基于P型法的中間支承運動紙帶橫向振動特性研究

應戍狄， 王 硯， 武吉梅, ， 武秋敏

(1. 西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 710048； 2. 西安理工大學 土木建筑工程學院，西安 710048；3. 西安理工大學 印刷包裝與數字媒體學院,西安 710048)

隨著印品的日益豐富，具有一定厚度和抗彎剛度的薄型材料(PET、PVC、紙板等)在印刷包裝中被應用。此類材料在印刷中的振動特性對印品質量有重要的影響。而印刷機械的滾筒對此類材料的力學作用又尤為突出。因此研究滾筒對運動紙帶的影響，對控制紙帶彎曲形變所致的承印物漂移，褶皺等問題，提高印品套印精度具有十分重要意義。

近年來，國內外學者對軸向運動的梁、弦線、板殼做了許多研究，已取得較大成果，然鮮見對中間支承運動紙帶的研究。Wu等[1-2]采用微分求積法和D’alembert原理研究了多點彈性支承下的矩形運動紙帶振動穩定性問題。Banichuk等[3]用解析法研究了兩輥間勻速運動卷筒紙帶的動力學與穩定性問題。武吉梅等[4]采用無網格法研究了運動紙板的穩定性問題，求得了運動的穩定區間。邵明月等[5]利用龍格庫塔法研究了隨從力作用下運動薄膜非線性強迫振動特性，得出了運動薄膜的穩定工作域。Nguyen等[6]研究了空間變化的張力和運動紙帶時變傳輸速度之間的關聯性，用李雅普諾夫方法推導了運動紙帶模型的轉矩控制律。王硯等[7]研究了線性變厚度黏彈性矩形板在隨從力作用下的動力學穩定性。Alidoost等[8]利用歐拉-伯努利梁理論和疊層理論，推導了分層梁的運動方程，并對顫振、屈曲和自由振動進行了分析，為薄板振動模型分析拓展了方法。Yang等[9]采用改進高階基，研制了微分求積有限元。并結合膨脹逐層理論對彎曲復合材料的殼單元振動進行分析。Liu等[10]應用微分求積法研究了mindlin板的自由振動問題。Wu等[11]構造了新型C1單元法分析了薄板的自由振動問題，取得了很高精度。以上研究少見將新有限元法應用于紙帶振動分析中。

論文應用新型P型高階微分求積升階譜法對中間支承運動紙帶(力學模型為對邊簡支對邊自由下中間剛性簡支)進行研究，分析紙帶無量綱復頻率和速度關系，得到中間剛性簡支對紙帶的振動穩定性影響。

1 運動紙帶能量變分式建立

圖1為PRC250凹版印刷機力學簡化模型，當運動紙帶通過印版滾筒與色組壓印滾筒之間的間隙時，可實現多色套印。

圖1 運動紙帶力學模型

基于能量法[12]得薄板幾何式

(1)

應力-位移式

(2)

根據北人PRC250印刷機參數，整理得運動紙帶彎曲應變能

(3)

總動能

(4)

引入無量綱

(5)

將式(5)代入式(3)～式(4)中得

(6)

2 C1單元構造橫向位移函數

論文構造單元邊界用非均hermite基，內部用階譜面場的位移函數。不僅解決了邊界施加和組裝問題而且隨階次增加還克服了數值動蕩。

2.1 一維赫米特基

在[-1,1]上的C1赫米特函數

g(x)=P0(x)·g-1(-1)+Pn+1(x)·g-1(1)+

(7)

式中：xk為插函數節點；P0，P1，Pn，Pn+1分別為-1，1節點處插函數偏導值。

(8)

將式(8)代入式(7)中得邊界赫米特函數，但函數節點數過多時，會出現龍格現象，為提高精度對PK(x)求極值。論文取4、7兩種Gauss-Jacobi極值點進行說明結果圖2。

圖2 赫米特基

計算結果，論文的邊界函數具有插值特性，并且插值函數在插值點取最值1，其余點誤差不超±0.2，同時插值點正交，綜上知構造的赫米特函數有強數值穩定性。

2.2 混合形函數建立

在自然坐標系下建立的混合形函數，通過等參變換生成物理平面形函數。圖3所示每個角點6自由度分別為w，wε，wη，wε2，wη2，wεη；各邊2自由度wn，w。以圖3中的角點4和面內場函數為為例說明構造過程。

圖3 Gauss-Jacobi點超限映射

論文用C1單元，故構造需滿足C1要求，這里用勒讓德積分法進行構造，二維P型高階微分求積升階譜法，可由兩個一維勒讓德積分相乘得，形式如

(9)

式中：m，n分別為φn+1(ε);φm+1(η)為勒讓德多項式階次。

僅構造場函數精度欠高，需增加其余撓度函數，圖3中的角點4形函數在[-1,1]上的C2赫米特式

(10)

將投射算子P[·]進行混合函數運算得

(11)

將式(11)、式(9)進行整理，得角點4和面函數形函數

(12)

由圖4可知，角點4有六自由度，面內場函數滿足羅德利克張量積且C1連續。也可知角點處撓度最大，偏導形函數對撓度影響小，面內階譜函數在邊界處值和導數為零。綜上得構造的形函數代表了各節點的物理意義。且內部函數有serendipity形函數特性。

