光纖相控陣稀疏排布優化算法對比*

李明飛 袁梓豪 劉院省 鄧意成 王學鋒

1) (北京航天控制儀器研究所, 北京 100039)

2) (中國航天科技集團有限公司量子工程研究中心, 北京 100094)

1 引 言

天線陣列技術已經被廣泛應用于各個領域, 如微波無線通信、相控雷達系統和衛星通信[1]等, 而光波段天線陣列則被用于高帶寬激光通信、激光相干合束[2]、光學相控陣雷達[3-5]和關聯成像技術[6-10]等方面.在天線陣列優化技術中, 基于稀疏排布的天線陣列技術在近年來引起了學者們的廣泛關注[11-18].特別是隨著光纖激光技術的成熟, 基于高斯核模型的相干光束陣列合成技術日趨成熟[19], 人們開始關注光纖陣列及其在激光相干合束、激光雷達、激光通信和光學相控陣雷達等方面的應用價值.例如, 為了得到高功率輸出的激光,多束光纖激光保持相同相位即可實現強激光的合成, 研究優化提升主光束能量的技術包括: 優化光纖陣列的排布方式增加主光束能量; 優化各光束光強分布增加主光束能量; 優化各光束相位, 進行閉環控制增加主光束能量等[2].由于稀疏布陣的微波雷達技術的研究文獻較多[11-18], 并且研究對象為電磁場及其波動性, 與光波的研究對象一致, 故光學相控陣列的研究借鑒了微波的研究方法.在研究光纖陣列排布方式時, 也引入了微波中主瓣與旁瓣的概念, 一般將光學干涉場強度主極大峰稱為主瓣, 非主極大峰稱為旁瓣, 故對光學陣列的優化問題簡化為增大主瓣和抑制旁瓣的優化問題, 因此可參考微波天線陣列采用的優化技術.

本文主要研究光纖激光陣列配置方式的優化,對光纖激光陣列的干涉場和對應排布方式進行了理論建模, 把這個模型作為優化的目標函數研究最佳光纖陣列配置方式.研究方法采用遺傳算法和粒子群算法進行對比和交叉驗證, 一方面從實際效果討論算法的局限性, 為解決同類問題給出了啟發,另一方面獲得了具有實用價值的排布結果, 可指導實際光纖相控陣的設計.

不同于文獻[2]采用六邊形排布, 通過優化相位來實現主瓣能量最大, 本文采用隨機排布優化方式.文獻[3]研究了基于硅基工藝的陣列設計, 約束條件為20 倍波長以內且為環形排布, 本文則研究20 倍波長以外的隨機排布.文獻[6,7]提出了矩形陣列排布優化方法, 但未討論詳細約束條件和物理模型與仿真參數的設定, 本文在建模過程加入了數值仿真時出現的帶寬限制分析及相應物理近似過程參數, 陣列模型采用多環同心圓點陣模型, 從而從根本上避免了矩形點陣模型無法同時消除X和Y軸兩個方向周期性的不足.文獻[9]研究方法為矩形陣列, 未對光纖排布進行優化.綜上所述,本文在建模過程加入了數值仿真時出現的帶寬限制分析及相應的物理近似過程參數, 優化模型約束條件為同心環點陣隨機抽樣排布, 且利用兩種不同優化算法進行了研究, 具有創新性和實用性.

2 光纖相控陣光場理論模型

2.1 光纖陣列遠場分布模型

設陣列由N束光纖激光束構成, 分布在直角坐標系x-y平面, 如圖1 所示, 光束通過傳輸到達觀測平面ξ-η.由于光纖激光器采用的是單模光纖輸出, 其纖芯半徑為r0, 主模式為LP01模(linear polarized, LP), 可通過Marcuse 模場半徑的經驗公式計算光纖的模場直徑ω0.研究表明, 單模光纖的模場半徑和LP01模在一定條件下可用高斯光束精確近似, 光纖模場可按高斯光束建模, 光腰半徑ω0等于模場半徑r0, 因此第n根光纖產生的光場En可表示為

高斯光束的等相面曲率半徑R(z)表達式為

高 斯 光 束 初 始 相 位φn(z)=tan-1(λz/) , 波 矢k=2π/λ.

