二維曲面理論引入數學物理方法的探討

陳起輝 黃飛杰 傅永平 祝鳳榮

(1 西南交通大學物理科學與技術學院,四川 成都 610031;2昆明學院物理系,云南 昆明 650214;3滇西科技師范學院物理系,云南 臨滄 677000)

縱觀物理學的發展史,我們會發現物理學的發展常常以相應的數學的發展為先導,而在這之中幾何學無疑對物理理論的建立起到至關重要的作用。例如牛頓力學是建立在歐幾里得(Euclid)幾何所描述的平直時空之中,而廣義相對論的數學基礎是描述彎曲時空的黎曼(Riemann)幾何。然而在實際的教學中,物理本科生在從狹義相對論過渡到廣義相對的學習過程通常會遇到非常大的障礙,其主要原因是對黎曼幾何知識的缺乏。盡管在有些廣義相對論教材中會補充相應的黎曼幾何的初步數學知識[1],但是對于沒有任何內蘊幾何知識背景的學生而言,一開始就學習高維空間(至少四維時空)中的幾何知識,未免過于抽象,學生往往并不能對這些抽象的代數運算有任何直覺上的把握。幸運的是,從黎曼幾何發展的歷史看[2],它是將高斯的二維曲面理論向高維空間的拓展。因為二維曲面可以嵌入到我們熟悉的三維空間中,對其我們有非常直觀的印象,并且本科生在高等數學和大學物理中,已經接觸了部分曲線、曲面積分、平面曲線曲率,矢量積分的知識,所以基于這些知識,我們可以建立相當直觀的二維曲面上的內蘊幾何知識[3]。這無疑將為學生學習更高階的微分幾何知識提供必要的基礎。當今前沿物理學中對規范場,拓撲場論,陳拓撲絕緣體,拓撲超導體等的廣泛研究,急需理論物理的學生具有扎實的微分幾何知識。

數學物理方法作為為本科生的后續理論物理課程提供相應數學方法的一門課,可以在課程設置中包括相應的微分幾何知識。這對于物理專業的本科生是非常必要。然而從目前所存在數學物理方法的教材來看,幾乎都沒有涉及曲面上微分幾何的知識。其主要原因在于:①微分幾何知識體系極其龐大且抽象,不可能在數學物理方法的有限章節中涉及這些知識的方方面面;②幾何知識相對于傳統數學物理方法內容相對獨立,難以與原有知識體系有機的融合;③就目前數學物理方法所包含的內容要在規定的學時內講完已經存在一些困難,更不用說再增加新的內容。針對上面的3個問題,所以我們在本文中探討如何將二維曲面理論引入到數學物理方法的教學中,并在此基礎上做相應的延伸。

對于上面的第一個問題,我們旨在為本科生進一步學習抽象的微分幾何知識提供直觀的基礎,所以只介紹曲面理論中第一,二基本形式以及線元、面元、曲率、平行移動等概念。借助將二維曲面嵌入到三維空間的參數方程,學生比較容易建立起這些概念,并可把這些概念推廣到高維的黎曼幾何。對于第二個問題,我們基于曲面理論,討論曲面上的梯度、散度及旋度的形式,這部分內容可以運用于數理方程的建立及正交曲線坐標系中的拉普拉斯方程求解,從而與數理方程部分的內容有機融合。對于第三個問題的解決,視具體情況,對于某些專業,數學物理方法有足夠的課時,所以包括這部分內容不存在問題。而對于要求相對較低的專業,這部分內容可以作為帶星號的內容,為選講或者留作學生自學拓展內容。另一方面,目前的線上線下混合教學模式,因為線上錄播視頻可以節約大量教學時間,并且便于學生反復觀看。可以將這部分內容考慮作為線上課程,提供給學生自學。

下面我們在技術層面討論如何在數學物理方法中引入曲面理論,以及給出其在皂膜上的流體力學上的應用。最后,也對如何推廣到高維黎曼幾何并應用于廣義相對論做一個簡要的介紹。

