兩體相互作用費米系統在自旋軌道耦合和塞曼場中的基態轉變*

陳星 薛瀟博 張升康 馬余全 費鵬 姜元 葛軍?

1) (北京無線電計量測試研究所, 計量與校準重點實驗室, 北京 100854)

2) (北京信息科技大學理學院, 北京 100192)

1 引 言

自旋軌道耦合是粒子自旋內稟自由度和軌道自由度之間的相互作用, 在原子分子物理、量子光學和凝聚態物理中誘導產生了許多重要的物理現象[1-3].冷原子系統可以實現原子及其相互作用的精確操控, 是研究凝聚態系統及復雜物理系統的理想平臺.雖然原子是中性的且沒有電極和磁極, 但仍可利用激光與原子的相互作用, 在超冷原子中實現人造自旋軌道耦合, 最早美國國家標準與技術研究院Speilman 研究組[4]在超冷玻色氣體中實現了一維自旋軌道耦合, 山西大學Zhang 研究組[5]和美國麻省理工學院Zwierlein 研究組[6]均實現了一維自旋軌道耦合費米氣體, 山西大學Zhang 研究組[7]進一步實現了二維自旋軌道耦合費米氣體, 中國科學技術大學的研究組[8]在超冷玻色氣體中實現了二維自旋軌道耦合, 這些突破為研究自旋軌道耦合系統提供了新的思路.

自旋軌道耦合系統的研究展現了許多新的物理現象[9-33].研究發現, 自旋軌道耦合費米系統有很多新奇的量子態, 例如拓撲超流態、Fulde-Ferell(FF)態等[9-16].考慮塞曼場時, 自旋軌道耦合和塞曼場共同作用誘導產生了非平庸的拓撲相[17-22].少體系統的研究為多體系統探索提供了直觀的物理圖像[23-33].二維自旋軌道耦合兩體系統研究預示了多體系統可能出現FF 配對態[23].Rashba 自旋軌道耦合兩體精確解揭示了一種新的束縛態Rashbon, 在弱相互作用下仍能誘導粒子從弱配對態到玻色愛因斯坦凝聚態轉變[24,25].在強相互作用下, 諧振子阱中自旋軌道耦合兩體精確解發現反宇稱態是玻色系統基態的重要組成部分[26]等.該類研究為進一步探索多體系統物理現象奠定了基礎.

本文研究了在一維環阱中, 具有自旋軌道耦合和塞曼場的兩體相互作用費米模型.在冷原子系統中, 通過激光耦合173Yb 原子的兩個超精細基態,實現了有效的一維自旋軌道耦合和塞曼相互作用的兩分量費米系統[34].同時, 通過在另外兩個方向上施加強勢阱囚禁可以得到有效的一維原子相互作用[35].對于兩體問題, 通常可以將兩原子坐標轉換為質心和相對坐標.質心運動不依賴于粒子間相互作用, 質心動量為守恒量, 可以在不同質心動量空間分析能譜.通過將質心和相對運動分開, 許多兩體系統能夠被約化為單體問題[36].

本文研究的兩體費米系統, 由于相對運動與質心運動耦合使得精確求解更為困難.本文利用平面波展開法, 獲得了解析的本征能量和本征態, 實現了兩體費米系統隨著自旋軌道耦合、塞曼相互作用和接觸相互作用系數變化時物理性質的精確研究.

2 費米子模型

在環阱中, 考慮一個具有自旋軌道耦合、塞曼相互作用和粒子間接觸相互作用的費米系統, 哈密頓量表示為

兩體費米系統的波函數表示為

將哈密頓量(1)和波函數(2)代入薛定諤方程兩體費米系統的方程約化為Hψ(x1,x2)=Eψ(x1,x2) , 其中,

其中,σ和表示自 旋↑或↓且;ψ(x1,x2)=(ψ↑↑(x1,x2),ψ↑↓(x1,x2),ψ↓↑(x1,x2),ψ↓↓(x1,x2))T.

在環阱中, 兩體費米系統的波函數需滿足周期性邊界條件, 表示為

由于自旋軌道耦合和塞曼相互作用, 自旋分量不再是好量子數, 不能在某一個自旋分量空間僅求解波函數的坐標部分, 而需要同時考慮自旋分量與坐標之間的耦合, 考慮所有自旋態時的本征波函數.

