在現實問題解決中促進“問題解決力”

羅世瑤

[摘? 要] “喝咖啡問題”是五年級下冊“分數的加法和減法”的改編例題，在“基于現實情境下的問題解決”研究背景下，筆者對本課例從“閱讀理解，問題表征”“制定計劃，畫圖分析”“變式練習，抓住本質”三個大環節中展開教學實踐，以圖引導學生形成解決現實問題的一般步驟，掌握解題策略，促進其“問題解決能力”。

[關鍵詞] 喝咖啡問題;基于現實情境;問題解決

■一、設計理念

“喝咖啡問題”是五年級下冊第六單元“分數的加法和減法”的最后一個例題，是學生學習了分數的意義和分數加減法之后學習的，并為六年級學習分數乘法的意義與算理做鋪墊。但是由于原題目“喝牛奶問題”有點不太符合現實生活實際，而且原題中的混合奶與原來的純牛奶相比沒什么太大區別，對學生的理解可能產生較大的干擾，為了讓學生更容易理解，筆者進行了例題的情境改編。同時基于教學內容和學情特點，筆者認為本節課的重點并不是讓學生掌握這類問題的具體解題方法（因為在六年級時會具體學習分數乘法的相關知識），而是讓學生經歷問題解決的過程，體會解題策略，培養學生的核心素養，故筆者確立了如下的學科教學目標：（1）借助畫圖，理解形如“求■的■是■”的問題，體會畫圖策略在理解、分析、解決問題中的作用。（2）經歷解決問題的全過程，通過將新情境轉化成會做的情境，感悟“變中找不變”“數形結合”等數學思想，進一步積累數學活動經驗。

本課例是在“基于現實情境下的問題解決”的研究背景下進行的，希望運用波利亞《怎樣解題》理論，通過實踐研究，指導學生形成解決現實問題的一般步驟，掌握解題策略，提高解決問題的能力，培養數學學科核心素養。

在教學中，具體表現為：在學習過程中，教師引導學生閱讀理解現實情境下的問題，基于學生的生活經驗或操作畫圖對問題進行表征;以表征和分析問題為線索，引導學生制定解題計劃，分析出對應的數量關系式;以分析問題和解決問題策略的學習為線索，鼓勵學生選擇合適的策略進行解答;對問題的解答進行檢驗，鼓勵學生逐步形成評價與反思的意識。這些并非孤立地存在，而是在問題解決的過程中各有側重、時有交織?；谏鲜隹紤]，筆者展開了教學實踐。■二、教學設計

1. 有序閱讀理解，對問題情境進行表征

“喝咖啡問題”是基于現實情境的數學問題，與生活聯系比較緊密，學生在剛接觸這個問題的時候，可能會比較難以理解，故首先引導學生對問題情境進行表征很有必要，會直接影響到后面是否能將生活問題順利轉化成數學問題。

（1）閱讀題目，有序整理。

出示情境：一杯純咖啡，樂樂喝了半杯后，覺得有些苦，就兌滿了牛奶。他又喝了半杯。樂樂一共喝了多少杯純咖啡？多少杯牛奶？

師：這道題目講了一件什么事情？能用數學語言有序地概括一下嗎？

生：第一次喝了■杯純咖啡，第二次兌滿了牛奶，又喝了■杯。

（2）畫圖分析，表征題意。

談話：我們可以運用學過的方法來分析、理解題意，如綜合法、分析法，還有特殊方法——畫圖法。你能用畫圖的方法清晰表示出兩次喝咖啡的過程嗎？

學生匯報后展示：

=

設計意圖：在出示“喝咖啡問題”后，沒有立刻讓學生嘗試畫圖表征，而是先引導學生有序地梳理題目中的信息與所求問題，初步理解題目的意思，并對其進行了初步整理。接著再通過畫圖表征兩次喝牛奶的過程，使得題目更具可視化。

2. 制定解題計劃，選擇合適的策略解答

解決問題的難點與關鍵是“第二次喝了多少杯純咖啡”，需要引導學生排除干擾信息，透過表面抓住“加牛奶前后純咖啡的量不變”這一本質，把問題轉化為“求■的■是多少杯”來解決。由于學生還沒有學習分數乘除法，無法用分數乘除法的知識來解決，教學中要突出借助圖示解決問題的策略，通過畫圖幫助學生直觀理解，并結合問題制定解決的策略——在新情境下，讓學生轉化成學過或會做的情境來解決，從而找到解決問題的方法。

