林恒輝， 趙珧冰

(華僑大學 土木工程學院,福建 廈門 361021)

由于材料輕質高強，結構受力合理，索結構在工程中應用極為廣泛[1-2]。這類結構受太陽輻射、風等環境因素影響，其周圍溫度場變化復雜[3]。而結構動力響應往往是多場耦合作用的結果，其分析、設計、評估、試驗和控制等一直都是重點研究方向[4]。研究表明：溫度會通過改變材料彈性模量及其應力-應變關系，從而影響結構的振動特性。但由于結構整體復雜，環境因素時變，其他關于影響機理的共識并不多。同時復雜的邊界條件亦受到溫度變化影響，如果單純基于彈性模量和應力-應變關系來解釋溫度效應，已無法滿足理論研究與工程需求。因此全面描述索結構在溫度場中的動力學行為雖難度較大，無論是理論探索還是工程實踐而言，均有重大意義。

對于拉索溫度效應，Treyssede[5]將Irvine的拉索溫度模型拓展到其頻率和振型研究。Rega等[6]在一個溫度可控環境中展開懸索線性與非線性振動特性測試，結果表明當環境溫度上升20 ℃時，阻尼系數增大52%，阻尼比增大18%，同時發現懸索非線性振動特性對于溫度變化十分敏感。Vairo等[7]基于懸鏈線理論，提出一種解決均勻溫度影響下索力變化的非線性分析方法。Bouaanani等[8]利用有限差分法開展了拉索熱彈性響應研究，其建立的有限差分模型中考慮幾何與材料非線性、溫度變化、溫度敏感性材料等多個影響因素。Lepidi等[9]通過引入與張力和垂度相關的兩個無量綱參數，重新推導出考慮均勻溫度變化影響下拉索的非線性運動微分方程。最近，Zhao等[10-13]基于均勻溫度場中懸索非線性動力學模型，利用各類攝動法和數值計算方法，系統深入研究了溫度變化對懸索的非線性自由振動、主共振和次共振、聯合和組合共振響應特性的影響。

然而為研究簡便，上述非線性振動特性分析時，均忽略了模態間的內共振，不考慮模態間的能量傳遞。事實上懸索作為一類典型的、同時包含平方和立方非線性的柔性結構，其模態間存在多種形式的內共振[14]。以2∶1內共振為例，近年來研究人員對各類非線性系統開展了系統豐富的研究：索-質量系統[15]、彈性約束淺拱[16]、蜂窩夾芯板[17]、變轉速預變形葉片[18]、橫向補給系統高架索[19]、變速運動黏彈性板[20]、偏心旋轉環桁架天線[21]以及空間繩系系統柔性梁[22]等。

對于極易發生內共振響應的非線性系統而言，其參數的微小變化可能引發系統共振響應特性的顯著改變。已有研究顯示：懸索線性和非線性振動特性受溫度效應影響，會產生明顯定性和定量的改變。倘若進一步考慮模態間的內共振及其能量傳遞，溫度變化對系統的內共振響應特性有何影響，現有的研究并沒有給出。因此本文在作者已有研究的基礎上，進一步考慮模態間的2∶1內共振，探究溫度效應影響下系統的共振響應特性。

1 數學模型

如圖1所示水平懸掛于O和B兩點的懸索，以O為原點，建立坐標軸O-xy。當周圍環境溫度發生整體均勻改變時，基于增量熱場理論，懸索將產生新的熱應力平衡狀態。圖中:b和bΔT分別為懸索初始狀態和熱應力狀態時的垂度；L為跨度；u(x,t)和v(x,t)分別為懸索軸向和豎向的位移。外激勵為均勻分布的簡諧荷載。在常規溫度變化的范圍內(比如：±40 ℃)，懸索彈性模量、阻尼系數以及橫截面面積受溫度變化的影響較小，因此本文忽略溫度變化對上述參數的影響。

圖1 懸索構形及特性

基于擬靜定假設，考慮整體均勻溫度變化，利用Hamilton變分原理，得到忽略彎曲、扭轉以及剪切剛度時，懸索面內非線性運動微分方程

(1)

引入以下無量綱參數

(2)

忽略上標“*”，可得無量綱化后的運動方程

(3)

利用Galerkin截斷，將空間x和時間t分離

(4)

式中：φn(x)為模態函數;qn(t)為廣義坐標。

將式(4)代入式(3)中，可得

(5)

式中，阻尼項、激勵項、線性項、平方和立方非線性項系數,如附錄A所示。

2 攝動分析

為了便于求解，式(5)可以改寫為

(6)

(7)

采用多尺度法，設位移和速度的廣義坐標為

qk(t;ε)=εqk1(T0,T1,T2)+ε2qk2(T0,T1,T2)+ε3qk3(T0,T1,T2)+…

(8)

zk(t;ε)=εzk1(T0,T1,T2)+ε2zk2(T0,T1,T2)+ε3zk3(T0,T1,T2)+…

(9)