3 質心和相對坐標空間

引 入 質 心 坐 標X=(x1+x2)/2 和 相 對 坐 標x=x1-x2, 哈密頓量(3)重新表示為

將本征波函數用平面波展開, 表示為

其中A是歸一化系數,K為總動量,k是相對動量的平面波分量.取σ和σ′表示自旋↑或↓, 波函數每一個分量ψσσ′(K,k) 表示不同自旋態時平面波的展開系數.通過求解薛定諤方程, 獲得ψσσ′(K,k) 的解析表達式, 以下將簡寫為.

求解波函數之前, 首先通過周期性邊界條件獲得波函數中K和k的范圍.將ψ(X,x) 中的X和x變換到x1,x2, 獲得波函數ψ(x1,x2) 表達式, 依據周期性邊界條件(4)式, 總動量K和相對動量分量k需滿足

(6)式中的K和k分別用Kn和表示, 其中n和n′是整數,n表示了總動量的量子數, 而n′描述了相對動量分量的量子數.從(7b)式得出,與總動量量子數n的奇偶有關, 是一系列離散的數值.對于給定的n, 即給定總動量Kn, 相應的本征能量E表示為En.

其中

從ψs的方程式(9a)推得本征能量的自洽方程,表示為

通過數值求解(11)式的自洽方程, 獲得了兩體費米模型精確的本征能量En.由方程(11)可得出,本征能量關于±Kn是簡并的, 以下分析以Kn ＞0為代表.將解出的本征能量代入方程(9a)和方程(9b)中, 獲得精確的ψs和ψa.同時,ψ↑↓和ψ↓↑通過ψs和ψa推出, 另外兩個分量ψ↑↑和ψ↓↓通過ψ↑↓和ψ↓↑獲得, 歸一化后得到精確的波函數.通過精確的本征能量和波函數, 實現了兩體費米系統物理特性的精確研究.

4 結果與討論

針對不同的自旋軌道耦合、塞曼相互作用和接觸相互作用系數, 本文分析了兩體費米系統的基態能譜和動量分布.取 ? =1 ,m=1 和L=1.總動量Kn是好量子數, 可以用n表征.當n=0 和n=1 ,總動量分別為K0=0 和K1=2π.

首先, 考慮僅有接觸相互作用的費米系統, 即當α=0 和β=0 時, 本征能量的自洽方程(11)式約化為

通過簡化得到

根據該式可得

考慮僅具有自旋軌道耦合的費米相互作用系統.即當β=0 , 本征能量的自洽方程(11)式約化為

由(14)式可得, 當g→0 , 本征能量約化為單粒子的本征能量.給定g=1 , 圖1 給出了當n=0 時, 在總動量K0=0 空間, 最低能量E0隨著自旋軌道耦合系數α變化的圖像.隨著α的增大, 本征能量逐漸變小.圖1 中的插圖給出了能量E0+α2隨著α增加而周期性的變化.在無塞曼相互作用情況下, 研究發現自旋軌道耦合項通過幺正變換, 能夠變換到周期性邊界條件中,展現出周期性地依賴于自旋軌道耦合系數[37].

考慮具有自旋軌道耦合和塞曼相互作用的費米系統, 對于不同的Kn, 本征能量En通過數值求解自洽方程(11)式獲得.特別地, 對于K0=0 , 本征能量的自洽方程(11)式可以約化為

從該式可得, 當相互作用g→0 時, 本征能量趨于

圖1 最低能量 E 0 隨著自旋軌道耦合參量 α的變化.插圖為 E 0+α2 隨 α 的變化, n =0 , g =1 ,β =0Fig.1.The lowest energy E 0 versus spin-orbit coupling parameter α.Insert is E 0+α2 versus α.n =0 , g =1 ,β =0.

圖2 給出了在較弱相互作用g=1 和α=1.2π條件下, 隨著塞曼相互作用系數β變化, 在不同總動量Kn空間中最低能量En變化的圖像.如圖2 所示, 隨著塞曼相互作用β增大, 能量En逐漸減小,在兩個總動量空間的最低能級間發生了能級交叉.當β較小時,E0＜E1, 如取β=π 時, 兩體費米系統基態能量為E0, 基態的總動量為K0.當β足夠大時, 相反地,E1＜E0, 如取β=2π 時,E1＜E0, 兩體費米系統基態能量為E1, 基態的總動量為K1.綜上所述, 隨著β的增加, 兩體費米系統的基態從K0轉移至K1空間.通過增加塞曼相互作用強度,系統基態從質心靜止轉移到了質心運動的狀態.

圖2 在弱相互作用條件下最低能量 E 0 和 E 1 隨塞曼系數β 的變化, g =1 ,α=1.2πFig.2.The lowest energies E 0 and E 1 versus Zeeman interaction parameter β in the weak interaction condition.g =1 , α =1.2π.