圖1 光纖陣列及遠場分布示意圖Fig.1.Diagrammatic sketch of the fiber array and its farfield intensity.

根據(1)式可知光場在不同坐標(x,y)和距離z的空間分布.當z= 0 時, 可得到光纖端面的光場分布:

其中,φn(t) 為某時刻第n束光纖光場的相位, 該結果與文獻[20]中相同.當z＞ 0 時, 遠場區域的范圍應滿足z?πω0/λ.根據實際應用中具體的參數,單模光纖模場半徑ω0= 5 μm, 波長λ= 1.550 μm,計算得知當z?10 m 時, 可按遠場條件進行光場近似,N束光纖從x-y平面傳播到ξ-η平面的光強分布可表示為

其中, Δxmn=xm-xn, Δymn=ym-yn, 第一項I0(ξ,η)表達式為

第二項Imn(Δxmn,Δymn) 為

此處P(x,y) 為各光纖的光瞳函數, 一般為圓域函數.各光纖束的波前相位φn(t) 隨時間變化, 可通過相位控制使得相位差為零.當光學相控陣為非高斯分布的點光源時, (4)式僅存在與時間φn(t) 有關的位相變化, 振幅變為常數項且與空間坐標(x,y)的分布無關, 相應地(6)式變為常數, 強度為均勻分布.

不同于文獻[6,7,9,20]中方法, 本文提出(5)式可通過解析延拓, 采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)實現菲涅耳衍射積分的計算,從而提升計算速度.(5)式在空間上解析延拓后變為傅里葉變換形式:

雖然(8)式僅在光纖束按規則形狀排布時, 例如矩形點陣, 存在解析式, 但可利用數值表達式通過計算機仿真來實現任意排布陣列干涉圖案研究.值得注意的是, (8)式光強分布與光場歸一化的二階強度關聯函數形式相一致, 可用于對二階強度關聯成像中光場周期性的抑制進行優化.

2.2 采樣數M 與帶寬B 分析

在數值仿真光場的計算過程中, 不可避免地需要將理論公式離散化, 故導致出現采樣帶寬的問題, 該問題因與實際需求聯系密切而變得較為復雜.令光源平面取樣寬度為S0, 取樣數為M×M,采樣間距 Δx0=Δy0=S0/M, 在實際計算過程中(8)式一般采用離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT):

其中,p,q,m,n=1,2,3,··· ,M; ( Δξ,Δη) 代表DFT后觀測平面的空域取樣間隔.

根據Parseval 定理, FFT 變換前后空域與頻域能量守恒, 實際應用中的有效帶寬B等于功率譜積分后98%的能量對應的帶寬B.因此, (4)式中光纖輸出模式為高斯光束, 采樣時有效帶寬為考慮到采用單模光纖模場半徑ω0= 5 μm, 光源空間采樣約束為

綜合考慮(9)式與(10)式, 設定觀測距離L=1 m 時, 可計算一維空間M的最小取值:

可見在高斯光源的約束下, 源平面和觀測平面采樣數M非常龐大, 普通計算機難以嚴格滿足采樣條件.本文采樣間隔設定為 Δx0=Δy0=2 μm,嚴格滿足采樣帶寬條件,M取值則按文獻[21]所用方法, 一個維度采樣點數M=8500 , 可以滿足對光場近似的數值仿真與分析要求.

