Kerr 非線性介質(zhì)中聚焦像散高斯光束的傳輸特性*

胡婧 王歡 季小玲

(四川師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 成都 610068)

當(dāng)高功率激光通過(guò)Kerr 非線性介質(zhì)傳輸時(shí), Kerr 效應(yīng)會(huì)嚴(yán)重影響激光的傳輸特性.實(shí)際應(yīng)用中常遇到像散光束.迄今為止, 像散光束傳輸特性的研究大都局限于在線性介質(zhì)中的傳輸, 而在非線性介質(zhì)中傳輸?shù)难芯枯^少, 且還未涉及像散激光束通過(guò)含光學(xué)系統(tǒng)的Kerr 非線性介質(zhì)傳輸變換的研究.本文主要研究Kerr 效應(yīng)對(duì)聚焦光束像散特性和焦移特性的影響, 以及聚焦像散高斯光束的自聚焦焦距和光束焦點(diǎn)調(diào)控.在光束擴(kuò)展情況下, 推導(dǎo)出了聚焦像散高斯光束在Kerr 非線性介質(zhì)中傳輸?shù)氖鴮挕⑹恢煤徒挂频慕馕龉? 研究表明: 在自聚焦介質(zhì)中, 隨著自聚焦作用增強(qiáng)(如光束功率增強(qiáng)), 光束像散越強(qiáng), 但焦移越小; 在自散焦介質(zhì)中, 隨著自散焦作用增強(qiáng)(如光束功率增強(qiáng)), 光束像散越弱, 但焦移越大.另一方面, 在光束自聚焦情況下, 推導(dǎo)出了自聚焦焦距的解析公式, 研究表明利用光束像散可以調(diào)控光束焦點(diǎn)個(gè)數(shù).

1 引 言

像散光束在實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)遇到, 例如, 當(dāng)激光垂直入射非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)光學(xué)系統(tǒng)或傾斜入射到光學(xué)元件表面時(shí), 光束將會(huì)發(fā)生像散[1?3].像散會(huì)嚴(yán)重影響激光傳輸特性.吳逢鐵教授課題組研究了像散對(duì)軸棱錐衍射特性的影響與修正[4], 并采用理論和實(shí)驗(yàn)方法研究了像散Bessel 光束自重建特性[5].林強(qiáng)教授課題組推導(dǎo)出部分相干扭曲各向異性高斯謝爾模型光束(具有復(fù)雜像散特性的部分相干光)傳輸?shù)膹埩緼BCD 定律[6], 并用實(shí)驗(yàn)研究了復(fù)雜像散橢圓光束的軌道角動(dòng)量[7].王紹民教授課題組[8]采用張量ABCD 定律研究了復(fù)雜像散高斯激光束的對(duì)稱(chēng)變換問(wèn)題.Tari 等[9]提出采用對(duì)稱(chēng)透鏡校正像散高斯光束的像散和橢圓度.馮國(guó)英教授課題組[10]采用理論和實(shí)驗(yàn)方法研究了像散橢圓高斯光束的M2因子矩陣.蔡陽(yáng)健教授課題組研究了部分相干扭曲各向異性高斯謝爾模型光束在大氣湍流中的傳輸特性[11]以及在色散和吸收介質(zhì)中的傳輸特性[12].張逸新教授課題組[13]研究了大氣湍流中像散對(duì)高斯渦旋激光束傳輸和成像的影響.然而, 目前的研究大都僅局限于像散光束在線性介質(zhì)的傳輸特性[4?13].

當(dāng)高功率激光通過(guò)Kerr 非線性介質(zhì)傳輸時(shí),Kerr 效應(yīng)將會(huì)嚴(yán)重影響激光傳輸特性和光束質(zhì)量[14?16].最近, 我們課題組解析求解了非線性薛定諤方程, 并推導(dǎo)出了部分相干激光在非線性Kerr 介質(zhì)中傳輸?shù)腁BCD 定律[17]; 研究發(fā)現(xiàn)部分相干脈沖光比完全相干脈沖光在避免材料發(fā)生光學(xué)損傷方面更具優(yōu)勢(shì)[18]; 推導(dǎo)出了部分相干光通過(guò)Kerr 介質(zhì)中光束系統(tǒng)傳輸變換公式, 并發(fā)現(xiàn)Kerr 效應(yīng)可以調(diào)控光斑位置和尺寸[19], 文獻(xiàn)[19]已被遴選為“Spotlight on Optics”論文.