圖3 能量 E 0 和 E 1 隨著接觸相互作用g 的變化, α =1.2π (a) β =0 ; (b) β =π ; (c)β =2πFig.3.The energies E 0 and E 1 versus contact interaction parameter g, α =1.2π : (a) β =0 ; (b) β =π ; (c) β =2π.

圖3 給出了在任意相互作用強度g下本征能量En的變化.橫坐標表示費米子間的相互作用系數, 從負到正表示從吸引相互作用到排斥相互作用.給定自旋軌道耦合系數α=1.2π , 圖3(a)—圖3(c)對比了不同塞曼相互作用強度β時, 能量En隨粒子間相互作用系數g的變化.圖3(a)呈現了在無塞曼相互作用(β=0 )情況下, 能量E0總是小于E1, 即基態的總動量始終為零.考慮塞曼相互作用時, 圖3(b)和圖3(c)均呈現了能級交叉現象.在圖3(b)中, 當塞曼相互作用系數β=π 時, 在強吸引相互作用下基態能量為E0, 強排斥下為E1, 而在圖2 中, 相同β時在弱排斥作用下基態能量為E0,與強排斥下不同.類似地, 圖3(c)呈現了β=2π 時本征能量的圖像, 強吸引下基態能量為E0, 強排斥下為E1, 對比圖2 中在弱排斥作用下基態能量仍為E1.綜上所述, 具有塞曼相互作用時, 兩體費米系統能夠在強相互作用下呈現和弱相互作用下不同的基態特性.隨著相互作用從吸引到排斥轉變,具有塞曼相互作用的費米系統基態能量從E0轉變到E1, 基態總動量從零變到有限值.

為了直觀理解基態的性質, 我們討論了無接觸相互作用(g=0 )時, 單費米子的本征能量和本征態.單粒子哈密頓量為不考慮自旋軌道耦合和塞曼相互作用(α=0 ,β=0 )時, 單費米子能譜不依賴于自旋, 基態動量p0=0.兩個費米子分別占據不同自旋態的最低能級, 此時總動量為零.

僅有自旋軌道耦合(β=0 )系統, 單粒子本征能量為, 自旋軌道耦合項是動量p0的線性項,←和→代表σx的自旋態.在自由空間 時, 單 粒 子 基 態 從p0=0 轉 變 到 有 限 動 量 值p0,±=±α, 符號取決于自旋分量.同時改變動量和自旋 (p0→-p0和σx →-σx), 哈密頓量保持不變,系統具有Z2對稱性, 此時系統基態為兩個簡并態,動量值相等但符號相反.因此, 當自旋軌道耦合占主導時, 兩費米子占據兩個簡并基態, 總動量為零.在周期性邊界條件下, 動量為一系列離散值p0=2πn0,n0為整數, 此時基態動量取與±α最相近 的 值, 即|p0±α|最 小.當-π+2πn0＜α ＜π+2πn0, 基 態 相 應 的 動 量 為p0,±=±2πn0.當α=0.2π , 則有n0=0 , 基態為p0=0.當α=1.2π ,則有n0=1 , 基態為p0,±=±2π.

圖4 單粒子能級e—和e+ (a) α =0.2π , β =0.1π ; (b) α =1.2π , β =π ; (c) α =1.2π ,β =2πFig.4.The single particle eigenenergies with two branches e— and e+: (a) α =0.2π , β =0.1π ; (b) α =1.2π , β =π ; (c) α =1.2π ,β =2π.

最后, 考慮具有塞曼相互作用和自旋軌道耦合的費米子系統.僅考慮塞曼相互作用(α=0 )時,自旋向上和自旋向下的單粒子能譜發生劈裂, 產生能隙, 且能隙的大小與塞曼相互作用的系數β有關.當β為正時, 自旋向下的費米子能級降低, 且最低能級仍處于p0=0 , 而自旋向上的能級升高, 多體費米系統將先填充自旋向下的費米子能級, 再填充自旋向上的能級, 因此多體費米系統基態的總動量由所填充的能級決定.考慮兩費米子基態, 一個 費 米 子 將 填 充 最 低 能 級p0=0 , 另 一 個 填 充的態, 此時總動量為有限值.當塞曼效應占主導時, 兩費米子的總動量為有限值.考慮塞曼相互作用和自旋軌道耦合作用, 單粒子本征能量為在自由空間時, 當α2＞β時, 自旋軌道耦合效應占主導作用時, 單粒子基態是簡并的, 相應的動量為(β/α)2].隨著β的增大, 兩個極小值p0,±逐漸靠近,當β=α2時, 這兩個極小值融合為單個最小值p0=0.當β＞α2時, 塞曼相互作用占主導作用, 基態p0=0 , 相應的基態能量為在周期性邊界條件下, 類似地, 動量僅能取離散值p0= 2 πn0.當自旋軌道耦合占主導作用時, 需滿足條件, 兩體費米子能夠處于簡并基態, 此時基態對應的動量為p0,±=±2πn0.當塞曼相互作用占主導時, 則有基態動量為p0=0 , 次低能級的動量例如, 當n0=1 時, 依據推出β＞α2-π2, 令βc=α2-π2.當β＜βc, 自旋軌道耦合為主導作用, 兩體費米子占據兩個簡并基態, 總動量為零.當β＞βc, 塞曼相互作用為主導作用, 兩體費米子依次填充最低能級、零動量和有限動量的能級, 總動量為有限值.

