多基地雷達組網布站優化方法

李海鵬， 馮大政， 周永偉， 董普靠

(1.西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室， 陜西 西安 710071; 2.西安電子工程研究所， 陜西 西安 710100)

0 引言

多基地雷達是由空間上多個分散布置的發射站和接收站組成的雷達系統[1]，與單基地雷達相比，多基地雷達在反隱身、抗干擾、目標定位和跟蹤等方面具有明顯的優勢[2-5]。但是發射站與接收站的布站位置對多基地雷達具有重要的影響。文獻[6]指出發射站與接收站的位置與模糊函數的性能緊密相關。文獻[7]基于一種正交頻分復用的線性調頻信號分析布站位置對模糊函數性能的影響，發現優化接收站和發射站的位置和數量可以改善模糊函數性能。該方法依賴發射信號的參數，當改變發射信號后需要調整當前的優化結果，實時性較差。文獻[8]針對無源時差定位誤差的克拉美羅下界，提出一種利用克拉美羅下界跡的平均值最小為準則的優化方法，但該方法僅優化了接收站位置?；诶走_探測區域覆蓋的布站優化方法可以同時優化接收站和發射站的位置，且對發射信號變化不敏感。文獻[9]通過最小化興趣點(PoIs)到其最近接收站和發射站的最大距離積來優化多基地雷達的布站位置，雷達探測區域僅覆蓋興趣點。文獻[10]將連接覆蓋區域兩側邊界的最短線段稱為布置線，并指出基于布置線的柵欄覆蓋[11]是最優布站，最后通過最小化柵欄脆弱性的方法求解布站優化問題，該方法沒有限制柵欄的最小覆蓋寬度，因此當覆蓋寬度較小時，雷達可能會無法探測到高速通過的目標。文獻[12]基于部署費用最小的原則，提出一種利用窮舉法優化的同構布站方法(UPDA_EM)，該方法要求在單條布置線上使用相同的布站模式，末端根據剩余長度布置發射站或者接收站，因此單條布置線的端點至少有一個是發射站。從部署費用上講，將發射站作為布站端點會增大費效比，且采用窮舉法求解最優布站參數的計算量較大。

為解決文獻[12]存在的不足，本文通過分析布站模式覆蓋區域的關系，提出單條布置線上布站優化應滿足的條件，并基于此提出一種采用縮減窮舉法優化的異構布站方法(HPDA_REM)，該方法的創新點如下：1)在布置線上采用異構模式布站，保證布置線兩端布置接收站；2)縮小窮舉法搜索范圍，降低計算量，仿真結果表明HPDA_REM可以取得更低的部署成本，且計算量明顯減少；3)由于HPDA_REM優化結果中需要的發射站更少，在電子戰中有利于降低反輻射導彈對雷達系統的威脅。

1 概念與記號

對于一發多收的多基地雷達系統，可將其發射站與每個接收站分別看成一個雙基地雷達。因此可通過雙基地雷達說明多基地雷達的覆蓋區域。

空間任意一點z到接收站R和發射站T的斜距分別記作Rr(z)和Rt(z)，簡記為Rr和Rt. 實際應用中雷達往往工作在雜波環境和干擾環境下，因此接收天線輸出端的信號中還包含熱噪聲No、雜波Co和干擾Jo. 此時脈沖多普勒雙基地雷達的基本方程為

(1)

式中：Pa為平均功率；tc為相參處理間隔(CPI)；Gr、Gt分別表示接收天線和發射天線的增益；λ為信號波長；σb為目標雷達截面積；Ft、Fr分別表示發射和接收方向圖的傳播因子；Io為熱噪聲、雜波和干擾在接收天線輸出端產生的總能量，Io=Jo+Co+No；D(i)為檢測因子，i為進行相干積累的脈沖數量[13]；L為系統損耗因子；假設σb不變，Kb為由雙基地雷達物理參數所確定的常量[14]。記SINR(z)為目標在z點時接收天線輸出端的信干噪比，記信干噪比門限SINRmin=γ. 則當SINR(z)≥γ時，認為目標可被雷達系統檢測到，即目標處于雷達覆蓋區域內；反之，信號將被淹沒在雜波和干擾中，不能被有效檢測出來。因此，所有滿足SINR(z)≥γ的z點所構成的區域是雙基地雷達覆蓋區域，由(1)式可得