1 三維空間中的曲面方程

圖1 二維平面區域映射到三維曲面

2 曲面上的度規——第一基本形式

利用dr可以得到曲面上線元的長度表達式,因為dr=rudu+rvdv,所以有

其中E=ru·ru,F=ru·rv,G=rv·rv,這便是高斯引入的曲面第一基本形式。通常也記為ds2=gijdxidxj,i,j=1,2,該式運用了愛因斯坦求和約定,重復指標意味求和,并且我們定義了x1=u,x2=v,在后面的討論中我們將在不同的情形中混合使用這兩種表示方法。定義稱為度規張量矩陣,因為長度的平方必須大于零,所以度規張量矩陣必須是正定的。然后曲面上的面元與兩條曲線的夾角(定義為曲線交點處切線的夾角,如圖2所示)的余弦,用度規張量分別表示成為,

如圖2所示,這兩條曲線的參數方程是以線元為參數,記為:(u(s),v(s)),(u′(s′),v′(s′))

圖2 曲面上相交曲線間夾角

可以證明以上的線元、面積元、曲線的夾角在坐標變換下,形式是不變的。有了這些量,我們便可以像在平面幾何上一樣,在曲面上利用度規張量通過積分研究長度、面積以及角度之間的關系。對曲面的描述還需另外一個重要參數——曲率,下面我們就來介紹它。

3 曲面的曲率——第二基本形式

同樣,利用位置矢量r可以引進曲面的曲率以及測地線概念。如圖3所示,設曲面在r(u0,v0)點的切平面為Σ。我們考慮在(u,v)偏離(u0,v0)時,r(u,v)偏離切平面的情況。因此我們計算

上式右端第一項是線性項,位于切平面內;在法線方向的偏離是在第二項中的二階量,所以定義r在法線方向的偏離為

稱為曲面第二基本形式。可以證明該表達式在坐標變換下也是不變的,其中系數的矩陣形式為。位置矢量的二階導數rij在切平面中的分量,定義了另一個重要的量,克里斯托弗符號,它表示的是rij在切平面中的分量在rk方向上分量的展開系數。值得指出的是,如果我們引入曲面第一基本形式系數矩陣gij的逆矩陣為gij,即,則克里斯托弗符號完全由曲面第一基本形式給出為

圖3 曲面對切平面的法向偏離量δ

圖4 法截面與法截線

若用弧長s為參量的參數方程為r(u(s),v(s)),則根據定義曲線在切點處的曲率為

以上表達式只需要運用微分鏈式規則求導運算即可得到,所以該曲率完全決定于第二基本形式。現在來計算κn對主截面方位的依賴關系。如圖5所示,不失一般性,可以假設在切點處ru⊥rv,因此F=0。設切點處曲線～C的切線t與ru的夾角為θ,即dr與ru的夾角。利用dr=rudu+rvdv,可以推出

為a1,a2。設dr與a1夾角為φ,則可以得到κn（φ）=κ1cos2φ+κ2sin2φ,利用κ1,κ2可以定義兩個新的量

圖5 at、a1和a2分別表示法截線、主曲率(κ1,κ2)在切平面中所對應的方向

從法曲率κn(φ)表達式可以看出曲線在切點處的曲率完全由κ1,κ2及曲線切線與a1的夾角φ所決定。如果忽略人為選擇φ的影響,我們可以說曲面在切點處的彎曲性質由κ1,κ2完全決定。

人們運用高斯曲率來刻畫曲面的彎曲特征,①當κ1,κ2同號則K大于零,則沿任意方向的法曲率κn(φ)與κ1,κ2同號,這時法截線朝著一個方向彎曲,對應的切點叫做杯點或者橢圓點,如圖6(a)所示。②如果κ1,κ2中有一個為零,則對應的切點叫做拋物點,如圖6(b)所示。③當κ1,κ2異號則K小于零,對應的切點叫做鞍點或者雙曲點,如圖6(c)所示。