迄今為止, 像散橢圓光束在非線性介質(zhì)中傳輸特性的研究較少.郭旗教授課題組[20]研究了橢圓高斯光束在強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中的傳輸特性.Goncharenko 等[21]研究了旋轉(zhuǎn)橢圓高斯光束在梯度折射率非線性介質(zhì)中的傳輸.此外, 在局域Kerr 非線性介質(zhì)中, Cornolti 等[22]的研究表明橢圓高斯光的自陷功率隨光束橢圓度的增大而增大,Singh 等[23]研究了橢圓高斯光的自聚焦和自相位調(diào)制動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.然而, 像散激光束通過(guò)含光學(xué)系統(tǒng)的Kerr 介質(zhì)傳輸變換的研究還未涉及.本文研究了Kerr 非線性介質(zhì)中聚焦像散高斯光束的傳輸特性, 主要包括: Kerr 效應(yīng)對(duì)光束像散特性和焦移特性的影響, 以及聚焦像散高斯光束的自聚焦焦距和光束焦點(diǎn)調(diào)控.

2 理論模型以及傳輸公式

激光在Kerr 介質(zhì)中的傳輸特性由Kerr 效應(yīng)和衍射效應(yīng)共同決定.高斯激光誘導(dǎo)介質(zhì)折射率變化引起的非線性作用與衍射作用之比η=[17], 其中光強(qiáng)k為波數(shù),w1為入射光束寬,n0和n2分別為介質(zhì)的線性和非線性折射率,n2> 0(即η> 0)與n2< 0 (即η< 0)分別對(duì)應(yīng)Kerr 自聚焦介質(zhì)與Kerr 自散焦介質(zhì).η< 1 時(shí)激光在傳輸?shù)倪^(guò)程中逐漸發(fā)散,η> 1時(shí)激光逐漸會(huì)聚.η< 1 對(duì)應(yīng)于激光在自散焦介質(zhì)中傳輸, 或者在自聚焦介質(zhì)中傳輸, 但滿(mǎn)足光束功率P 1 對(duì)應(yīng)于激光在自聚焦介質(zhì)中傳輸, 且滿(mǎn)足P>Pcr.本文第2—第4 節(jié)研究η< 1 情況(在自聚焦介質(zhì)中滿(mǎn)足P 1 情況.

高斯光束以束腰入射, 通過(guò)Kerr 介質(zhì)中像散薄透鏡傳輸(如圖1 所示).高斯光束通過(guò)像散薄透鏡后, 其光場(chǎng)分布為可表示為

其中,f為透鏡焦距,C6為像散系數(shù), 波數(shù)k=2π/λ,λ為波長(zhǎng).對(duì)于簡(jiǎn)單像散,x與y方向的光束復(fù)參數(shù)q可表示為[17]

圖1 Kerr 非線性介質(zhì)中聚焦像散高斯光束傳輸?shù)氖疽鈭DFig.1.Schematic diagram of a focused astigmatic Gaussian beam propagating in Kerr nonlinear media.

其中Rj和wj分別為光束曲率半徑和束寬,M2=(1-η)1/2為高斯光束在Kerr 介質(zhì)中的M2因子[17].需要說(shuō)明的是, 本文研究的是完全相干光, 文獻(xiàn)[17]研究的是部分相干光, 本文(2)式是文獻(xiàn)[17]中相應(yīng)公式在空間相干寬度趨于∞時(shí)的特例.

根據(jù)(2)式, (1)式可簡(jiǎn)化為

其中q1j為z= 0 處的光束復(fù)參數(shù), 1/R1x= 2C6–1/f和1/R1y= –2C6– 1/f分別為x與y方向光束曲率半徑.

依據(jù)Kerr 介質(zhì)中的ABCD 定律[17], 像散高斯光傳輸至z處的復(fù)參數(shù)q2j可表示為

將(2)式代入(4)式中, 分離實(shí)部與虛部后可得像散高斯光束在Kerr 介質(zhì)中傳輸?shù)那拾霃絉2j與束寬w2j分別為

其中為光束在Kerr 非線性介質(zhì)中的瑞利長(zhǎng)度[17],j=x時(shí)取“+”號(hào),j=y時(shí)取“–”號(hào).(5)式和(6)式表明, 一般情況下,x與y方向的光束曲率半徑和束寬均不相等, 光斑呈橢圓形狀.但是, 當(dāng)z=f時(shí), 有w2y=w2x, 即為圓高斯光束.值得指出的是, 這一結(jié)論在線性介質(zhì)中也是成立的.另外, 當(dāng)C6= 0 時(shí), (5)式和(6)式簡(jiǎn)化為無(wú)像散時(shí)的結(jié)果.