(2)

圖1 雙基地雷達覆蓋區域類型Fig.1 Bistaitc radar coverage area categories

記由1個發射站和m個接收站組成的布站模式為Pm=(T，R1，…，Rm)，其覆蓋長度記為σp(m)；由第j、第j+1個發射站和n個接收站組成的布站模式為Fn=(Tj，R1，…，Rn，Tj+1)，其覆蓋長度記為σf(n)，如圖2所示。圖2中，2d1表示第1個接收站與其相鄰發射站之間的距離，2dk(k≥2)表示第k-1個和第k個接收站之間的距離。值得注意的是，布站模式Fn中站點布置具有對稱性，因此接收站Rn與發射站Tj+1之間的距離等于2d1，接收站Rn與Rn-1之間的距離等于2d2. 更進一步，由模式Pm和Fn可以構成布站模式Gn，m=(Tj，R1，…，Rn，Tj+1，R1，…，Rm)。由圖2可知，其覆蓋長度σg(n,m)=σp(m)+σf(n)。以上模式的覆蓋長度均不包括端點發射站以外的部分。

圖2 Fn和Pm模式的覆蓋長度Fig.2 Coverage area lengths of Fn and Pm

因此，基于總布站費用最小的布站優化問題表述為：假設雷達覆蓋的目標區域C可用一個長為D、寬為H的矩形S近似，如圖3(a)所示。選擇布站模式，使用多個發射站和接收站構成滿足覆蓋需求的多基地組網雷達覆蓋區域，并且要求總布站費用最低。受文獻[12]啟發，使用q條平行于長邊D的布置線，每條布置線對應1個柵欄覆蓋，則在等分寬度的情況下，單個柵欄覆蓋的寬度為2h=H/q，如圖3(b)所示。圖3中，T1、T2為發射站，R1、R2、R3、R4、R5為接收站。

圖3 多基地雷達組網覆蓋區域示意圖Fig.3 Schematic diagram of coverage area of multistatic radar network

于是，布站優化問題可表述為

(3)

本文假設多基地雷達系統內所有發射站都相同，且使用相互正交的工作頻率以避免發射站干擾[15]。所有接收站均相同，接收站的工作頻率可選以匹配相應的發射站。

2 布站優化方法與優化模型

下面通過分析不同布站模式的覆蓋長度關系，提出本文布站策略的理論基礎與算法。

2.1 布站模式覆蓋長度的計算

(4)

(5)

由(4)式、(5)式可知，覆蓋長度由序列xn的和決定，且由引理1可知σf(n)與σp(m)均隨著接收站數量增多而增大，但增大的幅度逐漸減小，即當接收站遠離發射站時，其對增加覆蓋長度的作用較小。

引理1序列{xn,0≤n<0.5(β2-1)}是嚴格單調遞減序列。

2.2 剩余長度的布站優化方法

文獻[12]依據剩余長度在布置線端點選擇發射站或者接收站，此時單條布置線上一端或者兩端為發射站，而端點布置發射站會導致費效比增大，因此布站成本仍有優化空間。本文通過引理2說明如何在布置線兩端優化分配剩余長度，并說明此時布站模式Pm、Fn之間的關系。

引理2設max{n,m}≤Nmax，則

1)當n

(6)

2)若n≠m，則有σp(n)+σp(m)<σf(n+m)<2max {σp(n),σp(m)}。

3)當n=m時，σf(n+m)=2σp(n)。

證明1)先證明n+m=2l為偶數的情況，l∈N+. 由(4)式、(5)式可知：

2)由引理1與(6)式可得左邊不等式成立。以下證明右邊不等式成立，不失一般性，假設n

同理可證當n+m為偶數時右邊不等式也成立。綜上所述可知原不等式成立。

3)由(4)式、(5)式易證等式成立。

引理2的第2條說明當n為奇數且m1=(n-1)/2、m2=(n+1)/2時，模式Fn的覆蓋長度大于模式Pm1與模式Pm2的覆蓋長度和，但小于2個模式Pm2的覆蓋長度和。引理2的第3條說明當n=2m時，模式Fn的覆蓋長度可由兩個模式Pm的長度和等量替代。因此當矩形區域長為D時，用g個Fn模式覆蓋后的剩余長度為ξ=D-gσf(n)<σf(n)≤2σp(m)，即一定可用2個Pm覆蓋剩余長度，其中g=?D/σf(n)」，m=?(n+1)/2」，此時單條柵欄的布站如圖4所示，其中Bl與Br分別代表矩形的左右邊界。