圖6 三維空間中的彎曲程度

歷史上,高斯作出了一個重要觀察:曲面的高斯曲率完全由曲面上的度規給出(即第一基本形式)。這初看起來似乎難以想象,因為高斯曲率反映的是曲面在三維空間中的彎曲程度。事實上如果我們仔細考查就會發現并不完全是這樣,高斯曲率刻畫的只是曲面的內蘊性質。從式(6)我們知道高斯曲率是由兩個本征曲率κ1,κ2的乘積給出,所以高斯曲率為零,并不能得出曲面在三維空間是沒有彎曲的,例如圓柱面的高斯曲率為零,但是在三維空間它在一個方向上有彎曲(參考圖6(b))。同樣可以證明,對于圓柱面的平均曲率不為零,平均曲率不是曲面的內蘊性質。具體說來,如果在曲面上選擇的是正交坐標網F=0,則高斯曲率可以由第一基本形式表示成下式,

高斯得意的稱這個定理為絕妙的定理(Theorema Egregium)。

4 測地線

考慮在曲面上的一條曲線,其以弧長為參數的方程為γ(s)=r(u(s),v(s)),求二次導得到

利用式(3)定義的第二基本形式以及克里斯托弗符號,式(7)可以進一步寫成

很容易看出,第一項表示曲線方程二階導數的切向分量,記為:,其數值大小給出測地曲率κg,它刻畫了曲線在曲面上自身的彎曲程度。第二項是法向分量,記為,等于γ″·,它刻畫的是曲線由于曲面的彎曲而產生的彎曲。這兩個曲率的不同,可以通過圖7清楚地看出。

圖7 左圖(右圖)法曲率不為零(為零),測地線曲率為零(不為零)

我們進一步來討論測地線曲率。因為曲線是以弧長為參數,所以γ′·γ′=1,對其兩邊同時微分可得γ″·γ′=0,即·γ′=0,又因為·γ′=0,所以·γ′=0。這說明同時與和相互垂直(如圖8 所示),因此有如果對于一條曲線,它每一點處的測地曲率都為零κg=0,這樣的曲線叫做測地線。根據式(8),可以得到測地線所滿足的微分方程為

圖8 曲線γ(s)的一階、二階導數在切平面與法線上的投影

這是兩個二階的微分方程,通過求解方程,即可求出曲面上任意兩點間的測地線。例如在平面上的直角坐標系中,因為=0,所以很容易求出其測地線為直線。

測地線的另一個等價定義是曲面上兩點間的短程線,即在適當小的范圍內聯結任意兩點間的曲線中,測地線是最短的?？梢岳们娴牡谝换拘问街械木€元公式通過變分來證明,所以測地線可以理解為在曲面上的直線[4]。

5 曲面上矢量的平行移動

在高維的彎曲空間中矢量的平移是一個非常重要同時又非常抽象的概念。然而這個概念在二維曲面上,我們可以得到一些直觀上的把握。首先,曲面上的矢量指的是定義在切平面中的矢量。其次,從一點到另外一點的平行移動不是通常三維平直空間中的平移,因為這樣平移后的矢量通常不在曲面的切平面內,因此需要重新建立平行移動的概念。

如圖9所示,考慮曲面上的沿著曲線C上的矢量場,它由參數方程a(t)=a1(t)r1(t)+a2(t)r2(t)給出。假設我們知道它在P點的矢量為a,在它鄰近一點P′處的矢量為a′=a+da,若將其按照通常意義下的空間平移移動到P點,則a′一般不在P點的切平面內。如圖9所示,將其分解為沿著切平面的部分和垂直于切平面的部分。垂直切平面的部分可以表示成,因為a是在切平面內,所以·a=0,所以沿著法線的分量為。從a+da中減去垂直切平面的分量,得到其在切平面的分量,記為(a+da)t,即(a+da)t=a+da-。然后我們把在P點(a+da)t與a的差叫做矢量場a(t)從P點沿曲線C移動到點P′的絕對微分(也叫協變微分),用Da來表示

圖9 曲面上矢量沿一曲線的平行移動示意圖

可以看出Da仍然是P點處切平面中的矢量。

當Da=0時,表示矢量a從點P沿C的方向移動到點P′時,微分da沿法線的方向,或者說,把矢量a+da投影到點P的切平面時,我們得到矢量a,這時稱矢量a+da是矢量a從點P沿C方向經過平行移動到P′點。這樣定義的平行移動,也叫做列維-奇維塔(Levi-Civita)平行移動,它依賴于連接P,P′的曲線。如果所考慮的曲面是平面,列維-奇維塔平行移動將回到我們所熟悉的平行移動。