（1）找準關鍵，制定計劃。

提問：我們先解決一共喝了幾杯純咖啡，數量關系式是什么？

板書：第一次喝了幾杯純咖啡+第二次喝了幾杯純咖啡=一共喝了幾杯純咖啡。

設疑：根據解題的數量關系式，目前能直接計算出一共喝了幾杯純咖啡嗎？為什么？

追問：看來第二次喝了幾杯純咖啡是解題的關鍵，那么我們可以確定解題計劃：先求……再求……

小結：在解決問題的時候，可以先確定解題計劃。本題的解題計劃是先求出第二次喝了幾杯純咖啡，再加上第一次喝的。

（2）學會轉化，善用圖示。

方法一：畫圖解決問題之一。

①轉化成數學問題。

提問：第二次喝了的■杯加奶咖啡里包含了什么？所以要求“第二次喝了多少杯純咖啡”，我們可以將其轉化為求什么呢？

小結：要解決關鍵問題“第二次喝了多少杯純咖啡”，可以將其轉化為解決數學問題“■杯加奶咖啡的■是多少”。

②畫圖解決“■杯加奶咖啡的■是多少”。

學生獨自畫圖，匯報后提問：為什么第二次喝的純咖啡是■杯？怎么從圖中看出來的？

結合學生回答，課件出示圖形：

小結：■杯加奶咖啡的■是■杯。

方法二：畫圖解決問題之二。

①轉化成數學問題。

展示學生的另一種畫圖方法：

提問：還有同學是這樣表示兌滿牛奶后的咖啡的。里面究竟有多少杯純咖啡，多少杯牛奶呢？

小結：混合前后，咖啡和牛奶的量都不會改變。用數學的方式，把咖啡和牛奶分離，讓我們更清晰直觀地看到現在有多少杯咖啡，有多少杯牛奶。

轉化：根據圖示思考，現在剩下了■杯純咖啡，第二次又喝了■杯，則要求“第二次喝了多少杯純咖啡”，也可以轉化為求什么？

小結：要解決關鍵問題“第二次喝了多少杯純咖啡”，也可以轉化為解決數學問題“剩下■杯純咖啡的■是多少”。

②畫圖解決“剩下■杯純咖啡的■是多少”。

出示學生兩種不同的畫法，對比：比較兩位同學的作品，有什么相同點與不同點？

辨析：雖然畫法不同——一個是橫著分，一個是豎著分，但所表達的意思是相同的。

小結：剩下■杯純咖啡的■是■杯。

（3）對比深化，總結方法。

對比：兩種解題方法，有什么共同點？有什么不同點？

小結：無論是畫混合狀態，還是用數學的方式將其分離，其共同點都是求“■的■是多少”，并通過畫圖的方法得到“■的■是■”。

回顧難點，小結方法：解決問題時，通過畫示意圖分析題意，將生活問題轉化為數學問題，并把咖啡和牛奶分離開來，再根據題意進行劃分，能幫助我們把“混合”這樣的生活問題變得直觀容易一些。

設計意圖：學生面對信息多樣、步驟繁多的問題，缺乏系統性解決問題的方法。盡管這些題目蘊涵的數量關系并不復雜，但由于情境復雜、步驟繁多，學生需要分層次、依次解答，所以上述教學首先引導學生梳理出解決問題的主要步驟。其次對于學生來說，解決“喝咖啡問題”的關鍵在于將這個生活問題轉化成數學問題。在試教時發現學生其實有兩種做法，一種是將生活問題轉化為“求■杯加奶咖啡的■是多少”，另一種是將其轉化為“求■杯純咖啡的■是多少”，所以筆者在上述教學片段中將兩種方法都呈現了出來，不限制學生的思考方向，但在“對比深化”中幫助學生提煉其數量關系，其實最終都是轉化為“求■的■是多少”，逐步深入，抓住本質。又因為第二次喝的是兌了牛奶的咖啡，生活中是牛奶和咖啡的混合物，對學生理解題意和分析問題產生了很大的干擾，可能會影響他們正確地解答，所以在上述片段中重視引導學生通過借助圖示解決關鍵問題，強化“加牛奶前后純咖啡的量不變”及“先分離再劃分”的畫圖策略。

3. 新知鞏固提升，透過現象抓住本質

雖然例題教學時已經運用各種直觀表征的手段引導學生將生活實際問題轉化為數學問題，并引導學生理解其數量關系，但是對于類似的題目學生畢竟有理解難度，所以需要在鞏固練習中加以強化和突破，幫助學生進一步理解解題的思路，再次感悟“變中有不變”的思想，透過現象抓本質，所以筆者設計了以下的練習。

（1）變中不變，引發沖突。

問題：一杯純咖啡，樂樂喝了半杯后，覺得有些苦，就兌了一些牛奶。他又喝了半杯。樂樂第二次喝了多少杯純咖啡？

布置任務：在練習紙上通過畫圖的方法詳細清晰地表示出你的思考過程。（需要知道“一些”是多少的同學，填入需兌的牛奶量）

對比：比較不同的示意圖和解答，為什么兌的牛奶量不一樣，但第二次喝的純咖啡量卻不變，都是■杯呢？

（2）動態演示，理解本質。

再添牛奶：如果只加一滴牛奶呢？一桶牛奶呢？第二次喝的純咖啡量會怎樣？為什么？

課件演示，看清本質：無論加入多少牛奶，純咖啡的總量都是不變的，所以我們只考慮純咖啡就可以了。

小結：生活中的“混合”轉變為數學思考中的“分離”，更好地幫助我們聚焦問題的關鍵，不被無關的信息干擾。

設計意圖：解題的關鍵是在“加牛奶”的變化過程中抓住不變的量“純咖啡的總量”。本環節通過兌不同量的牛奶，幫助學生看清了“變”中“不變”的規律;再運用多媒體動態演示，帶著學生經歷直觀想象、抽象、建模等過程，從靜止到動態，將抽象的數量關系與直觀的幾何圖形結合，將抽象思維與形象思維結合，促進學生從表面到深層的理解，感悟數形結合的數學思想。

在做了“基于現實情境下的問題解決”研究之后，筆者深深感受到，對于解決現實問題，指導學生形成一般步驟，掌握解題策略，才能促進其提高問題的解決能力，培養數學學科核心素養。