陀螺儀特斯拉計的相關討論

姚 堯 李文華,2 王曉杰,2 王 槿,2 潘崇佩,2 文小青,2

(南開大學1物理科學學院;2基礎物理國家級實驗教學示范中心,天津 300071)

第32屆青年物理學家錦標賽(International Youth Physicist's Tournament,IYPT)的第12道題目“Gyroscope Teslameter”內容為:A spinning gyroscope made from a conducting,but non-ferromagnetic material slows down when placed in a magnetic field.Investigate how the deceleration depends on relevant parameters。即研究一個非鐵磁性導體在磁場中運動并減速的問題。題目中涉及的裝置與電磁渦流制動[1-3]裝置原理類似,對應于基礎物理內容中的楞次定律和法拉第電磁感應定律知識點。特斯拉計涉及基礎物理實驗中磁場的測量。磁場的測量有很多方法,包括磁針法、電磁感應法、半導體(霍爾效應)探測法、核磁共振探測法、超導效應法、磁光效應法等[4]。

本文通過求解體系所滿足的麥克斯韋方程,解釋了影響其運動的相關因素,并用實驗數據對其運動規律進行了驗證和解釋,最后并將此原理用于制造一個陀螺儀特斯拉計。

1 理論分析

1.1 背景原理

試想如圖1(a)所示,當一個閉合線圈被恒力F牽引著遠離磁場區域時,由法拉第定律[5]可知,線圈上會產生感應電動勢ε:

其中ΦB為穿過線圈的磁通量,B為磁場的磁感應強度。如果線圈的速度為v,則

在線圈中同時會有感應電流i產生,此時導線在磁場中會受到安培力為

安培力的合力與其運動方向相反,此時外力F對系統所做的功一部分轉化為線圈的動能,一部分轉化為線圈中的焦耳熱能。如果將閉合線圈換成一塊普通導體板(圖1(b)),有磁場覆蓋區域的導體板可劃分為并排放置的導線,其在遠離磁場時會做切割磁感線運動,從而在導體板內形成閉合回路的路徑上產生感應電流,但由于平板內電流沒有固定導線形狀的限制,會呈渦旋狀存在。導體板的運動也會類似于閉合線圈在磁場中的情形,因受到安培力的作用運動受阻,從能量的角度考慮,在不考慮外力作用時,導體板的動能將全部轉化為導體板內的焦耳熱能。

圖1 線圈和導體板切割磁感線

1.2 模型建立

圖2 陀螺儀在磁場中的模型

對比導體板運動情況,一個旋轉的陀螺儀在磁場中的運動可以被簡化為一個導體圓盤在磁場中旋轉的模型。整體可分為兩種情況,一種是導體圓盤完全被磁場B=B(x,t)覆蓋,如圖2(a)所示,此時導體圓盤可被看做由沿半徑方向排列的金屬棒組成,由方程(2)可知,圓盤上會產生由圓心指向邊緣的感應電動勢,但是沒有接通外部電路,并不會產生感生電流,因此也不會受到磁場的安培力作用,圓盤的運動不受磁場的影響。再有一種情況就是磁場B(x,t)部分覆蓋導體圓盤(圖2(b)),不同于前一種情況,導體在轉動時,一部分在磁場中切割磁感線產生感應電動勢,一部分在磁場外作為外接電阻,形成閉合電路,從而在導體中會產生感應電流。此時導體盤會受到與轉動方向相反的安培力而減速直至停止,即在忽略外界摩擦等阻力的情況下導體圓盤的動能完全轉化為導體盤中的焦耳熱能。所以只有在導體圓盤部分處于磁場中時,才會因產生渦旋電流而使動能轉化為焦耳熱直至停止轉動。

進一步簡化模型,將磁場等效為導體圓盤上方固定一圓形永久磁鐵,如圖3所示,在此基礎上建立兩套右手坐標系(1)永磁鐵所在固定坐標系:x,y,z;(2)旋轉導體盤所在動坐標系:x′,y′,z′。