利用定義式(10)也很容易推導出絕對微分的解析式,根據a(t)的表達式有

如果考慮a沿著某一已知曲線xi=xi(t)作有限的平移,可以得到a分量所滿足的微分方程為。這是一個關于ai的線性方程組,由微分方程的理論知道,方程的解是存在且唯一的,因此矢量沿已知曲面上一條曲線做平行移動總是可以唯一的實現。

6 二維曲面理論的應用

梯度、散度、旋度是刻畫矢量場性質的三個重要物理量。人們也很容易從它們的定義看出物理意義,在大多的教材中給出了在三維直角坐標系中如何通過定義來得到它們的微分表達式[5]。然而如何根據定義推導在曲線坐標系乃至彎曲空間中的表達式,據我們所知,還沒有看到這樣的推導。在下面我們將推導這些算符在曲面上的表達式,這些表達式能夠很自然的推廣到高維。最后再將討論如何將這些理論運用到肥皂膜上的流體力學。

7 二維曲面上梯度、散度、旋度公式

梯度:在三維正交坐標系中,我們知道標量函數f(x,y,z)沿著以弧長為參數的曲線C:{x(s),y(s),z(s)}的方向導數可以表示成

考慮到對于標量函數的協變微分與偏微分是等價的[4],上式也可以表達成

其中Di≡gijDj。(16)式是梯度算符適用所有維度的一般表達式。

散度:回憶電磁學及流體力學中的知識,三維空間中散度的定義為[6],即它等于在矢量場f(x,y,z)中穿出某一無限小體積元表面的通量與該體積元的比值。如果該比值不等于零,則說明該體積元所在點存在“源”(對于電場,源就是產生電場的電荷;對于流體,源就是流體產生或消失的地方)。

對于二維曲面,考慮定義在曲面上的某一足夠光滑的矢量場,A(u,v)=Aueu+Avev。類似于三維空間,曲面上的散度定義為

即它等于在矢量場A(u,v)中穿過某一無限小曲面邊界的“通量”與該面積元的比值。注意dl⊥表示垂直邊界且指向面積外部的矢量線元。從該定義同樣可以清楚的看出二維曲面上散度的物理意義。

現在來推導?S·A的具體表達式。為此,如圖10所示在曲面上作一個由坐標線圍成的面積元(可看作四邊形),所以穿過四邊形微元邊界的通量可以分別在四個邊上給出為

圖10 由坐標線所圍成的無窮小面元ABCD(陰影區域)

根據前面我們對各量的定義,結合AB與CD上的通量得到

結合BC與AD上的通量得到

結合式(18)與式(19)并利用面元的定義得到穿個整個邊界的通量為

對比散度的定義式(17),得到在二維曲面上矢量場的散度為

結合我們的討論并運用和三維情況類似的論證方法[5],可以得到在曲面上的高斯公式為

同樣這個式子對于高維情況也是成立的,并且可以證明該表達式用協變導數表達出來為?S·A=DiAi,可以參考文獻[4]。值得注意的是此表達式和三維平直空間的情況完全類似,只需把協變導數變成偏導數即可。

旋度:與三維情況類比,曲面上的旋度定義為,,dl‖是沿著邊界L切線方向的矢量線元。矢量場A(u,v)在某一點沿著垂直該點切平面方向的旋度為,沿著圍繞該點的無窮小邊界矢量場的環量與該邊界所包圍的面積的比值。旋度在有些教材上也被形象地叫做渦度,因為從上面的定義式容易看出,如果流體中存在旋渦,則圍繞旋渦中心的旋量不為零,即在旋渦中心處旋度不為零。所以旋度是刻畫流體中存在旋渦的強弱的物理量。

