溫度變化對懸索非線性內共振響應特性影響

林恒輝， 趙珧冰

(華僑大學 土木工程學院,福建 廈門 361021)

由于材料輕質高強，結構受力合理，索結構在工程中應用極為廣泛[1-2]。這類結構受太陽輻射、風等環(huán)境因素影響，其周圍溫度場變化復雜[3]。而結構動力響應往往是多場耦合作用的結果，其分析、設計、評估、試驗和控制等一直都是重點研究方向[4]。研究表明：溫度會通過改變材料彈性模量及其應力-應變關系，從而影響結構的振動特性。但由于結構整體復雜，環(huán)境因素時變，其他關于影響機理的共識并不多。同時復雜的邊界條件亦受到溫度變化影響，如果單純基于彈性模量和應力-應變關系來解釋溫度效應，已無法滿足理論研究與工程需求。因此全面描述索結構在溫度場中的動力學行為雖難度較大，無論是理論探索還是工程實踐而言，均有重大意義。

對于拉索溫度效應，Treyssede[5]將Irvine的拉索溫度模型拓展到其頻率和振型研究。Rega等[6]在一個溫度可控環(huán)境中展開懸索線性與非線性振動特性測試，結果表明當環(huán)境溫度上升20 ℃時，阻尼系數增大52%，阻尼比增大18%，同時發(fā)現懸索非線性振動特性對于溫度變化十分敏感。Vairo等[7]基于懸鏈線理論，提出一種解決均勻溫度影響下索力變化的非線性分析方法。Bouaanani等[8]利用有限差分法開展了拉索熱彈性響應研究，其建立的有限差分模型中考慮幾何與材料非線性、溫度變化、溫度敏感性材料等多個影響因素。Lepidi等[9]通過引入與張力和垂度相關的兩個無量綱參數，重新推導出考慮均勻溫度變化影響下拉索的非線性運動微分方程。最近，Zhao等[10-13]基于均勻溫度場中懸索非線性動力學模型，利用各類攝動法和數值計算方法，系統(tǒng)深入研究了溫度變化對懸索的非線性自由振動、主共振和次共振、聯(lián)合和組合共振響應特性的影響。

然而為研究簡便，上述非線性振動特性分析時，均忽略了模態(tài)間的內共振，不考慮模態(tài)間的能量傳遞。事實上懸索作為一類典型的、同時包含平方和立方非線性的柔性結構，其模態(tài)間存在多種形式的內共振[14]。以2∶1內共振為例，近年來研究人員對各類非線性系統(tǒng)開展了系統(tǒng)豐富的研究：索-質量系統(tǒng)[15]、彈性約束淺拱[16]、蜂窩夾芯板[17]、變轉速預變形葉片[18]、橫向補給系統(tǒng)高架索[19]、變速運動黏彈性板[20]、偏心旋轉環(huán)桁架天線[21]以及空間繩系系統(tǒng)柔性梁[22]等。

對于極易發(fā)生內共振響應的非線性系統(tǒng)而言，其參數的微小變化可能引發(fā)系統(tǒng)共振響應特性的顯著改變。已有研究顯示：懸索線性和非線性振動特性受溫度效應影響，會產生明顯定性和定量的改變。倘若進一步考慮模態(tài)間的內共振及其能量傳遞，溫度變化對系統(tǒng)的內共振響應特性有何影響，現有的研究并沒有給出。因此本文在作者已有研究的基礎上，進一步考慮模態(tài)間的2∶1內共振，探究溫度效應影響下系統(tǒng)的共振響應特性。

1 數學模型

如圖1所示水平懸掛于O和B兩點的懸索，以O為原點，建立坐標軸O-xy。當周圍環(huán)境溫度發(fā)生整體均勻改變時，基于增量熱場理論，懸索將產生新的熱應力平衡狀態(tài)。圖中:b和bΔT分別為懸索初始狀態(tài)和熱應力狀態(tài)時的垂度；L為跨度；u(x,t)和v(x,t)分別為懸索軸向和豎向的位移。外激勵為均勻分布的簡諧荷載。在常規(guī)溫度變化的范圍內(比如：±40 ℃)，懸索彈性模量、阻尼系數以及橫截面面積受溫度變化的影響較小，因此本文忽略溫度變化對上述參數的影響。