圖4 單條柵欄的布站示意圖Fig.4 Illustration for the deployment of one barrier

2.3 布站模式Gn,m的布站優化方法

為了降低第1個和第g+1個發射站的費效比，將剩余長度等分后分別采用1個Pm模式覆蓋，此時在柵欄兩端分別構成1個布站模式Gn,m. 下面通過引理3分析σg(n,m)取得最大值的條件，提出模式Gn,m中接收站的布站優化方法。

引理3設max{m,m1,m2}≤Nmax，n≤2Nmax:

1)當m1+m2給定時，若|m2-m1|≤1，則σp(m1)+σp(m2)的值最大。

2)當n+m給定時，若|n-2m|≤1，則布站模式Gn,m的覆蓋長度σg(n,m)值最大。

證明1)不失一般性，假設m1≤m2，當m1+m2=2l為偶數時，由(6)式可得

由引理1可知當m1=m2時，σp(m1)+σp(m2)值最大；同理可證若m1+m2=2l+1為奇數，則當m1=m2-1時σp(m1)+σp(m2)最大。

2)對n+m的取值分以下3種情況證明：

①n+m=3v-1；②n+m=3v+1；③n+m=3v. 其中v∈N+.

同理可證明其他情況。

引理1指出遠離發射站的接收站，對增加柵欄覆蓋長度的貢獻不如近距離的接收站。因此由引理3所述，在Gn,m模式中優化布置接收站，使得σg(n,m)最大。

此時對于矩形區域的長D，使用g個Fn模式構成單條柵欄覆蓋，所得剩余長度為ξ=D-gσf(n)。用模式Gn0,mr,Gn0,ml覆蓋長度2σf(n)+ξ，由以下引理4可知，當n≥n0≥n-2且|n0-2ml|≤1，|n0-2mr|≤1時，單條布置線上布站方式最優。這里，n0為模式Fn0中接收站的個數，mr和ml分別為模式Pmr和Pml中的接收站個數。

2.4 單條布置線的布站優化方法

引理4設單條布置線上使用的布站方法為：中間g-2個Fn模式，兩端分別為模式Gn0，m1與Gn0，mr，則此時布站方法最優的充分條件是n≥n0≥n-2，且|n0-2ml|≤1，|n0-2mr|≤1.

證明由文獻[12]引理2可知，當|n0-n|≤2時，σf(n)+σf(n0)覆蓋長度最大，再由引理3可知，當|n0-2m1|≤1、|n0-2mr|≤1時，σg(n0,m1)與σg(n0,mr)值分別取得最大。于是，當|n0-n|≤2且|n0-2m1|≤1、|n0-2mr|≤1時，(g-2)σf(n)+σg(n0,m1)+σg(n0,mr)的值最大。

下面通過反證法證明n0≤n. 若n0>n，則由引理2知ξ0=σf(n)+0.5ξ可用模式Gn,?(n+1)/2」覆蓋，因此Gn0,m1的接收站之和不超過Gn,?(n+1)/2」的接收站之和，即m1≤n-n0+?(n+1)/2」，又因為n0-2m1≥3n0-2n-2?(n+1)/2」>1，與|n0-2m1|≤1矛盾，因此n0≤n.

特別地，若|n0-2m1|≤1、|n0-2mr|≤1，則易得|m1-mr|≤1.

2.5 優化模型

(7)

式中：f(q,n,n0,ml,mr)=q(g(n+α)+α+2(n0-n)+ml+mr)cr.