將式(8)和式(9)代入式(6)和式(7)中，并令ε的各次冪系數等于0，整理可得各階微分方程組。由于僅考慮m和n階模態之間的內共振，一階方程的解可以假設為

qk1=Ak(T1,T2)eiωkT0(δkm+δkn)+cc

(10)

zk1=iωkAk(T1,T2)eiωkT0(δkm+δkn)+cc

(11)

將上式代入二階方程中，可求得二階近似解。對于2∶1內共振，引入調諧參數σ1來描述Ω和ωm(ωn)相接近的程度，引入調諧參數σ2來描述2ωm和ωn相接近的程度

Ω=ωi+εσ1,ωn=2ωm+εσ2,(i=m,n)

(12)

將二階近似解代入三階微分方程，可得可解性條件

(13)

(14)

式中,非線性相互作用系數Kij見附錄B。

(15)

(16)

式中，Sm=Λmmn+Λmnm；Sn=Λnmm。

Aj可表示為極坐標形式：Aj=aj(t)eiβj(t)/2,j=m,n，式中，aj，βj分別為幅值和相位，將其代入式(15)和式(16)，可得極坐標形式的平均方程

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：Δ=βn-2βm+σ2t;當Ω=ωm時υm=σ1,υn=2σ1-σ2,γm=σ1t-βm,γn=(σ1-σ2)t-βn+βm;當Ω=ωn時υm=σ1+σ2,υn=σ1,γn=σ1t-βn,γm=(σ1+σ2)t-2βm。S=Sm=2Sn, 其他非線性系數見附錄B。

此外，解Aj還可以表示為直角坐標形式：Aj=[pj(t)-iqj(t)]eiβj(t)/2,j=m,n，代入式(15)和式(16)可得

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：當激勵直接作用在低階模態時(Ω=ωm)，υm=σ1，υn=(2σ1-σ2)；當激勵直接作用在高階模態時(Ω=ωn),υm=(σ1+σ2)/2,υn=σ1。

3 數值算例與分析

懸索的各項物理參數分別為：L=200.0 m，A=7.069×10-2m2，E=200 GPa，ρ=7 800.0 kg/m3，α=1.2×10-5℃-1以及g=9.81 m/s2。無量綱化后的阻尼系數，低階模態為0.005，高階模態為0.006。基于線性系統的特征值分析，圖2給出了考慮溫度變化影響下，懸索的前六階模態頻率與Irvine參數λ2的關系曲線。如圖所示，對于反對稱模態頻率，溫度上升，頻率下降；而正對稱模態頻率與溫度變化的關系則較為復雜，隨著溫度升高，模態頻率降低/升高均有可能出現，與Irvine參數大小密切相關。隨著Irvine參數的增大，前三階正/反對稱模態頻率會出現交點，在交點附近，該非線性系統容易發生1∶1內共振響應。溫度改變時，由于頻率改變，交點會發生明顯漂移。與此類似，如圖2中(a)～(d)所示，當不考慮溫度變化時，在圖中黑點處，兩個模態頻率之間時常呈現出2倍關系。而此時懸索在外激勵作用下，極易發生2∶1內共振響應(當然并非兩個模態頻率之間存在兩倍關系，就一定會發生2∶1內共振)。然而隨著溫度發生變化，頻率之間的公倍關系也將隨之改變，從而導致對應的內共振響應也發生變化。

圖2中(a)～(d)所示四個位置，非線性系統易發生2∶1內共振，為研究簡便，本文以一階和三階正對稱模態之間發生2∶1內共振為例(見圖2中(b))，探究溫度變化對系統內共振響應特性影響。此時一階和三階正對稱模態頻率對應的是懸索的第二階和第五階頻率(m=2,n=5)。原本可能發生2∶1內共振的懸索，由于其頻率之間的公倍關系被溫度變化所打破，系統發生內共振的位置將產生漂移。如圖2(b)所示，當溫度上升時，更小Irvine參數的懸索，其頻率之間將呈現出兩倍關系，反之，頻率呈兩倍關系將發生在更大Irvine參數處。

表1給出了不同溫度變化下，懸索的各個參數以及線性和非線性相互作用系數的大小。由于模態之間存在明顯的相互作用，因此在計算有限非線性系數時，考慮了前九階模態。已有研究表明[23]：無論是對于水平懸索還是斜拉索，無論是拉索垂度大還是小，計算時取前九階模態完全可以保證非線性系數的可靠性以及收斂性。

