基于自適應Morlet小波參數字典設計的微弱故障檢測方法研究

鄧飛躍， 強亞文， 郝如江， 馬懷祥， 高 飛

(1.石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043；2. 石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043)

齒輪箱被廣泛應用于各種旋轉機械設備中，是機械系統中傳遞動力的重要組成部件。但惡劣的工況往往造成齒輪產生多種故障，甚至引起重大的人員與經濟損失。及時、準確地檢測出齒輪故障，在工程實際中具有非常積極的意義。

基于信號處理的齒輪故障診斷方法，近年來不斷涌現并得到了得到廣泛應用。古瑩奎等[1]提出一種結合完整集成經驗模態分解，信號質量指數與奇異值分解的齒輪故障最優特征提取方法；Zhang等[2]應用一種新的自適應局部振蕩特征分解方法，可有效識別齒輪瞬時故障特征頻率；佘博等[3]將一種新的增量式監督局部切空間排列算法與支持向量機相結合，用于齒輪箱多故障狀態識別。其中，稀疏表示法作為一種新的工具也得到了快速發展。它基于過完備字典，可以將故障信號表示為若干個原子的線性組合，在尋找最優稀疏系數的基礎上，可準確提取信號固有的特征結構[4]。但是，如何設計一個有效的稀疏表示字典，一直是一個廣泛研究的熱點問題。

目前，學習字典與參數字典是原子字典設計的兩種主要方法[5]。學習字典通過學習目標信號的特征信息能夠自適應地更新字典，主要方法有：K奇異值分解法(K-sigular value decomposition, K-SVD)[6]、最優方向法(method of optimal directions, MOD)[7]、位移不變稀疏編碼算法(shift invariant sparse coding algorithm, SISCA)[8]。但學習字典在應用中主要存在兩個不足：①只有學習大量樣本信號，學習字典才能有效揭示信號中內在固有特征；②由于信號中故障特征微弱，學習得到的字典原子中更多的是強背景噪聲干擾成分。參數字典基于固定小波基函數，可充分利用小波波形與沖擊波形相似的特點，有效提取信號中微弱的故障沖擊特征[9]。Fan等[10]基于Morlet小波，采用相關濾波算法(correlation filtering algorithm，CFA)構造了用于齒輪故障診斷參數字典；Sun等[11]結合Laplace小波與CFA，提出了用于軸承故障診斷的參數脈沖小波字典；He等[12]利用CFA設計了一個包含穩態調制與沖擊調制成分的參數字典，用于齒輪箱復合故障診斷。雖然小波基函數類型的選取多種多樣，但均通過CFA來確定小波參數值。不可忽視的是，傳統CFA方法在實際應用存在著抗噪性差、計算量大等缺陷，限制了參數字典在稀疏表示中的應用。

鑒于上述問題，本文提出了一種新的基于Morlet小波自適應參數字典設計方法。該方法基于局部分割和全局分析思想，采用相關系數與峭度指標綜合評價小波函數與目標信號的局部匹配度與全局匹配度，利用鯨魚優化算法(whale optimization algorithm，WOA)自適應確定小波字典參數。最后，結合正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit， OMP)算法對振動信號進行稀疏分解，通過包絡譜分析提取齒輪微弱的故障特征。

1 自適應Morlet小波參數字典設計

1.1 稀疏模型及正交匹配追蹤

傳感器拾取的故障振動信號y表示為

y=h+e

(1)

式中:h為故障特征信號;e為背景噪聲。假定原子字典為D，根據信號稀疏模型，y進一步表示為

y=Dx+e

(2)

式中，x={x(1),x(2),…,x(m)}T為稀疏系數集合。信號最稀疏表示即x中大部分系數為零或者接近零，即求解‖x‖0最小l0范數

(3)

針對這個NP-hard問題，我們選擇匹配追蹤(matching pursuit, MP)等貪婪算法，將求解最小l0范數轉化為求解最小l1范數問題：

(4)