由(7)式可知，布置線數量q確定了布站模式中接收站數量的最大值，且q的取值范圍是有限的，因此可以通過窮舉法計算所有滿足引理4條件的布站成本，然后通過成本最小準則找到最優解。值得注意的是，通過縮小q的取值范圍，可以有效減少窮舉法的計算量。引理5用于說明如何確定q的上限閾值qsup.

qsup?qmin[(g0+1)(α+1)+1]ψ+α,qmin=H2hmax=3H2Lmax,「?

g1=Dσf(1),ψ=min(q,n)[g(n+

引理5當柵欄數q>qsup時，總布站費用不會取到最小值。其中表示向上取整，α)+2(B-n)]，Bmax{n-2,1}，n為模式Fn中可能的接收站數量。

當q=qmin時，單條布置線上的布站模式為g0個F1，max{ml,mr}≤1，則此時總部署費用不會超過qmin((g0+1)(α+1)+1)。由引理4可知，Bmax{n-2,1}≤n0，因此q{(g+1)α+(g-2)n+2n0+ml+mr}≥q{(g+1)α+(g-2)n+2B+ml+mr}≥q{(g+1)α+2B+(g-2)n}=q(g(n+α)+2(B-n)+α)≥q(ψ+α). 于是當q(ψ+α)>qmin((g0+1)(α+1)+1)時，總部署成本不可能取得最優值。因此布置線范圍的上限閾值為

2.6 算法步驟

綜上所述，本文所提算法具體步驟如下：

qmin=3H2Lmax,qsup=qmin((g0+1)(α+1)+1)ψ+α.

步驟1計算布置線個數的下限和上限閾值，

步驟2forq=qmin：qsup，計算Fn中接收站數量的最大值Nmax，初始化總部署成本集合Ctot=?，?表示空集。

步驟3forn=1:2Nmax，初始化單條布置線的部署成本集合C1=?，按照引理4分別確定模式Fn、Fn0、Pm1及Pmr中接收站的個數n、n0、mr、ml. 計算單條布置線上的費用(g-2)n+2n0+(g+1)α+ml+mr，更新C1=C1∪{(g-2)n+2n0+(g+1)α+ml+mr}.

步驟4end for.

步驟6end for.

需要說明的是：

1)若要求一條柵欄覆蓋的最小寬度為2τ，則最大柵欄數qmax=「H/(2τ)?。此時求解布站優化的搜索域為[qmin,qmax]，但通過引理5可以減少搜索域為[qmin,qsup].

3 仿真實驗

為說明本文所提HPDA_REM的有效性，通過仿真比較HPDA_REM與UPDA_EM的優化結果。實驗的基本條件同文獻[12]，其他仿真參數假設為：最大脆弱性閾值Lmax=5 km，在發射器與接收器費用之比α分別取值為10、30、60時，柵欄長度D=160 km，寬度H由2 km增加到20 km. 定義布站參數變化率η為

η=(γ-γ′)/γ×100%，

(8)

式中：γ、γ′分別為按照UPDA_EM與HPDA_REM得到的布站參數。當γ、γ′表示部署成本時，由(8)式可得部署成本變化率曲線，如圖5所示。

圖5 α分別取值為10、30、60時部署成本變化率Fig.5 Change rates of deployment cost for α=10,30,60

由圖5可知，部署成本變化率始終大于0，表明HPDA_REM的部署成本與UPDA_EM相比有不同程度的下降，特別地，當α較大時HPDA_REM可以節省更多的部署費用，最大節約12.69%(H=18 km，α=60). 這是因為HPDA_REM可以充分發揮發射站的作用，在費用比較大時顯著提高其成本效率。而當α較小如α=10時有一定的降低效果，當H=8 km時也能達到10.0%. 此時因為發射站與接收站的成本差距較小，UPDA_EM方法“浪費”的發射站成本不明顯。由此表明本文所提HPDA_REM可以有效降低布站成本。

當γ、γ′表示發射站總數量時，由(8)式可得發射站變化率曲線，如圖6所示。由圖6可知，在α分別取值為10、30、60的情況下，發射站變化率始終不小于0，并且最多可以減少使用16.67%的發射站。表明HPDA_REM所需發射站數目不大于UPDA_EM，由于發射站易被偵測定位和受反輻射導彈攻擊，當采用較少的發射站時，有利于提高系統整體的戰場生存能力。