確定了不同溫度情況下的線性和非線性系數后，基于直角形式的平均方程式(21)～式(24)，選擇合適的初始條件，利用Newton-Raphson法求得不動點，動態解(極限環)則利用打靶法求得。不動點的穩定性通過其Jacobian矩陣的特征值來判斷，有且僅有所有特征值的實數部分為負時，解為穩定，否則不穩定。在霍普分岔附近，不動點的穩定性會發生改變，此時極限環的穩定性，則利用Floquet理論來判斷。計算伊始，通過給定的初始條件，求得系統遠離共振區域的解，之后采用擬弧長延拓法得到其余區域的共振響應曲線。利用分岔和混沌計算軟件XPPAUT可以輕松實現上述計算流程[24]。

圖2 考慮溫度變化影響下懸索前六階模態頻率

當激勵分別作用在高階和低階模態時，本文通過激勵響應幅值曲線、幅頻響應曲線、動態解、時程曲線、相位圖、頻率譜以及龐加萊截面，來展現不同溫度變化情況下懸索的2∶1內共振響應特性。三角形和圓形分別表示溫度升高和降低40 ℃時的數值積分解，實線表示穩定解，虛線表示不穩定解。圖中:SN表示鞍結點分岔;PF表示叉形分岔;HB表示霍普分岔;PD表示倍周期分岔。由于內共振響應復雜，曲線較多，圖中省略了溫度不發生改變的情況(ΔT=0 ℃)。

表1 不同溫度變化時懸索參數、線性與非線性相互作用系數

首先，假設激勵直接作用在高階模態(n=5)，此時低階模態(m=2)將通過2∶1內共振的形式被間接激發。圖3描述了當調諧參數σ1=-0.1和σ2=0時，系統的激勵響應幅值曲線。圖中當激勵幅值f5從0開始不斷增大，高階模態振幅a5不斷增加，由于激勵直接作用在高階，在PF1之前低階模態振幅a2始終等于0。激勵幅值f5持續增長，直到PF1，此時低階模態振幅a2通過內共振被激發，能量從高階模態傳遞到低階模態，導致振幅迅速增加，并且逐漸大于高階模態振幅a5。倘若激勵幅值f5進一步增大，高階模態振幅a5則持續增加，而低階模態振幅a2則不斷下降。

當激勵幅值f5從0.006開始不斷減小，高階和低階模態被同時激發，而且隨著激勵幅值的不斷減小，高階模態振幅a5不斷減小，而低階模態振幅a2則不斷增加，直到HB2點。此后，激勵幅值進一步減小，低階模態振幅a2隨之減小，直到SN1后a2消失。

圖3 考慮溫度變化影響的激勵響應幅值曲線(σ1=-0.1和σ2=0)

對于溫度效應，如圖3所示，無論是高階還是低階模態，溫度升高，振幅增大，溫度降低，幅值減小。不過隨著激勵幅值不斷增加，溫度變化對高階模態振幅的影響越來越明顯，而對低階模態振幅的影響則逐漸降低。此外溫度變化對動態分岔(HB)的影響明顯大于靜態分岔(SN和PF)。為了驗證理論分析的結果，對于初始的常微分方程式(5)，采用四階龍格-庫塔法直接進行數值積分，選取合適的初始條件，可以得到穩定的幅值(圖中深色和灰色實心點)。如圖3所示，數值積分解與攝動分析解吻合較好，從而也驗證了理論分析的正確性。

圖4描述了當激勵幅值f5=0.000 4和調諧參數σ2=0時，外激勵調諧參數σ1與響應幅值(a2和a5)關系曲線。如圖所示，由于激勵直接作用在高階模態，在非內共振區間，低階模態振幅a2均為0，此時高階模態振幅a5隨著溫度上升而增加，尤其是振動幅值較大時，影響較為明顯。在內共振區域，溫度變化對低階模態振幅a2影響明顯大于高階模態振幅a5，而且隨著溫度的上升，曲線向左偏轉幅度降低，振幅a2增加。對于系統展現出的三類分岔，溫度變化對兩個霍普分岔(HB)的影響更加明顯，鞍結點分岔(SN)和叉形分岔(PF)受溫度變化的影響可以忽略。當外激勵頻率從大到小不斷減小時，隨著溫度上升，霍普分岔的出現較為滯后。

圖4 考慮溫度變化影響的幅頻響應曲線(f5=0.000 4和σ2=0)

由圖3和圖4可知，動態分岔受溫度變化的影響明顯強于靜態分岔。因此圖5描述了系統在兩個霍普分岔點附近的動態解，其中實心圖形和空心圖形分別表示穩定和不穩定的動態解。如圖所示，HB1和HB2均為超臨界霍普分岔，從兩點出來的動態解均為穩定；此外動態解中將出現兩個倍周期分岔PD1和PD2。受溫度上升影響，兩個霍普分岔HB1和HB2以及倍周期分岔PD2明顯向左移動，將出現在更小的激勵頻率附近。倍周期分岔PD1受溫度變化的影響并不明顯，但兩個倍周期分岔PD1和PD2之間的范圍在升溫時會明顯減小。