圖1 懸索構形及特性

基于擬靜定假設，考慮整體均勻溫度變化，利用Hamilton變分原理，得到忽略彎曲、扭轉以及剪切剛度時，懸索面內非線性運動微分方程

(1)

引入以下無量綱參數

(2)

忽略上標“*”，可得無量綱化后的運動方程

(3)

利用Galerkin截斷，將空間x和時間t分離

(4)

式中：φn(x)為模態(tài)函數;qn(t)為廣義坐標。

將式(4)代入式(3)中，可得

(5)

式中，阻尼項、激勵項、線性項、平方和立方非線性項系數,如附錄A所示。

2 攝動分析

為了便于求解，式(5)可以改寫為

(6)

(7)

采用多尺度法，設位移和速度的廣義坐標為

qk(t;ε)=εqk1(T0,T1,T2)+ε2qk2(T0,T1,T2)+ε3qk3(T0,T1,T2)+…

(8)

zk(t;ε)=εzk1(T0,T1,T2)+ε2zk2(T0,T1,T2)+ε3zk3(T0,T1,T2)+…

(9)

將式(8)和式(9)代入式(6)和式(7)中，并令ε的各次冪系數等于0，整理可得各階微分方程組。由于僅考慮m和n階模態(tài)之間的內共振，一階方程的解可以假設為

qk1=Ak(T1,T2)eiωkT0(δkm+δkn)+cc

(10)

zk1=iωkAk(T1,T2)eiωkT0(δkm+δkn)+cc

(11)

將上式代入二階方程中，可求得二階近似解。對于2∶1內共振，引入調諧參數σ1來描述Ω和ωm(ωn)相接近的程度，引入調諧參數σ2來描述2ωm和ωn相接近的程度

Ω=ωi+εσ1,ωn=2ωm+εσ2,(i=m,n)

(12)

將二階近似解代入三階微分方程，可得可解性條件

(13)

(14)

式中,非線性相互作用系數Kij見附錄B。

(15)

(16)

式中，Sm=Λmmn+Λmnm；Sn=Λnmm。

Aj可表示為極坐標形式：Aj=aj(t)eiβj(t)/2,j=m,n，式中，aj，βj分別為幅值和相位，將其代入式(15)和式(16)，可得極坐標形式的平均方程

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：Δ=βn-2βm+σ2t;當Ω=ωm時υm=σ1,υn=2σ1-σ2,γm=σ1t-βm,γn=(σ1-σ2)t-βn+βm;當Ω=ωn時υm=σ1+σ2,υn=σ1,γn=σ1t-βn,γm=(σ1+σ2)t-2βm。S=Sm=2Sn, 其他非線性系數見附錄B。

此外，解Aj還可以表示為直角坐標形式：Aj=[pj(t)-iqj(t)]eiβj(t)/2,j=m,n，代入式(15)和式(16)可得

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：當激勵直接作用在低階模態(tài)時(Ω=ωm)，υm=σ1，υn=(2σ1-σ2)；當激勵直接作用在高階模態(tài)時(Ω=ωn),υm=(σ1+σ2)/2,υn=σ1。

3 數值算例與分析

懸索的各項物理參數分別為：L=200.0 m，A=7.069×10-2m2，E=200 GPa，ρ=7 800.0 kg/m3，α=1.2×10-5℃-1以及g=9.81 m/s2。無量綱化后的阻尼系數，低階模態(tài)為0.005，高階模態(tài)為0.006。基于線性系統(tǒng)的特征值分析，圖2給出了考慮溫度變化影響下，懸索的前六階模態(tài)頻率與Irvine參數λ2的關系曲線。如圖所示，對于反對稱模態(tài)頻率，溫度上升，頻率下降；而正對稱模態(tài)頻率與溫度變化的關系則較為復雜，隨著溫度升高，模態(tài)頻率降低/升高均有可能出現，與Irvine參數大小密切相關。隨著Irvine參數的增大，前三階正/反對稱模態(tài)頻率會出現交點，在交點附近，該非線性系統(tǒng)容易發(fā)生1∶1內共振響應。溫度改變時，由于頻率改變，交點會發(fā)生明顯漂移。與此類似，如圖2中(a)～(d)所示，當不考慮溫度變化時，在圖中黑點處，兩個模態(tài)頻率之間時常呈現出2倍關系。而此時懸索在外激勵作用下，極易發(fā)生2∶1內共振響應(當然并非兩個模態(tài)頻率之間存在兩倍關系，就一定會發(fā)生2∶1內共振)。然而隨著溫度發(fā)生變化，頻率之間的公倍關系也將隨之改變，從而導致對應的內共振響應也發(fā)生變化。