OMP是MP的改進算法，通過迭代計算殘余信號與字典D原子間的內積，不斷對信號進行稀疏分解。假定此時D={dγ}γ∈Γ(Γ={γi,i=1,2,…})是Hilbert空間中一個過完備字典，則故障特征信號h可以分解為

h=〈R0h,dγ0〉dγ0+R1h

(5)

式中:R0h為初始故障特征信號h;R1h為首次迭代計算后的殘余信號;dγ0為首次迭代中選擇的字典原子。〈R0h,dγ0〉為R0h與dγ0的內積，dγ0和R1h彼此正交。為使R1h盡可能小，需選用與信號內積最大的原子作為最佳匹配原子。M次迭代后，h分解為

(6)

OMP算法中，當前原子需要與之前獲取的原子進行施密特正交化處理，正交化過程為

(7)

式中，u0=dγ0。最終信號OMP分解為所選字典原子與相應系數的乘積

(8)

1.2 相關濾波法

原子小波波形與信號中故障沖擊成分波形越相似，字典原子越能匹配信號中的沖擊故障特征。Morlet小波是一個雙邊對稱小波，其波形與齒輪故障產生的瞬態沖擊成分較為相似，因此本文選用Morlet小波構造原子參數字典。Morlet小波表達式為

(9)

式中:γ={f,ζ,τ}為Morlet小波參數集合;f∈R+為頻率;ζ∈[0,1)?R+為黏滯阻尼比;τ為時移參數。小波參數直接決定了小波的波形特征，是決定原子小波與信號故障沖擊特征匹配的重要因素。假設離散參數f,ζ,τ分別屬于集合F，Z，T

(10)

遍歷所有的參數集合即可得到全部的Morlet小波集

Ψ={ψγ(t):γ∈F×Z×T}={ψ(f∈F,ζ∈Z,τ∈T)}

(11)

相關系數cγ能夠定量表征Morlet小波Ψγ(t)與所分析信號y(t)之間的相似程度[13]

(12)

通過上述分析可知，CFA方法需要在三個參數集合范圍內進行遍歷迭代運算，計算量大且非常耗時。而且當信號中包含大量背景噪聲時，相關函數的計算會受到噪聲成分的影響，往往不能準確表征小波與信號故障沖擊特征的匹配程度，因此CFA的抗噪性較差。

1.3 自適應優化的參數字典設計

在CFA中，所選小波支撐區間往往與所分析信號長度相等[14]。然而，Morlet小波中主要沖擊成分只占全部波長的一小部分。因此，本文根據小波能量正態分布3δ準則重新確定Morlet小波支撐區間為

(13)

式中:ψfiζi(t)為小波參數fi,ζi構成的Morlet小波;L為分析信號長度;W為重新確定的小波支撐區間。根據新的小波支撐區間，對信號進行分割，構造空間矩陣為

(14)

式中,Y1,Y2,…,YL-W+1為各個子信號。計算ψfiζi(t)與每個子信號的相關函數得到Ci=[ci,1,ci,2,…,ci,L-W+1]，計算該序列的峭度為

(15)

式中：E(·)為數學期望；μ和σ分別為Ci的均值和標準差。遍歷參數集合f?F,ζ?Z，得到F×Z個峭度，最大峭度值為

Kbest=max(K1,K2,…,KF×Z)

(16)

選取Kbest對應的小波參數f′,ζ′為最優小波基參數。在此基礎上，取小波支撐區間等于所分析信號長度構建Morlet小波，通過逐點時移構成最優原子參數字典。cγ描述了單個小波與信號的局部匹配，而由cγ構成的序列Ci=[ci,1,ci,2,…,ci,L-W+1]描述了單個小波在逐點時移下與信號的整體匹配。該序列故障沖擊特征越明顯，所選小波與所分析信號的局部匹配與整體匹配程度越好。

WOA是一種新的自然啟發式優化算法，它通過模擬鯨魚“螺旋氣泡網”狩獵行為實現參數過程自適應優化[15]，主要包括：尋找獵物、圍捕獵物、泡網捕食等階段，具體實現過程請參見文獻[16]。本文所提的基于WOA的自適應參數字典設計方法具體步驟如下:

步驟1設置Morlet小波尋優參數范圍，黏滯阻尼比范圍為ζ∈[0,1)，頻率范圍為f∈(0,fs/2]，fs為所分析信號的采樣頻率；

步驟2參考文獻[17]，初始化WOA中各項參數，其中鯨群數量A=50，最大迭代次數M=20，優化參數個數為2；

步驟3隨機選取小波參數構建Morlet小波，根據本文所提方法，得到對應小波參數下的峭度值，并以此作為WOA的適應度函數；

步驟4執行WOA算法，不斷迭代更新鯨魚狩獵位置，進行bubble-net捕食操作；

步驟5通過多次迭代，判斷滿足收斂準則后，輸出最優適應度函數對應的小波參數；

步驟6基于最優小波參數構建Morlet小波，逐點時移構成原子參數字典；

步驟7使用OMP方法對所分析信號進行稀疏分解，對分解后信號進行包絡解調分析，提取故障特征。

流程圖如圖1所示。

2 仿真分析

本節通過仿真齒輪微弱故障信號，驗證所提方法的有效性。傳統故障信號模擬中，往往添加白噪聲作為背景噪聲，然而實際工程中白噪聲并不存在，因此本文在仿真信號加入白噪聲和有色噪聲來更接近實際情況。仿真信號表達式為

(17)

式中:h(t)為齒輪故障信號;n(t)為添加信噪比為-5 dB的高斯白噪聲;r(t)為有色噪聲，均值為0標準差為1的高斯白噪聲通過濾波后加入。仿真信號中頻率f=20 Hz，阻尼比ζ=0.008，齒輪故障沖擊周期T=0.25 s，沖擊起始時刻τ0=2 s，信號采樣頻率fs=600 Hz，采樣點數為8 192。

原始故障信號及添加背景噪聲后的信號,如圖2所示。添加背景噪聲后，信號中故障沖擊成分被淹沒，無法準確識別。采用本文所提方法，基于Morlet小波自適應識別小波參數，WOA輸出的最大峭度值為6.165 2，對應結果見表1。構建小波參數字典，通過OMP信號進行稀疏分解，結果如圖3(a)所示。信號波形中清晰的顯示出周期性故障沖擊成分，與原始仿真信號一致。然后，采用傳統CFA進行分析對比，鑒于CFA方法運算非常耗時，小波參數搜尋范圍及步長并沒有設置很細致，分別為：f∈[0.1∶10∶fs/2]Hz，ζ∈[0.001∶0.000 5∶0.01]，t∈[0∶1/fs∶end]。結果如圖4所示。最大相關系數為0.110 9，對應小波參數位置用虛線標出，具體結果見表1。從表1可知，本文所提方法得到的Morlet小波參數與初始設置非常接近，而CFA得到的參數結果與設置值相差較大。同時，由于所提方法參數遍歷運算更為簡潔，運算時間更少。CFA識別小波參數后，構建原子參數字典，OMP處理結果如圖3(b)所示。圖中并未提取出準確的周期性故障沖成分。相比傳統CFA方法，所提方法識別原子小波參數更為準確，抗噪性更好，運算效率更高。

圖2 齒輪故障仿真信號

圖3 仿真信號分析結果

圖4 仿真信號CFA識別小波參數結果

表1 仿真信號分析結果

3 試驗分析

3.1 試驗介紹

齒輪故障是在QPZZ-II旋轉機械故障實驗臺上完成的。齒輪箱從動大齒輪出現斷齒故障，主動輪與從動輪齒數分別為55和75，齒輪故障實驗臺結構及故障齒輪,如圖5、圖6所示。試驗中，大齒輪與小齒輪的齒數比為75∶55，輸入軸轉速為870 r/min，采樣頻率為fs=5 120 Hz，采樣點數為8 192點。通過計算可知，齒輪嚙合頻率為fm=797.5 Hz，故障齒輪的故障特征頻率為fg=10.63 Hz。