圖6 α分別取值為10、30、60時發射站變化率Fig.6 Change in number of transmitters for α=10,30,60

當γ、γ′表示接收站總數量時，由(8)式可得接收站變化率曲線，如圖7所示。

圖7 α分別取值為10、30、60時接收站變化率Fig.7 Change in number of receivers for α=10，30，60

由圖7可知，相比于UPDA_EM，HPDA_REM所需的接收站數量有增有減。值得注意的是，當α=60時，HPDA_REM所需要的接收站數量明顯增大，這是因為發射站成本遠大于接收站，在協同布站時使用大量的接收站代替發射站。即使在數量上接收站和發射站一增一減，但是由于費用比α較大，從成本上看仍然降低了部署費用。

以α=60、Lmax=5 km為例說明HPDA_REM的部署結構，如圖8和圖9所示。圖8和圖9中，gn為模式Fn的數量，模式Fn、Fn0、Pml及Pmr中接收站的個數分別為n、n0、ml、mr.

圖8 α=60時布置線與模式Fn的數量Fig.8 Number of deployment lines and pattern Fn for α=60

圖9 α=60時模式Fn、Fn0與Pml、Pmr內接收站數量Fig.9 Number of receivers in different deployment patterns for α=60

由圖8和圖9可知，HPDA_REM的部署結構分為4種：

當H=14 km時，覆蓋整個區域需4條布置線；每條布置線為中間3個F5模式、2個F4模式，兩端均為P2模式，此時HPDA_REM的部署結構是異構且兩端對稱的，H分別取17 km、15 km、10 km、7 km、5 km均為該類型。

當H=8 km時，需要2條布置線覆蓋整個區域。每條布置線的部署方式為中間6個F3模式、兩端均是P1模式，此時HPDA_REM的部署結構屬于同構且兩端對稱，H分別取20 km、19 km、18 km、16 km、13 km、12 km、8 km、4 km時均為此類。

當H=11 km時，需布置線3條。單條布置線的部署方式為中間5個F5模式、兩端分別是模式P2與P3，此時的部署結構為同構且兩端非對稱。

當H=9 km時，需要3條布置線覆蓋整個區域。每條布置線的部署方式為中間2個F8模式與2個F7模式、兩端分別是模式P3與P4，此時HPDA_REM的部署結構屬于異構且兩端非對稱，H分別取2 km、3 km、6 km時亦為此類。

對于確定的區域S，其寬度H已知，此時布置線數量q決定了單條柵欄的寬度2h，由(7)式可知，q同時確定了模式Fn中最大接收站數量：

以α=60情況為例說明利用引理5可以顯著降低算法計算量，仿真結果如圖10所示，為便于顯示，記m′c=10lgmc.

圖10 α=60時兩種算法計算量比較Fig.10 Comparison of two algorithms calculations for α=60

由圖10可知，相比UPDA_EM，本文所提HPDA_REM的計算量至少低14.53 dB，且隨著區域寬度H的增加，計算量減少的幅度更明顯，最大到27.53 dB. 由于當H取值變大時，UPDA_EM的布置線搜索上限明顯增大，此時單條柵欄寬度變小，模式Fn內可以布置的接收站相應增多。因此UPDA_EM的計算量隨著H增大會快速增大。相比而言，由引理5，HPDA_REM的布置線搜索上限隨H的增加僅緩慢增加，而且由于單條布置線的寬度更大，模式Fn內可布置的接收站更少，因此隨著H的增大，HPDA_REM的計算量略有下降。特別地，隨著H變化，HPDA_REM的計算量呈鋸齒狀變化。這是因為盡管寬度H增大，但是其布置線的上限可能會不變，此時模式Fn內可布置的接收站數量隨著H的增大而減少。例如，H由6 km變化到11 km，布置線數量的上限始終為6，模式內可布置的最大接收站數量分別為49、35、27、21、17、13. 當H繼續增大如H=12 km時，布置線上限增大，單條柵欄寬度變小，算法計算量再次增大，因此出現鋸齒峰值。

4 結論

本文針對多基地雷達組網布站問題，以雷達覆蓋區域為出發點提出一種新的布站優化方法。該方法通過證明異構布站模式下單條部署線的布站優化準則，進而提出基于費效比最小的優化模型。仿真實驗表明，與現有同類方法相比，本文所提方法具有費效比低、發射站少，計算量小的優勢，可以節約部署成本，提升戰場生存概率。