圖4 給出了不同自旋軌道耦合和塞曼相互作用參量時的單粒子能級結構.圖4(a)是自旋軌道耦 合和 塞 曼相 互 作用 參量 較 小(α=0.2π 和β=0.1π)時的能級結構圖.可以看出, 能譜上下分支最低能級均為p0=0 , 兩體無相互作用費米子占據 這 兩 個 態.考 慮α=1.2π , 則 有n0=1 , 此 時βc=0.44π2≈4.34.圖4(b)是自旋軌道耦合和塞曼 相 互作用參 量 較大時(α=1.2π 和β=π＜βc)的能級圖, 兩體無相互作用費米子占據的兩個簡并基態, 兩個動量取p0±=±2π , 對應的總動量仍為零.圖4(c)是塞曼相互作用更大時(α=1.2π和β=2π＞βc)的能級圖, 兩體無相互作用費米子占據的兩個最低能級, 基態動量為p0=0 , 次之為對應的總動量為有限值.當塞曼相互作用增大時, 總動量從零轉變到有限值, 單粒子分析很好地解釋了圖2 中弱排斥相互作用時基態轉變特性.

兩體費米系統的動量分布可以表示為

圖5 對于不同的 α 和 β , 基態的動量分布,g =1Fig.5.The momentum distributions of ground states for different α and β , g =1.

其中,ψ(p1,p2)由ψ(x1,x2) 的傅里葉變換而來.圖5給出了在較弱相互作用時對于不同自旋軌道耦合α和塞曼相互作用β下基態的動量分布, 且自旋軌道耦合與塞曼相互作用系數取值與圖4 中一致.因為n(p1)=n(p2) , 這里以n(p1) 作 為代表.當α=0.2π和β=0.1π 時, 粒子動量分布集中于p=0.當α=1.2π 和β=π 時, 動量分布出現兩個峰, 為p=±2π.當α=1.2π 和β=2π 時, 動量分布出現兩個峰, 為p=0 和p=2π.圖5 是在弱排斥作用情況下的基態動量分布, 與圖4 中無相互作用情況下, 兩費米子動量分布的分析一致.通過單粒子能譜分析和動量分布研究, 直觀地理解了隨著塞曼相互作用變化, 費米子系統基態的轉變過程, 為理解多體系統的物理現象提供了基礎.

5 結 論

本文解析求解了環阱中具有自旋軌道耦合、塞曼作用和接觸相互作用的兩體費米系統.研究發現: 首先, 僅考慮自旋軌道耦合作用時, 隨著自旋軌道耦合系數增加, 本征能量將降低, 主要依賴于與自旋軌道耦合相關的常數項.同時, 不考慮上述常數項時, 本征能量周期性地依賴于自旋軌道耦合系數.進一步地, 考慮自旋軌道耦合和塞曼場作用,隨著塞曼相互作用增大, 不同總動量空間的最低能量均有降低, 并且在這些最低能級間發生了能級交叉, 基態從零轉變到有限值動量空間.最后, 隨著兩體接觸相互作用從吸引到排斥的變化, 無塞曼作用時基態總動量始終為零, 考慮塞曼作用時, 基態總動量從零轉變為有限值.通過單粒子能譜分析,發現在塞曼相互作用為主導時, 塞曼能級劈裂引起了基態的這種轉變.兩體費米系統的解析解展現了豐富的物理現象, 是研究多體系統的基礎.在本研究基礎上, 未來可以進一步研究多體相互作用費米系統、雜核系統、光晶格勢阱系統、多旋量費米系統的物理圖像.