與散度的推導類似,如圖10所示同樣選擇一個由坐標線圍成的無窮小面積元,分別計算在四邊形每個一個邊上對環量的貢獻

CD上的旋量:-A(u,v+dv)·eu(u,v+dv)du

AB上的旋量:A(u,v)·eudu

BC上的旋量:A(u+du,v)·ev(u+du,v)dv

AD上的旋量:-A(u,v)·ev(u,v)dv

后一個等式利用了聯絡在作差后會消失的性質,所以可用協變導數代替偏導數。同樣,對應的也有曲面上的斯托克斯公式為

拉普拉斯方程:在三維直角坐標系中,拉普拉斯方程定義為?·(?φ)=0。方程左邊表示對標量函數φ取梯度得到矢量函數后再取其散度,對于二維曲面也是同樣的定義,代入在前面得到的梯度和散度表達式可以得到此時的拉普拉斯方程形式為

最后需要指明的是,利用上面得到的梯度、旋度、散度公式可以推出在正交曲線坐標下的梯度、散度及旋度的表達式。以球坐標為例,其度規張量為grr=1,gθθ=r2,gφφ=r2(sinφ)2,其他矩陣元為零。在代入公式時需要注意的有兩點:首先,把前面得到的公式推廣到三維,即求和指標換作i=1,2,3。其次,在通常的球坐標系中矢量場展開的基通常是單位矢量,應該將其變換到自然標架的基上,即,所以,代入公式的各分量分別是Ar,

8 二維曲面理論的應用——肥皂膜上的流體力學

相信幾乎每個人的童年都玩過肥皂泡,然而小小的肥皂泡卻包含了豐富的物理。人們對肥皂膜的研究可以追溯到牛頓時代。在陽光下,仔細觀察一個肥皂泡的表面,可以看到許多彩色條紋。這些彩色條紋是由于薄膜干涉產生的,屬于等厚干涉現象。如果多觀察一段時間,可以看到這些條紋在不停地變化著。這說明肥皂膜的厚度時刻在發生變化,或者說肥皂膜中的液體時時處于流動的狀態。導致皂膜上液體流動的外部驅動力,一部分來自于重力,一部分來自于空氣流動所造成的力。這些外部力與皂膜內部的表面張力以及粘滯力一起決定了皂膜上的液體流動。又因為皂膜非常的薄,所以皂膜上的流體也可以看作二維曲面上的流體。對二維流體的研究已經存在著非常多的文獻[7,8,9,10]。本文主要介紹如何將曲面理論與流體力學相結合,運用到固定曲面上的二維流體(即,曲面不隨時間發生變化),得到控制流體演化的方程。

采用文獻[7]中謝錫麟等人的觀點,在皂膜上一點處的液體面密度表示成為ρ=hρV,其中ρV表示液體的體密度(假設為常數),h表示皂膜的厚度。因此,如果知道皂膜的面密度ρ(u,v,t),便能從理論上預言其上的條紋分布。假設在皂膜上的速度分布為V(u,v,t),根據質量守恒可以得到連續性方程為

其中S為皂膜上任意選擇的一個面積,L是S的邊界。因此上式的物理意義是,S中單位時間內面密度的增量,等于單位時間內流入到S中的質量。利用前面得到的在曲面上的高斯定理可以得到連續性方程的微分表達式為

然后,將牛頓第二定律運用到皂膜上的某一個面積微元上,采用和前面曲面上梯度定義類似的討論,可得到微元的動量改變為

在上面的矢量方程中只取了與曲面相切的分量,因為其垂直分量只提供保持曲面不變的平衡力,不改變切速度的大小。另一點值得注意的是,在曲面上,高斯曲率結合曲面上的流速場一起產生等效的力,參與動量的平衡。

從上面的討論可以看到描述固定曲面上流體狀態需要四個量,速度V的兩個分量,以及表面張力γ和流體面密度ρ兩個熱力學量。因此,完整的流體力學方程組應該包括四個方程。方程(27-28)式提供了三個方程,分別是連續性方程與納維-斯托克斯方程。第四個方程是曲面保持不變的平衡方程[10]。

9 黎曼幾何及廣義相對論簡介

黎曼幾何:受高斯的影響,黎曼進一步思考對于物理空間究竟什么是最本質的。黎曼認為我們只能局部地了解周圍的空間。這一點不像前面討論二維曲面時的情形,在那里我們可以把它嵌入到三維空間中觀察它形狀的變化。我們卻很難想象在四維空間中嵌入三維曲面,來研究三維空間的彎曲,我們能夠確定的是在三維空間中兩個相鄰點間的距離。因此黎曼在題為《幾何學基礎所依據的假設》中將高斯的曲面理論推廣到n維流形[13,14]。

