有限脈沖響應濾波器在電力系統諧波魯棒估計中的應用

陳 彪，方旭峰，陳識微

(1.國網杭州富陽供電公司，浙江 杭州 311400； 2.浙江容大電力設備制造有限公司，浙江 杭州 311000)

目前，由于電力電子設備的大量使用，電能質量已經成為電力系統操作中的重要問題。與電力系統相連的非線性負荷會導致諧波水平的增加，這些諧波會導致與電力系統運行相關的嚴重問題，如電壓畸變、損耗增加、發熱[1-2]。電力系統諧波是衡量電能質量的重要指標之一，因此有必要對電力系統諧波成分進行估計，以提供高質量的電能。在許多電力系統中的應用程序，快速傅里葉變換和離散傅里葉變換由于計算速度快且簡單，被廣泛用于估計電壓或電流信號的諧波分量[3-4]，這兩種方法都能準確地估計靜止無噪聲信號的諧波分量。然而，快速傅里葉變換和離散傅里葉變換在其推導過程中都沒有考慮噪聲干擾因素，僅適用于平穩信號。對于非平穩且有噪聲的信號，這兩種方法會導致精度下降，性能也較差[5]。

為了抑制噪聲和處理時變諧波，相關專家學者提出了基于卡爾曼濾波的方法，用狀態空間表示噪聲信號[6]。但是，這些方法本質上需要系統的先驗信息和信號，而這些信息很難獲取。尤其是卡爾曼濾波器的最佳性取決于過程和測量噪聲協方差矩陣的準確性。過程和測量噪聲協方差矩陣的較小值會產生不可靠的估計，而較大的值可能會導致估計結果存在差異。因此，基于卡爾曼濾波的方法可能會有較差的性能。為了解決這些問題，研究人員提出了基于修正卡爾曼濾波的諧波估計技術。王少英[7]認為，估計結果更多地取決于過程和測量噪聲協方差矩陣的比值，而不是它們各自的值。王艷等[8]提出了利用2個過程噪聲協方差矩陣進行動態諧波跟蹤估計的方法。崔永林等[9]提出了一種自調整模型誤差協方差的方法來跟蹤諧波波動。然而，由于卡爾曼濾波器是無限脈沖響應(Infinite Impulse Response，IIR)結構濾波器，它利用了從初始時間到當前時間的所有信息[10]，并具有內部狀態，因此在狀態中可能會積累不確定性。

本文提出了利用最佳FIR濾波器對電力系統諧波進行魯棒估計的方法，將帶有噪聲的電流或電壓信號表示為狀態空間模型，將信號的諧波分量表示為狀態變量，然后采用最佳FIR濾波器來估計諧波分量的大小。由于在所提出的方法中使用的最佳FIR濾波器是由有限數量的過去測量值組成的線性組合，因此從有界輸入和有界輸出(BIBO)穩定性的角度，可以保證所提出方法的穩定性。與基于卡爾曼濾波的方法相比，該方法對臨時不確定性和數值誤差的估計更加穩健，以期為電力系統諧波估計提供更可靠的解決方案。

1 方法論

如果卡爾曼濾波器的誤差動態在一定程度上是穩定的，則小的誤差可能是發散問題的原因。因此，基于卡爾曼濾波方法的估計諧波對于具有建模誤差或數值誤差的系統可能會出現偏差。為了克服基于卡爾曼濾波的諧波估計方法的缺點，需要對電力系統諧波進行魯棒估計。在信號處理領域，具有有限脈沖響應(Finite Impulse Response，FIR)結構的滾動時域或移動時域估計器被提出作為IIR結構估計器(如卡爾曼濾波器)的替代方案。由于FIR結構的濾波器使用最新的有限信息[11]，因此與IIR結構的濾波器相比，可以保證有界輸入/有界輸出(BIBO)的穩定性，并具有更高的魯棒性和更快的響應速度。此外，FIR估計器對過程噪聲的敏感性低于IIR估計器[12]，可以用FIR濾波器代替卡爾曼濾波器對電力系統諧波進行魯棒估計。

在電力調節系統中，包含諧波分量的電流或電壓信號可以用測量噪聲表示為式(1)：

(1)