3 光纖排布數值仿真

3.1 光纖排布約束條件

光纖排布約束條件主要有光纖間距約束、光纖束尺寸約束和光纖陣列配置形狀約束.光纖按等間距排布時, 根據光學衍射理論, 在觀察面z處將觀測到光強出現周期旁瓣, 其旁瓣間隔G與光纖間距d的關系為G=λz/d.按規則排布時, 光纖間距d與觀測面光強周期旁瓣G的分布具有線性關系.同理, 光纖不按規則形狀排列時, 光纖間距d為變量, 相應地, 距離為z處的光強旁瓣分布也呈現不規則形狀分布.光纖的纖芯、包層決定光纖間距d的物理距離設置.光纖陣列的整體尺寸作為光源尺寸S0, 影響著觀察面z處的光場主瓣與旁瓣強度分布寬度W, 二者關系為W=λz/S0.

規則形狀點陣排列方式主要包括圓形排列、四邊形排列和多邊形排列.文獻[6]報道了利用遺傳算法優化隨機排列光源的方案并實驗驗證了結果的有效性, 但采用方形點陣作為坐標基座導致x與y方向存在耦合, 優化后y方向仍存在周期性旁瓣, 優化效果不理想.此外, 四邊形排列僅適用于優化光束數目N滿足為整數的情況.圓形排列方式因具有先天的對稱性, 在微波天線稀疏排布優化時常被采用, 有望解決上述問題.本文采用圓形排布方式作為坐標優化約束, 可有效避免x與y方向不對稱的問題, 并且優化的光束數目不受為整數的限制.

3.2 光纖排布目標函數

光纖排布的優化目標函數根據約束條件和約束參數建立, 本文采用光場主瓣值最大, 旁瓣值相對主瓣達到最小的原則建立目標函數, 提出了一種采用多環同心圓點陣作為坐標基座生成坐標排布的集合, 從集合中隨機選取N個坐標作為初始排布,由于集合全集坐標具有對稱性, 確保了初始坐標選取的均勻性并解決了x與y方向旁瓣的不對稱問題和優化的光束數目N不受為整數的限制問題.最終約束條件變為光纖最小間距d和排布最大空間半徑R0, 二者決定優化集合的大小.

圖2 給出了坐標排布集合U, 優化時從集合中選取子集UN ?U.圖2 中空心圓表示全集坐標,實心圓表示初始化的N束光纖坐標位置.圖3 給出了圖2 中光纖按單環排布方式對應坐標產生的光場強度分布, 為顯示旁瓣細節采用了對光強取對數的方式調節對比度, 圖3 中右側強度條為對光強取對數后的結果.與文獻[20]中圓環的光場分布對比, 仿真結果一致, 表明參數設置合理.

圖2 光纖的配置集合與單環排布方式Fig.2.Fiber configuration set and single ring configuration.

圖3 光纖單環排布產生的光場強度分布Fig.3.Far-field intensity distribution of the single ring configuration.

由于光場強度分布進行了歸一化處理, 故主瓣最大值恒等于1, 優化的目標函數變為優化除(0, 0)鄰域對應的寬度為W的主峰外尋找旁瓣峰值Psl的最小值, 目標函數表示為

定義光纖排布集合第m個圓環的半徑為Rm,設每個圓環放置K個光纖, 則圓環上各光纖坐標間隔dm與圓環半徑和每環坐標點數目K有如下關系:

根據(14)式, 可定義光纖坐標最小間隔dmin=min{dm,ΔR}, 其 中 ΔR=Rm-Rm-1.在 參 數 設計時, 只要確保坐標空間物理間隔dmin大于光纖實際的物理尺寸, 就可滿足此約束條件, 并利用該條件來約束優化過程.

3.3 光纖排布優化算法

如圖2 所示, 取N= 32, 則總的有效排布數, 樣本數太大, 難以窮盡.從上述樣本中尋求最優解的問題, 采用傳統的枚舉法顯然不切實際, 而遺傳算法和粒子群算法正是解決該類問題的重要且有效的手段.