圖3 導體圓盤和永久磁體位置關系側視圖

如圖3所示,永磁體半徑為R,置于半徑為a的非鐵磁導體圓盤上方b處,兩個物體的中心軸線距離為d,導體圓盤的厚度為δ,電導率σ為有限值(即非超導體),且在本文討論范圍內δ?a,0＜R≤a/2,R≤d≤a-R。首先考慮導體圓盤相

導體切割磁感線只需考慮以下情況

由導體坐標系到磁鐵坐標系存在

其中u為導體圓盤的平動速度,由式(5)、式(6)可以得到

在導體坐標系中定義一個廣義函數D′,并且其與導體的表面電流K存在如下關系

則由方程(8)可以得到

再回到磁鐵的坐標系,在柱坐標系下由方程(10)可得

為求解方程(11)引入磁矢量勢A,且

其中μr=1,j=jz(x,y)z為體電流密度。只有在r=R且表面極薄的一層才不為零,同樣jz也被限制在厚度遠小于R的范圍內,因此由式(11)和式(12)可得

進而可以得到由矢量勢Az所在場強的單位長度的自由能W和注入到導體盤上的功率P存在如下關系

當考慮導體圓盤繞固定軸以角速度ω旋轉切割磁感線時,建立如圖4所示的坐標關系,則存在

圖4 導體圓盤繞定軸旋轉時的坐標關系

此時對方程(12)和方程(13)進行求解可以得到

通過式(16)以及阻力矩滿足的能量關系Tb=P/ω可以得到導體圓盤受到磁場的阻止力矩為

由式(21)可以看出在其他量固定的情況下,導體盤受到的電磁制動力矩與圓盤轉動速度ω正相關,即圓盤的轉速越大,所受的電磁制動力矩越大,隨著制動力矩的作用,轉速減小,制動力矩隨著減小,直至導體圓盤停止轉動。在固定初始轉速ω和其他參量時,改變永磁體與導體圓盤中心的距離d,電磁制動力矩會存在一個極大值Tbmax。

在不考慮導體圓盤轉動減速時存在的內摩擦力矩時,其所受到的總制動力矩為

I為導體圓盤的轉動慣量。

2 實驗驗證與討論

2.1 實驗裝置

我們按著圖3所示的簡化模型,對導體圓盤在磁場中的運動情況進行了相關實驗驗證。實驗中所用裝置如圖5所示,其中導體圓盤裝置采用市場上購買的簡易單軸陀螺儀,圓盤材質為黃銅,電導率取σ=5.7×107S/m[7],厚度δ=0.769cm,半徑a=2.45cm,質量m=133.45g,經固定后,黃銅圓盤可繞豎直的中心軸自由旋轉。所用永磁體直徑 為2R=0.95cm,厚度h=0.48cm。利用高斯計(HC803)對磁場進行測量。采用高速相機(Photron FASTCAM Mini UX50,2000fps)對導體圓盤的運動進行拍攝。

圖5 實驗裝置圖

2.2 實驗結果與討論

2.2.1 內摩擦力矩修正

實驗中觀測到如果給定陀螺儀一個初始轉速,在無外界磁場時,轉速也會減慢,需考慮陀螺儀內摩擦力矩的作用。在無外磁場時,式(22)可以表示為

由參考文獻[8]可知,對于定軸轉動體系,在轉動過程中所受的阻力矩主要來自于轉軸軸承處的摩擦力矩和體系所受到的空氣阻力矩,且二者均與角速度ω有關,即Tf=Tf(ω)。考慮到本實驗中所用單軸陀螺儀的結構簡單且幾何尺寸較小,故將Tf在較短時間內近似作為常量處理,則對式(23)兩邊積分可得

實驗中,我們先移去永磁體,直接測量導體圓盤的自然減速過程,得到如圖6所示的轉速ω的衰減數據。

圖6 內摩擦力矩作用下的轉速衰減

導體圓盤的轉動慣量I=ma2=4.005×10-5kg·m2,由轉速衰減的實驗數據擬合得到衰減系數為1.136rad/s2,可得陀螺儀的內摩擦力矩Tf=4.55×10-5N·m。