圖5 齒輪故障實驗臺

圖6 齒輪斷齒

3.2 實例介紹

齒輪故障信號如圖7所示。時域波形中背景噪聲較多，故障沖擊成分并不規律，頻譜中也只能提取出并不明顯的一階嚙合頻率。首先，采用常用的Hilbert包絡解調對原信號進行分析，具體實現過程參考文獻[18]，得到原信號Hilbert幅值為

(18)

圖7 齒輪故障信號

圖8 本文所提方法分析結果

表2 齒輪故障信號信號分析結果

在CFA方法中，參考Zi等的研究，為保證在低阻尼比時有較高分辨率，小波參數劃分不均勻。小波參數搜尋范圍及步長分別為：f∈[0.1∶20∶fs/2]，ζ∈{[10-6∶10-6∶0.001]∪[0.001∶0.001∶0.02]}，t∈[0∶1/fs∶end]。小波參數識別結果如圖9所示。表2中是具體數值。通過對比兩種方法結果，可以發現CFA與本文所提方法參數識別結果相差較大，運算時間也大幅增加。構建字典，經過OMP處理后的結果如圖10所示。包絡譜中雖然出現了齒輪故障頻率，但在噪聲頻率干擾下非常微弱，無法準確識別。通過上述分析可知，小波參數選取對參數字典的設計至關重要，所提方法可以有效彌補傳統CFA方法的不足。

圖9 齒輪故障信號CFA識別小波參數結果

圖10 基于CFA方法的分析結果

3.3 對比分析

首先采用文獻[19]中小波降噪方法分析齒輪故障信號進行對比。小波函數選取“db4”小波，采用固定史坦無偏估計(rigrsure)準則確定閾值，小波硬閾值和軟閾值降噪后的故障信號波形和頻譜,如圖11和圖12所示。我們采用Hilbert包絡解調方法對兩結果分別進行分析，包絡譜見圖11(c)和圖12(c)。相比齒輪故障原始故障信號波形，小波降噪后時域信號中噪聲成分有所減少，頻譜中部分頻率成分也受到抑制，但包絡譜中依然無法提取出與故障特征頻率相關的頻率成分。面對信號中強背景噪聲的干擾，小波閾值降噪方法效果有限，無法檢測出齒輪微弱的故障特征信息。

圖11 齒輪故障信號小波硬閾值降噪結果

圖12 齒輪故障信號小波軟軟值降噪結果

采用文獻[20]所提K-SVD學習字典，與本文所提方法進行對比。K-SVD方法中相關參數設置為：字典原子長度和數量為n=100，N=4 065，線性組合原子數為L=10，迭代次數I=10。學習字典中前10個典型原子波形，如圖13所示。從圖13可知，各個原子波形中并未發現明顯的瞬時故障沖擊成分。同樣，基于OMP方法對信號進行稀疏分解，得到的分析結果如圖14所示。從圖14可知，時域波形中故障沖擊成分微弱且雜亂無章，包絡譜中也沒有提取出明顯的齒輪故障特征頻率及倍頻成分。面對強背景噪聲干擾下齒輪微弱故障特征提取，所提方法要優于K-SVD學習字典方法。

圖13 K-SVD學習字典中10個原子波形

圖14 基于K-SVD方法的分析結果

4 結 論

(1)提出了一種基于WOA優化的自適應小波參數字典設計方法，該方法通過對故障信號進行空間矩陣構建，基于相關系數和峭度兩種指標綜合評價了Morlet小波與齒輪故障信號的局部匹配與整體匹配程度，利用WOA算法能夠自適應識別出Morlet小波參數。

(2)通過與傳統的CFA方法比較，所提方法在抗噪性及運算效率方面均有顯著提升，相比小波降噪、K-SVD學習字典方法，所提方法可有效用于齒輪微弱故障診斷，準確性更好，具有工程應用價值。