3.3.1 遺傳算法優化

遺傳算法(genetic algorithm, GA)主要功能是尋找最優化和搜索問題的最優解, 最早是由美國的 Holland 教授于1975 年提出的, 在諸多領域被廣泛應用, 是較為成熟的技術.本文設定光源排布尺寸S0=6000 μm 和光纖最小間隔dmin=260 μm,從而可確定集合U的元素由9 個間隔不小于dmin的同心環坐標點構成, 元素個數為279.本文利用遺傳算法的思想, 具體的執行步驟如圖4 所示, 隨機從集合U中抽取32 個坐標點重復Npop次作為初始種群, 計算種群峰值旁瓣比值(peak-sidelobe ratio, PSR), 將種群按PSR 值從小到大排序后進行染 色 體 兩 兩交 叉, 并 抽取Mmute個 染 色 體 進行變異.

圖4 遺傳算法的工作流程Fig.4.Flow chart of the genetic algorithm.

本文分別選取種群數Npop= 10, 20, 50 進行優化, 并固定染色體變異數量Mmute=3.種群坐標選取方法采用隨機從集合中抽取的方法, 每次抽取N= 32 個坐標, 重復10 次、20 次和50 次隨機過程分別得到10 組、20 組和50 組(x,y)坐標集合, 各組均滿足Upop?U, 遺傳代數Ng=3000.

優化結果如圖5 所示, 在相同遺傳代數的情況下, 種群數量并非越少或者越大越好.當Npop= 10和50 時, 3000 代對應的峰值旁瓣比PSR 在0.280附近, 二者區別不大; 然而二者的最優解與Npop=20 時相差較大, 顯然種群數量為Npop= 20 時, 得到的PSR 優于0.270, 是三組種群中的最優解.

圖5 種群數分別為 N pop = 10, 20, 50 時遺傳算法的優化結果Fig.5.Genetic algorithm optimized results with populations N pop = 10, 20, 50.

3.3.2 粒子群算法優化

粒子群優化(particle swarm optimization, PSO)是一種進化計算技術, 1995 年由Eberhart 博士和Shi 博士提出, 源于對鳥群捕食行為的研究.鳥群覓食中每個個體知道其歷史最好的值pbest, 知曉整個種群的歷史最優值gbest.每個個體將根據兩條線索修正自身位置信息, 即當前位置與歷史最優值pbest的距離和當前位置與種群歷史最優值gbest的距離.PSO 算法兼顧了靈活性和魯棒性以及并行運算的特點, 特別是對于不可微分的函數求解明顯優于傳統方法.不同于遺傳算法或模擬退火等算法,粒子群優化算法一般不會陷入局部最優解.

盡管如此, 當目標函數所需消耗的計算資源過于龐大時, 例如本文情況, 粒子群算法難于實現并行計算, 所以實際運行效率方面, 粒子群算法的收斂速度與遺傳算法相比并無明顯優勢.本文所采用的粒子群算法如下:

其中, s ign(r3) 作為函數定義如下:

圖6 粒子群算法工作流程圖Fig.6.Flow chart of the particle swarm optimization.

按圖6 中粒子群算法工作流程, 隨機從集合中抽取32 個坐標點重復Npop次作為初始種群, 計算種群中每一組染色體的峰值旁瓣比PSR 值, 找到并更新整個種群中的當前最優個體pbest, 當前最差個體pworst和種群歷史最優個體gbest, 用于計算速度值重復迭代計算K次, 本文統一取K=3000, 與3.3.1 節遺傳算法迭代次數一致, 輸出優化的坐標分布結果gbest對應的坐標元素集合.按圖6流程, 分別取Npop= 10, 20, 50 時, 得到的PSR 優化結果如圖7 所示.經3000 次迭代后PSR 值分別收斂于0.30, 0.29 和0.27 附近, 最優的PSR 值隨種群數量增大而相應地依次減小.從圖7 可知, 不同于GA, 在相同迭代次數下, PSO 算法下降的速度與種群數量正向相關, 即初始化的種群越大, 收斂速度越快; 種群數量越大, 得到的最優值越小.這一結論是與粒子群的核心運行機制密切相關的,可理解為由于粒子群算法的并行特性, 種群數量越大則搜索的樣本數越多, 并且其總是按全局最優的方向前進, 故得到上述結論與理論預期基本一致.

