小球與勻質細桿的碰撞
——大學物理教學問題探討

劉鳳艷 韓守振 蘇雪瓊

(北京工業大學理學部 物理與光電學院,北京 100124)

大學物理教學中,小球與細桿的碰撞問題是剛體力學中的一個難點問題。由于大部分中學物理不講解剛體、轉動慣量等概念,遇到這類問題很多學生還是嘗試利用動量守恒來處理[1]。據作者多年的教學經驗,相當比例的學生不理解碰撞過程中動量為何不守恒,而錯誤地對小球—細桿系統用動量守恒定律求解。大學物理教學應該想辦法彌補這方面教學的缺失,也可以利用這部分知識的講解使學生從中學思考物理問題的方式轉變到大學物理思考問題的方式。小球與細桿的碰撞問題涉及的力學知識點是比較多的,包括剛體的性質、轉動慣量、質心的概念、彈性和非彈性碰撞等。因此對這個碰撞問題的分析與討論,可以幫助提升學生對剛體力學各種概念的理解,也可以提高學生分析、解決問題的能力。正因為如此,有很多物理競賽題也是就小球與細桿的碰撞問題而設計的,以此來考查學生解決物理問題的能力。比如,尋找保持細桿懸掛軸水平方向受力為零(此時水平方向動量也守恒)的位置,小球擊打自由落體的細桿等。這些習題可以起到非常好的訓練效果。

綜上所述,為了較為系統的講解小球與細桿的碰撞問題,本文通過兩個實例進行分析計算,給出在碰撞過程中小球—細桿組成的系統動量、角動量和動能是否守恒,何時守恒,以及碰撞之后小球和細桿的運動方式。論文做以下安排:第1部分討論小球與通過水平光滑軸自然下垂的勻質細桿的碰撞的例子;第2部分討論小球與自由下落的勻質細桿的碰撞的例子;最后一部分給出本文的總結。雖然大部分讀者可能對本文涉及內容相當熟悉,但是論文還是盡量詳細說明了作者在實際課堂上的講解過程,希望對各位讀者的教學有借鑒意義。

1 小球與通過水平光滑軸自然下垂的勻質細桿的碰撞

質量為M、長度為l的細桿可以繞水平光滑軸O轉動,O軸通過細桿的一個端點,開始時細桿自然下垂,如圖1所示。質量為m的小球沿水平方向以速率v0與細桿發生碰撞。這里將小球看作質點,細桿看作剛體。正如上文所述,當在課堂上講解這個例題的時候,學生們一般首先會想到利用動量守恒來求解,下面我們就先分析這個過程中的動量,然后再討論正確的利用角動量求解的方法,同時分析碰撞過程中的能量(彈性和非彈性)情況。

圖1 小球與過水平光滑軸自然下垂的勻質細桿的碰撞

1.1 碰撞過程中的動量

在碰撞過程中,小球和細桿組成一個系統。小球和細桿之間的作用力、反作用力為一對內力,內力不改變系統的總動量。系統所受外力為細桿和小球所受重力和O軸給予細桿的作用力,很多同學會認為這兩個力都沿豎直方向,水平方向沒有外力,所以碰撞過程中系統水平方向動量守恒。但是,事實并非如此,下面通過計算來說明這一問題。

假設圖1中質心C到O軸的距離為rc,碰撞點P到O軸的距離為rp。先假設碰撞瞬間O軸對細桿的作用力有沿水平方向的分量,記作Fx,O軸對細桿沿豎直方向的分量記作Fy,則如果Fx=0,水平方向動量守恒,否則水平方向動量不守恒(這里忽略碰撞瞬間細桿的擺動)。水平方向選向右為正方向,豎直方向選向下為正方向,轉動選逆時針為正方向。設碰撞瞬間小球給細桿的作用力為f,則細桿會在這一f形成的力矩作用下繞O軸轉動,根據剛體定軸轉動定律有

其中J=Ml2是勻質細桿相對于過其端點軸的轉動慣量,α為細桿定軸轉動角加速度。對于細桿,根據質心運動定理有

其中acx為細桿質心沿x方向的加速度,也即質心的切向加速度。因為細桿的質量分布均勻,其質心C就在棒的中點位置,有rc=。由式(1)、式(2)可得

可見,只有當rP=時才有Fx=0,才滿足水平方向動量守恒[2],其實這個簡單的運算也給出了懸掛點水平方向受力為零的擊打點位置;當時,Fx＜0,即O軸給細桿沿水平方向的力向左;當rP＞時,Fx＞0,O軸給細桿沿水平方向的力向右。這兩種情況下系統沿水平方向合外力不為零,水平方向動量不守恒。因此這道題如果用動量守恒來求解碰撞后小球的速度和桿的擺動角速度是不合適的。