圖2中(a)～(d)所示四個位置，非線性系統(tǒng)易發(fā)生2∶1內共振，為研究簡便，本文以一階和三階正對稱模態(tài)之間發(fā)生2∶1內共振為例(見圖2中(b))，探究溫度變化對系統(tǒng)內共振響應特性影響。此時一階和三階正對稱模態(tài)頻率對應的是懸索的第二階和第五階頻率(m=2,n=5)。原本可能發(fā)生2∶1內共振的懸索，由于其頻率之間的公倍關系被溫度變化所打破，系統(tǒng)發(fā)生內共振的位置將產生漂移。如圖2(b)所示，當溫度上升時，更小Irvine參數的懸索，其頻率之間將呈現出兩倍關系，反之，頻率呈兩倍關系將發(fā)生在更大Irvine參數處。

表1給出了不同溫度變化下，懸索的各個參數以及線性和非線性相互作用系數的大小。由于模態(tài)之間存在明顯的相互作用，因此在計算有限非線性系數時，考慮了前九階模態(tài)。已有研究表明[23]：無論是對于水平懸索還是斜拉索，無論是拉索垂度大還是小，計算時取前九階模態(tài)完全可以保證非線性系數的可靠性以及收斂性。

確定了不同溫度情況下的線性和非線性系數后，基于直角形式的平均方程式(21)～式(24)，選擇合適的初始條件，利用Newton-Raphson法求得不動點，動態(tài)解(極限環(huán))則利用打靶法求得。不動點的穩(wěn)定性通過其Jacobian矩陣的特征值來判斷，有且僅有所有特征值的實數部分為負時，解為穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。在霍普分岔附近，不動點的穩(wěn)定性會發(fā)生改變，此時極限環(huán)的穩(wěn)定性，則利用Floquet理論來判斷。計算伊始，通過給定的初始條件，求得系統(tǒng)遠離共振區(qū)域的解，之后采用擬弧長延拓法得到其余區(qū)域的共振響應曲線。利用分岔和混沌計算軟件XPPAUT可以輕松實現上述計算流程[24]。

圖2 考慮溫度變化影響下懸索前六階模態(tài)頻率

當激勵分別作用在高階和低階模態(tài)時，本文通過激勵響應幅值曲線、幅頻響應曲線、動態(tài)解、時程曲線、相位圖、頻率譜以及龐加萊截面，來展現不同溫度變化情況下懸索的2∶1內共振響應特性。三角形和圓形分別表示溫度升高和降低40 ℃時的數值積分解，實線表示穩(wěn)定解，虛線表示不穩(wěn)定解。圖中:SN表示鞍結點分岔;PF表示叉形分岔;HB表示霍普分岔;PD表示倍周期分岔。由于內共振響應復雜，曲線較多，圖中省略了溫度不發(fā)生改變的情況(ΔT=0 ℃)。

表1 不同溫度變化時懸索參數、線性與非線性相互作用系數

首先，假設激勵直接作用在高階模態(tài)(n=5)，此時低階模態(tài)(m=2)將通過2∶1內共振的形式被間接激發(fā)。圖3描述了當調諧參數σ1=-0.1和σ2=0時，系統(tǒng)的激勵響應幅值曲線。圖中當激勵幅值f5從0開始不斷增大，高階模態(tài)振幅a5不斷增加，由于激勵直接作用在高階，在PF1之前低階模態(tài)振幅a2始終等于0。激勵幅值f5持續(xù)增長，直到PF1，此時低階模態(tài)振幅a2通過內共振被激發(fā)，能量從高階模態(tài)傳遞到低階模態(tài)，導致振幅迅速增加，并且逐漸大于高階模態(tài)振幅a5。倘若激勵幅值f5進一步增大，高階模態(tài)振幅a5則持續(xù)增加，而低階模態(tài)振幅a2則不斷下降。