式中，m為諧波階數；am，t和θm，t分別為第m個諧波分量在時間t處的大小和相位角；ω為電力系統的基本頻率；vt為測量噪聲，它是一個協方差為RS的零均值白高斯隨機過程。

設采樣時間間隔為Δt=tk+1-tk，時間指數k為第k個采樣時間(tk=Δtk)，則在k時刻的信號可以表示為式(2)：

(2)

式(2)可以表示線性時不變狀態空間模型。

假設第m個諧波分量的方差Δam，k(m=1，…，M)服從隨機游走運動，則第m個諧波分量在k+1時刻的大小可以表示為式(3)：

Δam，k+1=am，k+Δam，k

(3)

設狀態變量xk為式(4)：

(4)

那么k+1時刻的信號可以表示為式(5)：

(5)

結合式(5)，式(2)的時不變狀態空間模型可以表示為式(6)、式(7)：

(6)

yk=Hxk+vk

(7)

(8)

H=[1 0 … 1 0]

(9)

為了設計最佳FIR濾波器，考慮以下狀態空間模型：

xk+1=Axk+Gwk

(10)

yk=Cxk+vk

(11)

式中，xk為狀態向量；yk為測量值；wk和vk分別為過程噪聲和測量噪聲。同時，wk和vk分別為具有協方差Q和R的高斯白隨機噪聲。

最佳FIR濾波器可以設計為時域[k-N，k-1]有限測量的線性函數：

(12)

2 性能評估

通過仿真來評估方法的性能，考慮以下電壓信號諧波：

y(t)=acos(ωt+60)+0.1cos(3ωt+15)+0.095cos(5ωt-10)+0.035cos(7ωt+40)+0.014cos(9ωt+30)+0.01cos(11ωt+50)+0.02cos(13ωt+70)+v(t)

(13)

標稱系統頻率f=60 Hz，數據采集單元的采樣頻率為1.62 kHz(每個周期27個采樣)。

為了說明基于最佳FIR濾波器方法的性能，針對狀態空間模型(6)和(7)分別實現了最佳FIR濾波器、時變(Time Varying，TV)卡爾曼濾波器和自適應卡爾曼濾波器，并對仿真結果進行了比較。

2.1 時不變諧波分量

針對含有時不變諧波分量的信號，將基于最佳FIR濾波器方法與時變卡爾曼濾波器進行了比較，驗證該方法的估計性能。在該仿真場景中，式(13)中的設為1.0，比設為0.25，測量噪聲的協方差為0.05。測試信號的波形如圖1所示。

圖1 帶時不變諧波分量的測試信號波形Fig.1 Test signal waveform with time invariant harmonic component

模擬中使用的時變卡爾曼濾波器設計如下。

(1)時間更新。

①預測未來狀態：

(14)

②預測未來誤差協方差：

Pk|k-1=APk-1|k-1AT+Q

(15)

(2)測量更新。

①計算濾波器增益：

Kk=Pk|k-1CT(CPk|k-1CT+R)-1

(16)

②通過測量更新估算值：

(17)

③更新誤差協方差：

Pk|k=(I-KkC)Pk|k-1

(18)

仿真參數設置如下：選取最佳FIR濾波器的時域尺寸為14，TV 卡爾曼濾波器設計的初始狀態和初始估計誤差方差分別設置為x0=[1 1 … 1]T和P0=10×I。

圖2、圖3和表1分別比較了2種方法對各諧波分量的估計幅度及其均方根估計誤差。從這些結果可以看出，基于最佳FIR濾波器方法和基于TV 卡爾曼濾波的方法均提供了可靠的估計結果。由于本文方法中使用的最佳FIR濾波器是一個時不變濾波器，因此該方法將比基于TV卡爾曼濾波器的方法具有更好的計算效率。為了比較計算效率，比較了2種算法每次迭代的平均計算時間：最佳FIR濾波器、TV卡爾曼濾波器計算時間分別為0.971、1.517 μs。該方法的計算時間比基于TV 卡爾曼濾波器方法的計算時間少23%左右。

圖2 基波諧波分量和5次諧波分量的估計值比較Fig.2 Comparison of estimated values of fundamental harmonic component and 5th harmonic component

