第20屆亞洲物理奧林匹克競賽理論試題3介紹與解答

(清華大學物理系,北京 100084)

第20屆亞洲物理奧林匹克競賽于2019年5月5日至13日在澳大利亞阿德萊德舉行。由清華大學物理系率領代表中國參賽的8名中學生獲得了總共9枚金牌中的6枚[1],取得了相當優秀的成績。與往年相比,本次競賽的題目難度較大,整體成績偏低,按既定規則給出的金牌數與獎牌數都大幅度少于往屆(例如2014—2018年每屆金牌數平均為32枚)。本次競賽理論試題共三道,每道10分。其中第三道關于翻轉陀螺的問題[2]很有意思。翻轉陀螺對于很多人并不陌生,在網上可以買到玩具,網上還有玻爾和泡利興致勃勃玩翻轉陀螺的照片。它在我國的力學教材中也有提到[3],但多是定性或半定量說明,缺少模型簡化與詳細計算。在本次競賽中,出題委員會將翻轉陀螺進行了模型簡化,考查參賽者對于力學中轉動與坐標變換等基本知識點的掌握與計算能力,把一個玩具變成一道正統而有趣的物理題目。從競賽結果看,本題有一定難度,在三道理論題中其平均分數最低,所以值得對它進行詳細的介紹與解答。

1 翻轉陀螺試題介紹

翻轉陀螺指的是一種特殊的陀螺,它被轉動后可以自行翻轉。我們可以將它模擬為一個半徑為R的球體,有一端被切除后,加上一根短桿,總質量為m。它具有對應與穿過短桿的軸的旋轉對稱性,該軸與豎直方向成一夾角θ。沿著此對稱軸,從其質心C到幾何中心O的直線距離為αR,如圖1(a)所示。翻轉陀螺與地面的接觸點為A;我們假設地面是平面的,并將其稱為地板。在某些特定的幾何約束條件下,若在最初時,使它旋轉得足夠快,則翻轉陀螺將會傾斜。導致短桿越來越向下偏,直到以桿為支撐繼續旋轉,最終停下。

圖1 翻轉陀螺視圖

以xyz代表中間(intermediate)轉動參考系,其軸固定且向上,陀螺的對稱軸是在xz-平面。圖1 所示為翻轉陀螺的側視圖與俯視圖。如圖1(b)所示,當俯視時,陀螺的對稱軸沿著x軸。

如圖2所示的是陀螺開始轉動后,在幾個不同階段的運動情況:

(a) 階段Ⅰ:初始剛開始轉動后瞬間,角度θ～0

(b) 階段Ⅱ:不久后,角度以傾斜下偏,角度0＜θ＜π

(c) 階段Ⅲ:當短桿初次觸地,角度θ＞

(d) 階段Ⅳ:翻轉后,陀螺以桿為支撐做旋轉,角度θ～π

(e) 階段Ⅴ:在最后階段,陀螺靜止停在桿上,θ=π。

以XYZ代表慣性參考系,支撐陀螺的地面完全在XY平面。參考系xyz的定義如前所述,將XYZ系統繞Z軸轉動角度φ后,即與xyz重合。由XYZ系到xyz的轉換如圖3(a)所示,其中

圖2 階段Ⅰ～Ⅴ的陀螺運動,圖示為xz 平面

圖3 兩參考系之間的轉換

在三維空間的任何轉動可用3 個歐拉角（θ,φ,ψ）來描述。慣性系XYZ,介乎中間的參考系xyz與陀螺參考系(也叫隨體參考系)123之間的轉換,可利用歐拉角來了解。

在我們對翻轉陀螺運動的描述中,角度θ和φ分別是球坐標系中的標準天頂角(zenith angle)和方位角(azimuthal angle)。在XYZ系中,它們的定義如下:θ是豎直軸Z到陀螺對稱軸的夾角,它代表短桿偏離豎直方向的角度;而φ則代表陀螺繞Z軸轉動的角位置,它的定義是XZ-平面與O,A,C所在平面(即陀螺對稱軸的豎直投影)之間的夾角。第三個歐拉角ψ描述的是陀螺繞其自身對稱軸的旋轉,即“自轉”,其對應的角速度為

旋轉的陀螺參考系被定義為一個新的轉動參考系123,此參考系可由xyz系繞軸轉一角度θ而獲得;就是使軸往下“傾斜”一個角度θ后,與陀螺的對稱軸重合。由xyz系到123系的轉換如圖3(b)所示,其中