當激勵幅值f5從0.006開始不斷減小，高階和低階模態(tài)被同時激發(fā)，而且隨著激勵幅值的不斷減小，高階模態(tài)振幅a5不斷減小，而低階模態(tài)振幅a2則不斷增加，直到HB2點。此后，激勵幅值進一步減小，低階模態(tài)振幅a2隨之減小，直到SN1后a2消失。

圖3 考慮溫度變化影響的激勵響應幅值曲線(σ1=-0.1和σ2=0)

對于溫度效應，如圖3所示，無論是高階還是低階模態(tài)，溫度升高，振幅增大，溫度降低，幅值減小。不過隨著激勵幅值不斷增加，溫度變化對高階模態(tài)振幅的影響越來越明顯，而對低階模態(tài)振幅的影響則逐漸降低。此外溫度變化對動態(tài)分岔(HB)的影響明顯大于靜態(tài)分岔(SN和PF)。為了驗證理論分析的結果，對于初始的常微分方程式(5)，采用四階龍格-庫塔法直接進行數值積分，選取合適的初始條件，可以得到穩(wěn)定的幅值(圖中深色和灰色實心點)。如圖3所示，數值積分解與攝動分析解吻合較好，從而也驗證了理論分析的正確性。

圖4描述了當激勵幅值f5=0.000 4和調諧參數σ2=0時，外激勵調諧參數σ1與響應幅值(a2和a5)關系曲線。如圖所示，由于激勵直接作用在高階模態(tài)，在非內共振區(qū)間，低階模態(tài)振幅a2均為0，此時高階模態(tài)振幅a5隨著溫度上升而增加，尤其是振動幅值較大時，影響較為明顯。在內共振區(qū)域，溫度變化對低階模態(tài)振幅a2影響明顯大于高階模態(tài)振幅a5，而且隨著溫度的上升，曲線向左偏轉幅度降低，振幅a2增加。對于系統(tǒng)展現出的三類分岔，溫度變化對兩個霍普分岔(HB)的影響更加明顯，鞍結點分岔(SN)和叉形分岔(PF)受溫度變化的影響可以忽略。當外激勵頻率從大到小不斷減小時，隨著溫度上升，霍普分岔的出現較為滯后。

圖4 考慮溫度變化影響的幅頻響應曲線(f5=0.000 4和σ2=0)

由圖3和圖4可知，動態(tài)分岔受溫度變化的影響明顯強于靜態(tài)分岔。因此圖5描述了系統(tǒng)在兩個霍普分岔點附近的動態(tài)解，其中實心圖形和空心圖形分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的動態(tài)解。如圖所示，HB1和HB2均為超臨界霍普分岔，從兩點出來的動態(tài)解均為穩(wěn)定；此外動態(tài)解中將出現兩個倍周期分岔PD1和PD2。受溫度上升影響，兩個霍普分岔HB1和HB2以及倍周期分岔PD2明顯向左移動，將出現在更小的激勵頻率附近。倍周期分岔PD1受溫度變化的影響并不明顯，但兩個倍周期分岔PD1和PD2之間的范圍在升溫時會明顯減小。

圖5 考慮溫度變化影響時霍普分岔點處的動態(tài)解

由于倍周期分岔是系統(tǒng)進入多周期、擬周期或者混沌運動的一種途徑。因此圖6給出了一組調諧參數下(σ1=-0.047和σ2=0)，該非線性系統(tǒng)振動的時程曲線、相位圖、頻率譜以及龐加萊截面。如圖5所示，當環(huán)境溫度上升和下降時，PD2將分別出現在-0.048 8和-0.027 2。為了探究不同溫度條件下的周期運動，外激勵的調諧參數σ1取為-0.047 0如果激勵頻率由大到小變化，此時系統(tǒng)在降溫環(huán)境中已超過倍周期分岔PD2(-0.027 2)，而在升溫環(huán)境中，尚未到達倍周期分岔PD2(-0.048 8)。