圖3 3次和13次諧波分量的估計幅度比較Fig.3 Comparison of estimated amplitudes of 3rd and 13th harmonic components

表1 均方根估計誤差Tab.1 Root mean square estimation error 10-3

2.2 時變諧波分量

為了驗證基于最佳FIR濾波器方法的魯棒性和跟蹤性能，考慮了具有時變諧波分量的信號。對于這種情況，將式(13)中的設置為：

(19)

帶時變諧波分量的測試信號如圖4所示。

圖4 帶時變諧波分量的測試信號波形Fig.4 Test signal waveform with time varying harmonic component

為了驗證FIR結構濾波器的使用效率，將本文方法與基于TV 卡爾曼濾波器的方法對具有時變諧波分量的測試信號進行了比較。

表2和圖5分別給出了不同Q/R比(R=0.05，為常數)下基波分量的估計量及其均方根估計誤差。從這些結果中可以看出，所提方法的估計沒有明顯的變化，而TV卡爾曼濾波器的估計不能收斂到實際幅度[16]。這些結果驗證了基于FIR結構濾波器的方法對協方差矩陣的敏感性較低。因此，可以說該方法比基于卡爾曼濾波器的方法具有更強的魯棒性。在圖5中，2種方法的振蕩行為是由于測量噪聲vk和不準確的過程噪聲協方差矩陣引起的。此外，將基于FIR結構濾波器方法與基于自適應卡爾曼濾波器的方法進行了比較，以驗證其魯棒性和收斂能力。自適應卡爾曼濾波器與TV卡爾曼濾波器具有相同的結構，不同的是，每次迭代都對過程和測量協方差矩陣和進行相應調整[17]。

表2 不同Q/R時的均方根估計誤差比較Tab.2 Comparison of root mean square estimation error under different Q/R

設計自適應卡爾曼濾波器，初始狀態和初始估計誤差方差的設置與TV 卡爾曼濾波器參數相同。本文所提出的方法和基于自適應卡爾曼濾波器方法的均方根估計誤差見表3。結果表明，所提出方法的估計誤差小于基于自適應卡爾曼濾波器方法的估計誤差。

圖5 基波分量的估計幅度比較Fig.5 Comparison of estimated amplitudes of fundamental components

表3 均方根估計誤差比較Tab.3 Comparison of root mean square estimation error 10-3

基于FIR結構濾波器方法和基于自適應卡爾曼濾波器方法的諧波分量估計幅度如圖6、圖7所示。

圖6 基波、3次諧波和5次諧波分量的實際和估計幅度Fig.6 Actual and estimated amplitudes of fundamental，3rd and 5th harmonic components

圖7 7次、9次、13次諧波分量的實際和估計幅度Fig.7 Actual and estimated amplitudes of 7th，9th and 13th harmonic components

從圖6、圖7中可以看出，與基于自適應卡爾曼濾波器的方法相比，基于FIR結構濾波器方法的估計能更快地收斂到每個諧波分量的真實幅度。另外，由于自適應卡爾曼濾波每次迭代都需要計算和。因此，本文所提出方法的計算時間少于基于自適應卡爾曼濾波器方法的計算時間。最佳FIR濾波器、TV卡爾曼濾波器每次迭代的平均計算時間分別為0.972、3.579 μs，基于FIR結構濾波器方法比基于自適應卡爾曼濾波器方法的計算時間少72.84%。

3 結語

提出了一種魯棒估計方法來估計電力系統諧波分量的幅值。為了設計魯棒的估計器，將最佳FIR濾波器應用于有噪聲電流或電壓信號的狀態空間表示。由于該方法所使用的最佳FIR濾波器由有限個過去測量值的線性組合所組成，因此該方法可以避免基于卡爾曼濾波器方法中可能出現的散度問題。與基于卡爾曼濾波方法相比，該方法因使用了FIR結構的濾波器來估計諧波分量，可以提供更穩健的不確定性和數值誤差估計。由于最佳FIR濾波器不使用任何初始狀態的先驗信息。因此，提出的諧波估計方法可以避免未知初始狀態引起的誤差。仿真結果表明，與基于卡爾曼濾波的方法相比，該方法對過程噪聲的敏感性較低。