1.2 碰撞過程中的角動量和動能

下面來看這個問題的正確求解方法,即利用角動量守恒來求解。小球—細桿之間的作用力為一對等值反向的內力,其對O軸的合力矩為零。系統所受外力為重力和O軸對細桿的作用力,在碰撞瞬間不考慮細桿的擺動,這兩個力對O軸的力矩也都為零,所以碰撞過程中滿足角動量守恒,即

其中r為任意撞擊點到O軸的距離,v為碰撞后小球的速度,ω為碰撞后細桿開始擺動的角速度。

大學物理教學中涉及的這類碰撞問題通常都是兩種極限情況——完全彈性碰撞或是完全非彈性碰撞,而對于一般情況下的非完全彈性碰撞通常不做討論。為了不失一般性,這里利用恢復系數來表示碰撞,進而討論動能如何變化以及小球和細桿碰撞后的運動方式。恢復系數e是與碰撞物體的材質有關的一個物理量,定義為[3]

e的取值范圍為0≤e≤1,e=1時為完全彈性碰撞,動能守恒;e=0時為完全非彈性碰撞,小球粘附于細桿之上和細桿一起運動,動能損失最大。υ1-υ2是兩物體碰撞后的相對速度,υ10-υ20是兩物體碰撞前的相對速度。碰撞前細桿靜止不動,小球相對于細桿碰撞位置的速度大小為v0;碰撞后小球速度為v,細桿開始以角速度ω擺動,小球相對于細桿上碰撞位置的速度為ωr-v[4],于是有

由式(3)、式(4)可得碰撞后小球的速度

由式(5)可知,如果mr2＜Je,v＜0,小球被細桿彈回;如果mr2＞Je,v＞0,碰撞后小球繼續向右運動。這兩種情況下,當e=1時,小球速度值v為

此時對應完全非彈性碰撞,動能損失最大,小球粘附于細桿之上,隨細桿一起上擺,此時式(3)變形為

其中mr2是粘附于細桿上的小球相對于O軸的轉動慣量。由此也可得到小球速率

與式(7)相同。

有一個非常有意思的點,可以在課堂上講解一下。式(5)中如果mr2=Je,碰撞后小球將停止運動,只有細桿向右上方擺動。即小球撞到細桿上,停止運動,細桿擺動起來。這個過程與演示動量守恒時下擺鋼球與自然垂掛鋼球的對心碰撞過程類似,如果能夠將兩個碰撞過程放在一起演示,預計可以取得非常好的教學效果。

2 小球與自由下落的勻質細桿的碰撞

這里假設細桿沒有固定軸,開始時細桿長度方向沿豎直方向靜止放置,如圖2所示,小球和細桿碰撞的瞬間細桿開始作自由落體運動,此時再來討論碰撞過程中系統的動量、角動量和動能。

2.1 碰撞過程中的動量

在這種情況下,在碰撞的瞬間,小球和細桿組成的系統所受合外力為豎直方向的重力,水平方向不受外力,所以水平方向動量守恒。依然用v表示小球碰撞后的速度,有

圖2 小球與自由下落的勻質細桿的碰撞

其中vcx為細桿質心沿水平方向的速度。考慮到豎直方向的自由落體運動,此時,細桿質心的合運動為平拋運動,而整根細桿繞質心作勻角速度轉動。這里要注意,細桿雖然繞其質心轉動,但是因為質心參考系是零動量系[5],即細桿相對于其質心的動量為零,所以在式(8)中只考慮細桿質心的動量。

2.2 碰撞過程中的角動量和動能

在碰撞過程中,系統所受外力為重力,而重力相對于過質心的C軸的力矩為零,所以角動量依然守恒,有

其中r′為任意撞擊點到C軸的距離,J′=為細桿相對于C軸的轉動慣量。

下面我們來看碰撞過程的動能。注意到如果小球與細桿上半部分碰撞,細桿會作順時針轉動;如果小球與細桿下半部分碰撞,細桿將作逆時針轉動,除了旋轉方向之外其他運動沒有差別。這里假設小球與細桿下半部分碰撞。依然利用恢復系數的定義,有

