究。

師：研究兩個數的和的奇偶性，你有什么方法？

生：可以通過舉例發現。

3. 魔術探究：發現規律，穩定模型

數學魔術不僅要讓學生感受到好玩、有趣，更要讓學生通過猜想、啟發、驗證、推理、創造等一系列的思維過程探究魔術背后的數學原理，以及在這個過程中積累數學活動經驗、感悟數學思想和方法。

學生通過舉例得出：

發現：奇數+奇數=偶數，偶數+偶數=偶數，奇數+偶數=奇數。從例子中發現規律還不夠，教師還要讓五年級的學生感受到數學是一門嚴謹的學科，引導學生從余數的知識、畫圖等方法來進行驗證。得到兩個數的和的奇偶性后，學生就可以順勢推導出多個加數的和的奇偶性了。教師借勢引導小結：

師：所以，你們認為和的奇偶性與加數中誰的個數有關系呢？

生：與加數中奇數的個數有關系，奇數個奇數相加，和就是奇數;偶數個奇數相加，和就是偶數。

模型的求解常常需要借助一定的方法策略，如舉例、數形結合、假設、推理等，有效的方法和策略為學生進一步建模、解決問題提供幫助，提升解決問題的效率。通過舉例發現規律只是猜想，要引導學生通過嚴謹的證明來驗證猜想是對的，數與形的結合是小學數學中解決問題常用的方法，解決問題時常常需要借助圖形直觀分析問題，猜想得到的和的奇偶性的規律后借助圖形的直觀，得到驗證。

4. 破解魔術：探究原理，應用模型

揭秘是學生欣賞魔術表演后最想做的事。教學中要有效地引導學生探究魔術的設計原理，利用已經得出的數學模型來解釋魔術現象，完整地經歷建模過程，充分感受模型思想。

師：同學們，現在你們能說說老師是如何快速得出1元硬幣藏在左手里，2元硬幣藏在右手里的嗎？

生：根據助理的回答可以知道“左+左+右+右+右”的結果是偶數，說明奇數1加了偶數次，1元硬幣加了兩次，所以左手里藏的是1元硬幣。

師：那左右兩邊加的次數有要求嗎？

生：有，一邊加奇數次，一邊加偶數次。如果兩邊都加偶數次，結果一定是偶數，就判斷不出來了;如果兩邊都加奇數次，結果一定是奇數，也判斷不出來。

師：請同學們進一步思考，硬幣的幣值可以是任意數嗎？

生：必須一個是奇數、一個是偶數，如果硬幣幣值都是偶數的話，不管加幾次結果都是偶數，如果都是奇數也不能成功。

師：老師的神奇魔力就在這兒，事先要設計好魔術的道具和操作的規矩，最后的結果就都在掌控之中了。通過今天的學習，你有什么收獲？

生：魔術背后是有數學道理的，弄清數學道理就可以破解魔術了。

生：如果能找到規律，變魔術就很簡單了。

生：我也想當一名魔術師。

……

師：知道了魔術的設計原理，我們可以自己嘗試設計和破解更多的數學魔術。

■三、教學思考

曹培英老師認為：建模與問題解決的能力是數學最具學科特征的育人價值。數學魔術能帶給學生神奇、愉悅的體驗，數學魔術的原理又天然具有數學的模型結構。數學魔術的表演和揭秘的過程可以讓學生在獲取數學知識和技能的過程中體驗從實際問題抽象出數學問題，建立數學模型，再通過數學原理得到數學模型的解，從而揭示魔術現象。這一過程有助學生初步形成模型思想，體會到數學建模中用數學方法解決實際問題的好處，也有助教師在現實中探尋培養策略，從而促進學生數學模型思想的形成和發展，最終提高學生的數學素養。