翻轉陀螺的運動是很復雜的,它涉及三個歐拉角隨時間的變化,以及陀螺的平移速度(或位置)和陀螺對稱軸的運動。所有這些參數互相耦合。因此要解這樣的問題,需要標準工具,包括使用牛頓定律寫出系統的方程,然后計算機編程用數值方法求解。

在此,要求探究翻轉陀螺的物理并建立方程組,但不用數值求解。

翻轉陀螺和它運動時所接觸地面之間的摩擦力是其運動的驅動力。假設翻轉陀螺在點A處與地板保持接觸,直到短桿接觸地板為止。陀螺在點A相對于地板的速度為VA。陀螺與地板之間的滑動摩擦系數為μk,因為摩擦力|Ff|=μkN,此處,N為正壓力的大小。假設最初只令陀螺自旋,即沒有受到任何平移的沖量。

以m表示陀螺的質量,I3表示繞對稱軸的轉動慣量,I1=I2表示繞另外兩互相垂直軸的轉動慣量。設s是質心的位置向量,且a=是由質心到接觸點的向量。

除非特別說明,否則請用xyz參考坐標系作答以獲得滿分。除非另有說明,否則所有力矩和角動量均相對于質心C。答案中可用N表示。除了A.8部分,只需考慮當θ＜π時的陀螺,并且短桿不與地面接觸。

A.1(1分)求此翻轉陀螺所受的總外力Fext。畫出此陀螺在xz和xy平面上的受力圖,在xy平面圖上指出VA的方向。

A.2(0.8分)求此翻轉陀螺相對于質心的總外力矩τext。

A.4(0.8分)求陀螺相對質心C旋轉的總角速度ω,以歐拉角的時間導數:,和來表示。使用圖3分別給出在xyz參考系以及123參考系中的答案。

A.5(1分)用vx,vy和歐拉角的時間導數,來表示翻轉陀螺的旋轉總能量。若是用來表示,答案也可得部分分數。

A.6(0.4分)求出相對z軸的角動量的變化率。

A.7(1.4分)什么力抵抗重力做功? 求陀螺的能量的瞬時變化率的表達式,用VA表示。給出造成A.5中的能量變化的力和力矩的分量。

A.8(2分)關于陀螺在圖2中所示的五個階段I至V 的運動,在答案紙中定性地描繪以下能量項作為時間的函數:總能量ET,重力勢能UG,平移動能KT,旋轉動能KR。你所描述的能量軸不需要按比例繪制。

A.9(0.5分)證明角動量L和角速度ω在垂直于方向的分量成正比,也就是:并求正比系數k。

結合A.1、A.2及接下來的結果可推出正壓力N的大小以及方程組,和歐拉角,A點速度的分量vx、vy、對稱軸的單位向量,及它們的時間導數有關。此系統是不可積的,但可用數值方法求解。

運動積分是守恒量,能夠減少系統的維度(也就是需要求解方程的數目)。在封閉系統,典型的守恒量包括能量、動量、角動量,它們可明顯簡化問題。

A.10(1.7分)由于耗散力和外力矩的作用,可看出翻轉陀螺的能量和角動量都不守恒。然而有一個相關的量,稱為Jellett積分λ,是代表角動量的某一個分量是守恒的,也就是若υ 是某一個向量,則λ=L·υ 不隨時間變化。根據你對翻轉陀螺的了解以及到目前為止的結果,寫出向量υ的表達式,并證明λ的時間導數為0。

2 解答與點評

初看題目似乎顯得異常復雜,確實轉動問題在力學中是屬于較難的部分,其中復雜的原因是因為參考系之間的變換。比如一些物理量在某參考系中容易表達,但是力學方程可能在另一個參考系中更易表達。所以這類問題的關鍵首先是明了各參考系之間基矢量(base vector)的關系,然后向量在各參考系中的表達就可以互相變換了。這也是為什么題目中首先較詳細地定義了實驗室參考系XYZ;中間參考系xyz和陀螺自身參考系123,以及用歐拉角給出了各參考系基矢量之間的關系。因而此題的首要任務是先列出各參考系基矢量之間的變換關系。

2.1 基矢量之間的關系

利用圖3,可得中間參考系xyz于實驗室參考系XYZ,以及xyz與陀螺參考系123之間的關系:

2.2 題目中相關向量的關系式

有了上面基矢量之間的關系,我們可以把向量從一種表達系統地轉成題目需要的表達,比如從質心到地面接觸點A的向量a

上式中第一行是從圖1中容易讀出的向量a表達,盡管不是用一個參考系的基矢量;但由基矢量之間的關系,可寫出a在xyz系和123系下的表達。

還可導出其他有用的關系式

由題目中給出的關系

可以求得單位向量(基矢量)相對慣性XYZ系的隨時變化率

三向量乘積由公式

上述關系式將在解題中起到作用,在這里一并列出以方便引用。

2.3 題目解答

A.1問:陀螺所受外力為作用在質心的重力;在接觸點A的支持力N和摩擦力Ff(與速度VA反向)。因此有

A.2問:陀螺所受外力矩τext(相對質心)為:質心到接觸A點的向量a叉乘支持力N和摩擦力Ff

A.3問:由于點A被約束在地面,自然它豎直方向上速度應為0,這是直觀的物理圖像。在考試前題目研討中這一點曾被提出,出題者希望參賽者通過給出的約束條件,數學上推導出這一結論:

點A的速度是質心的速度加上A相對質心的速度

接觸約束條件

對上式時間求導,a導數用到式(9),并且因此

等式的左邊正是A點速度的豎直分量。

A.4 問:對于總的角速度向量,最直觀地可以先用歐拉角的變化率來表達(參見圖3,這也是為何引入中間參考系xyz的原因)

注意這里角速度的分量不是用一個參考系的基矢量表示的,但通過2.1節基矢量的關系,我們現在可以寫出ω在xyz系和123系下的表達 (注意

A.5問:陀螺運動的總能量中的動能可以分為質心平動動能Ktrans;繞質心轉動的動能Krot;當然別忘了還有重力勢能Ug

I為轉動慣量張量。問題要求用A 點速度分量vx,vy和歐拉角的時間導數來表示。上式中Krot=ω·Iω,代入式(22)即可滿足要求;對于,我們可以利用式(18)將其表達為(同時也用到A.3結論,vz=

ω×a可由式(18和式3計算

A.6問:利用角動量變化率與力矩的關系,而式(17)給出了外力矩的公式

A.7問:從圖2中可看出,過程中陀螺質心略有上升,因而重力勢能Ug略有增加。支持力N不做功。只有在A點的摩擦力做功,它使得總能量單調下降。

從圖2中的Ⅰ到Ⅴ階段,質心平動動能較小:Ktrans～0;摩擦力主要減小了轉動動能Krot,將其部分轉化為重力勢能,因而是摩擦力抵抗重力做功。開始時角動量主要集中在方向,而使其變化的力從上問式(23)中可看出是摩擦力的y 分量:Ff,y。所以回答本問中在減少轉動動能Krot中,Ff,y起主要作用,它的力矩沿方向:a×(從式(17)中可看出,沿x方向的力矩(與Ff,y相關)和沿y方向力矩(與Ff,x相關)造成陀螺的晃動,這也是陀螺可翻轉的原因。)

A.8問:這是一道定性問題,考查的是能量變化的物理圖像。僅需要草圖反映出總能量幾個部分在各階段定性地變化。這里給出能量變化的趨勢描述,草圖從略。

Etot:單調下降,從階段Ⅰ某值單調降為階段Ⅴ某一較低數值(此時只有勢能)

Krot:單調下降,從階段Ⅰ某值單調降為階段Ⅴ～0

Ktrans:在階段Ⅰ和階段Ⅴ時～0;中間階段略有上升。

Ug:階段Ⅰ在某較低數值,隨著Krot下降而上升,最終在階段Ⅴ升至與Etot值。

A.9問:角動量在123系中的表達可由式(22)得到

比例系數k即為I1。

A.10問:由于摩擦力減少能量,外力矩減少角動量,很明顯總能量與角動量不守恒。題目所問角動量沿某方向分量:L·υ 守恒,很明顯要求這一方向(單位向量υ 所表示)上的力矩為0。從式(16)(或更直觀地從力矩定義,力矩與力臂垂直),易知質心到接觸點A 方向,即向量a方向上力矩必為0;所以

由于剛體|a|大小不變,所以下面可用L·a證明

從式(16)可知τext·a=0。

從式(3)的a的表達式,并利用式(10)與式(25)可知

3 結語

剛體轉動是力學以及分析力學中的典型問題,一般比較復雜。本題將一個經典的玩具模型簡化,考查的正是處理這類轉動問題的核心,即各個參考系中向量表達的變換關系。這是因為某些物理量,比如本題中的力臂向量a、角速度ω和角動量L,在某種特定表達下會比較簡單;但建立力學運動方程或關系式時,用另一個參考系中的表達會更方便,這就用到了變換。而處理向量表達的變換時,最基本的就是參考系的基矢量之間的變換關系。從本題的解答中已充分體現了這點,選手的丟分大部分也是源于未搞明白變換關系。這部分在教學與競賽培訓中是值得強調與重點講解的。