因為碰撞后細桿質心有沿水平方向的速度vcx,小球和碰撞位置的相對速度為vcx+ω′r′-v。解式(8)、式(9)、式(10)可得

由以上結果可以看出,當r′=0 時,細桿角速度ω′=0,此時小球正好與細桿質心位置碰撞,相當于對心碰撞,整根細桿都作平拋運動,沒有轉動;當r′≠0時,不管M、m、r′、e取何值,vc都 為正值,即細桿質心以速度vcx沿水平方向向右運動。當r′＞0,即小球與細桿下半部分碰撞,ω′＞0,細桿以角速度ω′繞過質心的C軸逆時針轉動;否則,如果r′＜0,即小球與細桿上半部分碰撞,ω′＜0,細桿以角速度ω′繞過質心的C軸順時針轉動。對于碰撞后小球的速度v,還需分三種情況討論:

(1) 當mJ′+Mmr′2-eMJ′＜0 時,碰撞之后小球被彈回,e=1時為完全彈性碰撞,回彈速度最大;

(2) 當mJ′+Mmr′2-eMJ′=0 時,碰 撞之后小球停止運動;

(3) 當mJ′+Mmr′2-eMJ′＞0 時,碰撞之后小球繼續向右運動。當e=0時為完全非彈性碰撞,此時小球粘附于細桿之上,和細桿一起繞質心轉動,系統質心依然做平拋運動。但此時系統質心位置不是細桿中心,而應該在桿的質心O′和碰撞位置P之間的某點,如圖3中所示C′位置。選C點為坐標原點,向下為正y方向,則質心位置為

表示動量和角動量守恒的式(8)、式(9)應寫成如下形式:

這里r″=r′-yC′為碰撞點到質心C′的距離,J″=是系統相對于過質心的C′軸的轉動慣量。這種情況下,質心C′將作水平方向速度為vc′x的平拋運動,系統將繞質心C′以角速度ω″作勻角速度轉動。

圖3 小球與自由下落的勻質細桿的碰撞,并粘附其上

最后,我們再來補充一種小球與光滑水平面上勻質細桿碰撞的情況。如果小球與置于光滑水平面上一端固定的勻質細桿發生碰撞,碰撞過程的分析與第一種情況完全相同;如果置于光滑水平面上的細桿沒有固定軸,則與第二種情況類似,只是沒有豎直方向的運動;如果軸的位置變化,那么相對于軸的角動量和轉動慣量都會發生變化,分析方法相同。另外如果細桿置于一粗糙水平面上,只要小球和細桿之間的作用力足夠大,碰撞瞬間對細桿形成的沖量矩遠遠大于摩擦力矩,也可認為角動量近似守恒。

3 結語

本文通過兩個實例分析了小球和細桿的碰撞問題。分析表明,通常情況下小球—細桿組成的系統所受合外力矩為零或近似為零,角動量守恒。

當細桿沒有光滑固定軸時,小球與置于光滑水平面上的細桿碰撞,合外力為零,動量守恒;如果小球與桿長沿豎直方向放置做自由落體的細桿碰撞,水平方向不受外力,小球—細桿系統水平方向的動量守恒。如果細桿有光滑固定軸,只在小球撞擊細桿的某一特定部位時系統動量才可能守恒。

只有在完全彈性碰撞下小球—細桿組成的系統動能才守恒。如果恢復系數e≠0,碰撞后小球可能繼續向前運動,也可能被彈回或是停止運動,細桿繞固定軸或是繞自身質心轉動。對于完全非彈性碰撞,即e=0,系統動能損失最大,此時小球粘附于細桿之上和細桿一起繞固定軸或是小球—細桿系統的質心轉動。

在課堂教學中,給出小球與有固定軸的自然下垂的細桿碰撞時細桿的受力情況計算,學生很容易理解桿的動量是否守恒,進而引導學生改變解決問題時一些想當然的想法,做到以事實、數據為依據進行判斷。進一步探究小球和沒有固定軸的細桿之間的恢復以及碰撞后小球和細桿的運動形式,涉及到碰撞系數、質心等難度稍大的內容,可以拓展學生的思維,使其在學習、探索中找到樂趣。