考慮了內摩擦力矩之后,在有外界磁場時,式(22)可以表示為

解此方程可以得到

其中

2.2.2 磁場的修正

當我們使用特斯拉計測量圖4中圓形陰影區域內的磁場時,發現磁感應強度在中心部分近似保持均勻,隨著距離中心O越來越遠,磁感應強度的衰減越明顯。由磁偶極子的磁感應強度衰減規律[6]以及實際測量中所用特斯拉計探頭的大小(2～3mm),我們以圖7所示磁場分布對導體圓盤上的磁場進行修正。即當距圓心O的距離r≤r0時,B=B0,當距中心距離r＞r0時,B(r)∝B0/r3,r0=1.5mm。對z向磁場進行修正后,式(27)變為:

圖7 磁場衰減示意圖

2.2.3 實驗探究

由前面的討論可知,導體圓盤在磁場制動力矩和內摩擦力矩的共同作用下,轉速變化遵循指數衰減規律,衰減的快慢完全由式(26)指數項系數k來決定,此時內摩擦力矩項可視為常數項,則導體圓盤轉速的變化可簡化為

其中衰減系數β=k/I。由式(28)可知,k與導體圓盤和永磁體軸心間距離d近似成二次方關系,其反映磁場制動力矩Tb與d間的變化關系,衰減系數β亦遵循此規律。

實驗上通過固定永磁體與導體圓盤間的豎直距離b,測得導體圓盤表面磁場區域中心處磁場大小為Bz0=0.13T,來探究導體圓盤的轉速ω以及衰減系數β隨著d的變化規律。在盡量保證初始轉速一致的情況下,得到d=0.88,1.00,1.25,1.60,1.75cm 時,導體圓盤的轉速變化數據如圖8所示。

圖8 永磁體和導體圓盤中心距離d 變化時圓盤轉速變化情況

利用式(29)對圖8中實驗數據進行擬合得到衰減系數β隨著軸心距離d的變化關系如圖9所示,其中灰色實線為由式(28)得到的理論曲線?？梢钥吹剿脤嶒灁祿c理論預期變化趨勢一致,但在軸心距離d較小和較大時數據有較大偏差。我們推測可能是導體圓盤的質心不在軸心,導致其實際轉動慣量I大于理論的ma2/2,使得實際的衰減系數β=k/I會小于理論計算值。而在d較小時,由于其初始轉速較小,且磁場作用的阻尼衰減作用比d較大時小,此時重力矩作用比較明顯,使得實際衰減系數偏大。

圖9 導體圓盤轉速的衰減系數β 隨軸心距離d 的變化實驗數據與理論值對比

由式(27)可知,當外界磁場Bz已知時,在特定的位置d處,理論上可以預測導體圓盤轉速的衰減速率。反之,當外界磁場未知時,可根據圓盤轉速的衰減速率來反推磁場的大小,從而可以得到一個“陀螺儀特斯拉計”。即存在

其中I為導體圓盤的轉動慣量,C為與導體圓盤材質和尺寸、永磁體尺寸以及兩者軸心間距離相關的量為:C=利用此原理,我們固定d=1.45cm,利用式(30)得到此時由衰減系數反推磁場大小的理論曲線(圖10中灰色實線所示),與用特斯拉計測量得到的磁場大小進行對比,結果如圖10所示。實驗數據與理論預期有較好的一致性。

圖10 由衰減系數推算得到的磁場強度Bz0

3 結語

本文對第32屆IYPT 賽題中第12 題“陀螺儀特斯拉計”進行了探究。通過理論分析將磁場中陀螺儀的減速問題簡化為導體圓盤在磁場中的減速,并對模型的麥克斯韋方程進行了求解,通過解體系的常微分方程得到導體圓盤受到的電磁制動力矩及角速度變化,并對方程的解進行了內摩擦力矩和磁場的修正。通過改變軸心距離d,實驗測得導體圓盤的轉速衰減系數,并同理論進行比較。最后利用磁場大小與轉速衰減系數間的對應關系將裝置作為“陀螺儀特斯拉計”對永磁體的磁場進行了測量,實驗結果與理論符合的較好。