如圖6所示，時程曲線對于溫度的變化非常敏感，對比相位圖，升溫時一個圈，降溫時八個圈。根據頻率譜以及龐加萊截面不難看出，溫度下降時，系統(tǒng)響應頻率將出現約八個峰值，而溫度上升時，卻只有一個明顯的峰值。再對比龐加萊截面，降溫時為八個點，升溫時為一個。從這些振動特性均不難看出，一個系統(tǒng)做八周期運動，另一個則是一周期運動。由此可見，在內共振區(qū)域，受溫度變化的影響，盡管調諧參數相同，但是系統(tǒng)會展現出截然不同的周期運動。

圖6 考慮溫度變化影響的時程曲線、相位圖、頻譜以及龐加萊截面(f5=0.000 4，σ1=-0.047,σ2=0)

當激勵由直接作用在高階模態(tài)轉換為低階模態(tài)時，低階模態(tài)振幅直接被激發(fā)，高階模態(tài)振幅則通過模態(tài)間內共振被激發(fā)，此時能量將直接從低階模態(tài)傳遞到高階模態(tài)。圖7給出了當激勵直接作用在低階模態(tài)時，系統(tǒng)的激勵響應幅值曲線受溫度變化的影響(σ1=0.2和σ2=0)。對比圖7和圖3不難發(fā)現，當激勵幅值f2從零開始增加時，高階模態(tài)振幅a5一開始就不等于0。且隨著激勵幅值的不斷增加，a2和a5均不斷增大。而隨著溫度上升，直接激勵模態(tài)的響應幅值a2不斷增加，而高階模態(tài)振幅a5受溫度變化的影響則不明顯。當激勵幅值f2從0.01不斷減小時，選取合適初始條件，可以得到另外一根共振曲線。此時，通過內共振激發(fā)的振幅a5大于直接激發(fā)的振幅a2。而且隨著激勵幅值的不斷減小，系統(tǒng)會出現鞍結點分岔SN1，但是該分岔受溫度變化的影響并不明顯。此時無論是低階還是高階模態(tài)，其振動幅值均隨著溫度的降低而減小。

圖7 溫度變化對激勵響應幅值曲線影響(σ1=0.2和σ2=0)

圖8給出了激勵直接作用在低階模態(tài)時，系統(tǒng)幅頻響應曲線受溫度變化影響，此時外激勵幅值f2選取為0.006，內共振調諧參數σ2=0。系統(tǒng)展現出兩個鞍結點分岔點(SN1和SN2)和兩個霍普分岔點(HB1和HB2)。直接激勵模態(tài)的響應幅值a2明顯大于因內共振而激發(fā)的響應幅值a5，且前者受溫度變化的影響更加明顯。對于低階模態(tài)，隨著溫度的降低，曲線向左偏轉的程度加劇，系統(tǒng)響應幅值a2降低。溫度變化對霍普分岔點的影響明顯大于鞍節(jié)點分岔點，當外激勵調諧參數σ1從0.4不斷減小時，在升溫的環(huán)境中，霍普分岔的出現明顯滯后，該結論與激勵作用在高階模態(tài)時的均一致。

圖8 溫度變化對幅頻響應曲線影響(f2=0.006和σ2=0)

4 結 論

本文以懸索同時發(fā)生主共振和2∶1內共振為例，研究了該非線性系統(tǒng)共振響應特性受溫度變化的影響。研究結果表明：溫度會明顯改變懸索模態(tài)頻率，影響系統(tǒng)內共振響應，溫度上升時，內共振更容易發(fā)生在Irvine參數較小的懸索，反之就更容易發(fā)生于較大Irvine參數的懸索；無論激勵直接作用在高階還是低階模態(tài)，共振響應的幅值隨著溫度上升而增加，反之則減小；直接激發(fā)的模態(tài)響應幅值與因內共振激發(fā)的響應幅值受溫度變化影響的敏感程度有明顯區(qū)別；溫度變化對動態(tài)分岔(霍普和倍周期分岔)影響要比對靜態(tài)分岔(鞍結點和叉形分岔)明顯得多；動態(tài)分岔會隨著溫度上升，向更小激勵幅值和頻率方向移動；系統(tǒng)的動態(tài)解和周期運動與溫度變化密切相關，相同的調諧參數，不同的溫度，系統(tǒng)的周期運動可能截然不同。研究懸索內共振響應受溫度變化的影響，可以為其他同時包含平方和立方非線性系統(tǒng)(比如：淺拱、索梁和旋轉葉片等)振動特性的溫度效應提供參考和依據。