圖7 種群數分別為 N pop = 10, 20, 50 時粒子群算法的優化結果Fig.7.Particle swarm optimization algorithm results with populations N pop = 10, 20, 50.

4 優化算法對比分析

通過第3 節分析可知, 在相同遺傳代數條件下, GA 算法對種群數量的選取較為敏感, 在Npop= 10, 50 時, 相對于Npop= 20, 二者均陷入了局部最優, PSO 算法隨種群數量增加下降速度增加, 優化的PSR 減小, 但帶來了計算量的增加.考慮到算法的效率和優化結果, GA 算法是目前較優的選擇.

從圖5 和圖7 對比來看, GA 受初始種群數量影響較大, 本文中初始種群Npop= 20 時能夠得到PSR 優于0.270 的效果; 對于PSO 算法, 初始種群Npop= 50 時, 得到最佳優化效果PSR 接近0.275,高于遺傳算法的PSR.可見GA 在該問題優化方面具有一定的優勢, 采用GA 時需考慮選取最優種群的問題, 而PSO 算法只需要增大樣本數即可,當前問題適合用遺傳算法求解.若優化的目標函數適用于并行計算, 那么增大種群數量不影響計算效率, 可優先選擇粒子群算法.

針對GA 對光纖陣列排布進行優化后帶來的改善情況, 圖8 給出了優化前后的光場強度變化.值得注意的是, 圖8(a)是隨機排列的光場, 極大程度地消除了柵瓣效應.對比圖8(a),(b)光纖陣列排布前后光場的強度分布情況, 可發現旁瓣值的分布周期性進一步減弱, 旁瓣高度進一步降低.在圖8(a)中, 對光場X軸和Y軸一維強度分布進行投影, 分別顯示在x-z平面和y-z平面, 可看出優化前光場PSR 大于0.30, 經優化后PSR 可優于0.27.對光強x-y平面的分布在z= —0.25 平面進行了投影.圖8 中z軸代表強度旁瓣峰值, 可看出圖8(a)中旁瓣局部有較大旁瓣峰值, 相比之下圖8(b)中旁瓣峰值分布無論X軸還是Y軸方向均無明顯旁瓣, 其值在z= —0.25 的x-y平面分布相對均勻, 證明了優化算法的有效性.

圖8 優化前光場強度分布與遺傳算法優化后光場強度分布, N pop = 20Fig.8.Far field intensity distribution before and after the genetic algorithm optimized results with the population Npop =20.

上述結果表明, 由于GA 和PSO 算法優化過程均具有隨機性, 單一采用哪種算法均不足以全面判斷算法是否為全局最優.在隨機排列和樣本數巨大(1042)的條件下, 現有計算資源有限, 最終的真值無法利用解析函數或枚舉的方式知曉, 目前較為可靠的手段是采用在迭代次數上截斷, 并采用兩種以上算法交叉驗證結果有效性的方式來進行光纖配置.

5 結 論

本文從物理模型出發, 建立了基于同心圓環形點陣集合的光學相控陣天線布陣理論模型, 提出了利用傅里葉變換方法快速實現干涉場分布的理論,討論了在離散采樣時數值仿真需關注的采樣帶寬和采樣數目問題, 實現了快速實現多光束干涉場數值仿真, 有效解決了同類方法存在X,Y軸方向坐標優化效果不一致的問題; 對比研究了兩種優化光學相控陣天線配置的優化算法: 遺傳算法和粒子群優化算法, 實現了不同種群數量的遺傳算法和粒子群算法的優化; 對比分析了兩種算法在優化過程中的收斂速度和優化結果, 得到了峰值旁瓣比PSR優于0.270 的光纖排布方案.本文所提出的方法有望用于實際的光學相控陣天線排布中, 指導天線主瓣降低旁瓣能量和非周期性分布的優化設計; 研究模型對類似不可微目標函數的優化問題有一定參考價值.