圖4 撓度函數

3 復特征方程解

用上文構造的橫向撓度形函數，和Guass-lobato法對中間支承運動紙帶無量綱能量泛函進行離散，撓度形函數為

(13)

將式(13)代入式(6)中離散。得中間支承運動紙帶無量綱橫向振動方程

M·(τ)+C·(τ)+K·(τ)=0

(14)

|[K]+[C]·ω·j-ω2·[M]|=0

(15)

式(15)所求ω為中間支承運動紙帶無量綱頻率。

4 計算與Hypermesh有限元比較

應用新型P型高階微分求積升階譜法，對一對邊簡支對邊自由邊界下，有中間支承的運動紙帶進行分析比較。

4.1 FSFS邊界下有中間支承的運動紙帶

以北人PRC250印刷機紙帶為研究對象，研究中間簡支下運動紙帶橫向彎曲規律。據該型印刷設備色輥與中間支承輥間距離設置比2/3要求，且按煙包紙規格，將色輥與中間支承輥的位置分別設為a=1.5 m，c=1 m，它等效于對邊簡支對邊自由下，中間有剛性簡支支承的情況，該型印刷機紙帶基本參數如表1所示。

表1 PRC250凹版印刷機紙帶基本參數

圖5和圖6為中間支承下，紙帶前三階無量綱固有頻率虛部與實部隨速度變化規律。

圖5 前三階無量綱固有頻率虛部隨無量綱速度變化曲線

圖6 前三階無量綱固有頻率實部隨速度變化曲線

由圖5和圖6知，當λ=0時，一階、二階、三階無量綱復頻率實部Re(ω)為Re(ω3)>Re(ω2)>Re(ω1)>0，虛部Im(ω)都為零。隨無量綱速度的增加，前三階無量綱復頻率實部Re(ω)都呈現出持續衰減趨勢，而虛部Im(ω)保持在零狀態，到λ=5.78時，一階無量綱量復頻率實部先出現Re(ω1)=0，虛部Im(ω1)正負坐標軸對稱分叉，且二、三階無量綱復頻率實部Re(ω)仍處在Re(ω3)>Re(ω2)>0，虛部Im(ω2)=Im(ω3)=0，說明運動紙帶在λ=5.78處會出現第一次發散失穩。當速度增至λ=8.3，一階復頻率Re(ω1)>0，Im(ω1)=0,二階復頻率臨界失穩，三階復頻率實部仍為正，虛部為零。當λ=9.43時，二階、三階無量綱復頻率模態耦合，虛部Im(ω)沿坐標軸對稱。此刻運動紙帶出現耦合顫振。綜上，無量綱速度在[0,5.78]內，中間支承運動紙帶是穩定的。

同時，得紙帶長a=1.5 m，寬b=0.82 m，中間支承位置c=1 m的前六階振型，如圖7所示。

由Hypermesh有限元計算結果與論文的振型對比，新型P型高階微分求積升階譜法對求解中間支承運動紙帶動力學特性，比有限元軟件有更良好的數值穩定性、平滑性和收斂性。

4.2 PRC250印刷機紙帶特性分析

對已知式(5)進行反函數變換，得紙帶實際速度與無量綱速度間關系

(16)

按生產工況，對PRC250印刷機紙帶分析。表2為運動紙帶速度與復頻率基本關系。

當中間支承運動紙帶無量綱速度為0時，表2解得無量綱固有頻率經式(5)轉換與hypermesh解一致，證明論文解是有效和可靠的。北人PRC250印刷機的紙帶為橫跨導輥模式，因印刷需要，會在導輥間套一組色印。其力學模型就是論文中計算的對邊簡支對邊自由約束下，有中間剛性簡支的情況。將一階無量綱失穩臨界速度代入式(16)中可求得運動紙帶失穩實際速度vp=39.378 5 m/s，在此速度前，運動紙帶保持穩定。

圖7 紙帶前六階振型和Hypermesh模態比較

表2 PRC250印刷機紙帶速度與復頻率基本關系

5 結 論

論文提出用新型P型高階微分求積升階譜研究，有一定抗彎剛度且對邊簡支對邊自由下，中間支承的運動紙帶橫向振動特性。為北人PRC250印刷機的結構優化，提供了重要的理論依據。得到以下結論：

(1)利用新型P型高階微分求積升階譜的C1單元混合插值，生成了正交張量積形函數，并對特征方程進行了求解。得出了中間簡支支承對運動紙帶橫向振動的影響。同時得到了運動紙帶無量綱前三階復頻率與速度關系曲線。計算結果表明，對邊簡支對邊自由的中間支承運動紙帶復頻率隨中間支承的設置而增大，隨速度的增大，紙帶的穩定狀態區變小。

(2)經Hypermesh有限元與論文的解對比，證明了新型P型高階微分求積升階譜法對求解中間支承運動紙帶動力學特性，比有限元軟件具有更良好的數值穩定性、平滑性和收斂性。

(3)獲得了PRC250印刷機紙帶運動的臨界速度39.378 5 m/s，該結論為設備結構優化，提供了重要的理論依據。