假如流形上每個點的坐標記為（x1,x2,…xn）,線元為,ds2=gij(x)dxidxj,正如前面所討論的,流形上的幾何量(如線元,面元,夾角,高斯曲率)都可以由gij給出。在黎曼看來,我們不需要第二基本形式,因為它不是空間的內蘊性質。

黎曼的另一個重要貢獻是將二維高斯曲率推廣到n維情況,他引入了黎曼曲率張量

我們很難從黎曼曲率張量的定義式(29)直接看出其幾何意義。粗略的來說,黎曼曲率張量刻畫的是將一矢量沿著曲面上某一無窮小閉合路徑平行移動,回到原來位置時它與原矢量的差別程度[15]。如果是在平坦的空間上,這個差別為零。二維曲面中的高斯曲率也可以用黎曼曲率張量和度規張量表示成,或者從這個式子也可看出高斯曲率完全由度規張量給出,是曲面的內蘊性質。黎曼幾何可以看作是二維曲面理論的直接推廣,在二維曲面論中成立的公式,在n維流形的情況也同樣成立,只需把原來求和指標由i=1,2變為i=1,2…n即可。

廣義相對:不同于牛頓的絕對時空觀,在狹義相對論中,時間與空間統一為四維時空,不同慣性系的時空坐標滿足洛倫茲變換。而洛倫茲變換的要求等價于閔可夫斯基(Minkowski)四維時空間隔ds2=(cdt)2-(dx)2-(dy)2-(dz)2=ημνdxηdxν在洛倫茲變換下是不變的。其中c為光速,μ,ν=0,1,2,3,(x0,x1,x2,x3)=(ct,x,y,z),ημ,ν=diag(1,-1,-1,-1)是4×4的對角矩陣,叫做閔可夫斯基度規。

與曲面理論作對比,可以發現對狹義相對論的研究事實上歸結為對四維閔可夫斯基空間幾何的研究。需要注意的是,和普通的四維歐幾里得空間不同,時空間隔可以小于零,所以度規張量矩陣不是正定的,因此四維閔可夫斯基空間也叫偽歐幾里得空間,它具有最大的對稱性。當考慮引力時,由愛因斯坦等效原理知,引力場要對時空屬性產生影響,四維時空將會產生彎曲,此時描述時空性質的幾何將是黎曼幾何。

在廣義相對論中,時空間隔一般可以成為ds2=gμνdxμdxν,其中度規張量gμν是時空坐標的函數。時空的幾何特性都蘊涵在度規張量中,它是由時空中的物質能量分布所決定。愛因斯坦場方程便是告訴我們如何通過空間的物質能量分布來確定時空的度規張量。

與曲面理論中完全類似,通過度規張量gμν可以構造聯絡,利用聯絡又可以得到黎曼曲率張量。它們具有與曲面理論中相同的形式,只是各指標取值變成從0到3。愛因斯坦場方程由下式給出

10 結語

我們介紹了二維曲面理論中的第一、二基本形式,曲率,測地線,平行移動的概念,利用這些概念推導了曲面上的梯度、散度、旋度公式。這些公式很容易推廣到高維情況,可以應用到數理方程的建立與求解中。我們也討論了如何將曲面理論應用到曲面上二維流體,得到控制流體運動的連續性方程和維納-斯托克斯公式。然后我們介紹了將曲面理論推廣到高維中的黎曼內蘊幾何,以及其在廣義相對論中的應用。通過這些內容的介紹,我們旨在探討如何在數學物理方法中引入曲面理論的知識,為本科生打下學習更高階微分幾何知識的基礎。當然正如我們前面敘述的,微分幾何的知識體系非常的龐雜,作為數學物理方法的一部分內容,不可能涉及所有方面。我們盡量選擇作為微分幾何入門中常遇到的困難概念來展開討論,建立它們在曲面上的直觀圖像,從而為理解更加抽象的概念提供基礎。