圖5 考慮溫度變化影響時霍普分岔點處的動態解

由于倍周期分岔是系統進入多周期、擬周期或者混沌運動的一種途徑。因此圖6給出了一組調諧參數下(σ1=-0.047和σ2=0)，該非線性系統振動的時程曲線、相位圖、頻率譜以及龐加萊截面。如圖5所示，當環境溫度上升和下降時，PD2將分別出現在-0.048 8和-0.027 2。為了探究不同溫度條件下的周期運動，外激勵的調諧參數σ1取為-0.047 0如果激勵頻率由大到小變化，此時系統在降溫環境中已超過倍周期分岔PD2(-0.027 2)，而在升溫環境中，尚未到達倍周期分岔PD2(-0.048 8)。

如圖6所示，時程曲線對于溫度的變化非常敏感，對比相位圖，升溫時一個圈，降溫時八個圈。根據頻率譜以及龐加萊截面不難看出，溫度下降時，系統響應頻率將出現約八個峰值，而溫度上升時，卻只有一個明顯的峰值。再對比龐加萊截面，降溫時為八個點，升溫時為一個。從這些振動特性均不難看出，一個系統做八周期運動，另一個則是一周期運動。由此可見，在內共振區域，受溫度變化的影響，盡管調諧參數相同，但是系統會展現出截然不同的周期運動。

圖6 考慮溫度變化影響的時程曲線、相位圖、頻譜以及龐加萊截面(f5=0.000 4，σ1=-0.047,σ2=0)

當激勵由直接作用在高階模態轉換為低階模態時，低階模態振幅直接被激發，高階模態振幅則通過模態間內共振被激發，此時能量將直接從低階模態傳遞到高階模態。圖7給出了當激勵直接作用在低階模態時，系統的激勵響應幅值曲線受溫度變化的影響(σ1=0.2和σ2=0)。對比圖7和圖3不難發現，當激勵幅值f2從零開始增加時，高階模態振幅a5一開始就不等于0。且隨著激勵幅值的不斷增加，a2和a5均不斷增大。而隨著溫度上升，直接激勵模態的響應幅值a2不斷增加，而高階模態振幅a5受溫度變化的影響則不明顯。當激勵幅值f2從0.01不斷減小時，選取合適初始條件，可以得到另外一根共振曲線。此時，通過內共振激發的振幅a5大于直接激發的振幅a2。而且隨著激勵幅值的不斷減小，系統會出現鞍結點分岔SN1，但是該分岔受溫度變化的影響并不明顯。此時無論是低階還是高階模態，其振動幅值均隨著溫度的降低而減小。

圖7 溫度變化對激勵響應幅值曲線影響(σ1=0.2和σ2=0)

圖8給出了激勵直接作用在低階模態時，系統幅頻響應曲線受溫度變化影響，此時外激勵幅值f2選取為0.006，內共振調諧參數σ2=0。系統展現出兩個鞍結點分岔點(SN1和SN2)和兩個霍普分岔點(HB1和HB2)。直接激勵模態的響應幅值a2明顯大于因內共振而激發的響應幅值a5，且前者受溫度變化的影響更加明顯。對于低階模態，隨著溫度的降低，曲線向左偏轉的程度加劇，系統響應幅值a2降低。溫度變化對霍普分岔點的影響明顯大于鞍節點分岔點，當外激勵調諧參數σ1從0.4不斷減小時，在升溫的環境中，霍普分岔的出現明顯滯后，該結論與激勵作用在高階模態時的均一致。

圖8 溫度變化對幅頻響應曲線影響(f2=0.006和σ2=0)

4 結 論

本文以懸索同時發生主共振和2∶1內共振為例，研究了該非線性系統共振響應特性受溫度變化的影響。研究結果表明：溫度會明顯改變懸索模態頻率，影響系統內共振響應，溫度上升時，內共振更容易發生在Irvine參數較小的懸索，反之就更容易發生于較大Irvine參數的懸索；無論激勵直接作用在高階還是低階模態，共振響應的幅值隨著溫度上升而增加，反之則減小；直接激發的模態響應幅值與因內共振激發的響應幅值受溫度變化影響的敏感程度有明顯區別；溫度變化對動態分岔(霍普和倍周期分岔)影響要比對靜態分岔(鞍結點和叉形分岔)明顯得多；動態分岔會隨著溫度上升，向更小激勵幅值和頻率方向移動；系統的動態解和周期運動與溫度變化密切相關，相同的調諧參數，不同的溫度，系統的周期運動可能截然不同。研究懸索內共振響應受溫度變化的影響，可以為其他同時包含平方和立方非線性系統(比如：淺拱、索梁和旋轉葉片等)振動特性的溫度效應提供參考和依據。