值得指出的是, 雖然Kerr 效應(yīng)和衍射效應(yīng)均與光束束寬有關(guān), 但η參數(shù)描述Kerr 效應(yīng)與衍射效應(yīng)作用之比, 并且可得到η=2n2k2P/(n0π) 與束寬無(wú)關(guān), 故M2=(1?η)1/2也與束寬無(wú)關(guān).另一方面, 我們已證明, 在線性介質(zhì)中, 像散高斯光束的M2= 1[24], 即像散不改變高斯光束的M2因子.在非線性Kerr 介質(zhì)中, 只要光束保持類(lèi)高斯輪廓分布, 像散光束在x與y方向的M2因子的表達(dá)式應(yīng)相同, 因此分別引入x和y方向的ABCD 定律來(lái)研究Kerr 非線性介質(zhì)中聚焦像散高斯光束的傳輸特性是合理的[25], 即(4)式成立.

令(5)式中R2j→ ∞, 可得到通過(guò)透鏡后像散高斯光束(聚焦像散高斯光束)在Kerr 介質(zhì)中的束腰位置為

式中,j=x時(shí)取“–”號(hào),j=y時(shí)取“+”號(hào).由于像散作用, 一般情況下有s2x≠s2y, 即x與y方向光束束腰位置不重合.但是, 當(dāng)C6=(1/f2+1/Z2)1/2/2時(shí), 有s2x=s2y=f/2 (即x與y方向光束束腰位置重合), 該結(jié)論在線性介質(zhì)中也成立.

除特別說(shuō)明, 本文數(shù)值計(jì)算采用參數(shù)如下:f=0.2 m,w1= 0.4 mm.自聚焦介質(zhì)中:n0= 2.4,n2= 2 × 10–13cm2/W(As2S3玻璃),λ= 1.06 μm;自散焦介質(zhì)中:n0= 1.56,n2= –1.5 × 10–13cm2/W(合成含有3, 4-二烷氧基噻吩的可溶性多惡唑),λ= 0.532 μm.

由(7)式可知,s2y> 0, 且s2y隨著C6的增大而減小.其物理原因是: 由于像散作用,y方向光束相當(dāng)于被焦距為1/(2C6)的凸透鏡會(huì)聚.Kerr 介質(zhì)中x方向束腰位置s2x隨C6的變化如圖2 所示,由圖可知,s2x隨C6的變化關(guān)于C6= 1/(2f)對(duì)稱(chēng),且存在一個(gè)最大值和一個(gè)最小值.令(7)式中?s2x/?C6= 0 可 得: 當(dāng)C6,min=1/(2f)?1/(2Z)和C6,max=1/(2f)+1/(2Z) 時(shí),s2x分別有最大值和最小值, 即

圖2 束腰位置s2x 隨像散系數(shù)C6 的變化Fig.2.Beam waist position s2x versus the astigmatic coefficient C6.

利用像散系數(shù)C6可調(diào)節(jié)束腰位置, 例如當(dāng)C6<1/(2f) 時(shí), 光束會(huì)聚,s2x> 0; 當(dāng)C6>1/(2f)時(shí), 光束發(fā)散,s2x< 0 (即束腰位置位于透鏡左方).此外, 容易得到: ΔC6=C6,max–C6,min= 1/Z,Δs2x=s2x, max–s2x, min=Z, 它們僅與光束瑞利長(zhǎng)度有關(guān).自聚焦介質(zhì)中(η> 0),η越大(自聚焦作用越強(qiáng)), 則C6,min和s2x,max越大, 而C6,max和s2x,min越小, 那么ΔC6越小, Δs2x越大.自散焦介質(zhì)中(η<0), |η|越大(自散焦作用越強(qiáng)), 則C6,min和s2x,max越小, 而C6,max和s2x,min越大, 那么ΔC6越大,Δs2x越小.其物理原因是: 自聚焦作用越強(qiáng), 則Z越大; 自散焦作用越強(qiáng), 則Z越小.

3 Kerr 效應(yīng)對(duì)光束像散特性的影響

本文采用像散參數(shù)β=w2y/w2x表征光束的像散程度.根據(jù)(6)式可得Kerr 介質(zhì)中光束像散參數(shù)β為

β越遠(yuǎn)離數(shù)值1, 光斑呈現(xiàn)橢圓狀越明顯, 即光束像散越厲害.由(9)式可知, 當(dāng)z=f時(shí), 有β= 1, 即在透鏡焦平面處光束為圓高斯分布, 該結(jié)論與Kerr 效應(yīng)及像散系數(shù)C6均無(wú)關(guān).

Kerr 介質(zhì)中像散參數(shù)β隨相對(duì)傳輸距離z/f的變化如圖3 所示.由圖可知,β存在一個(gè)最小值和一個(gè)最大值.令(9)式中?β/?z= 0 可得: 當(dāng)zmin=時(shí),β分別有最小值和最大值, 即

由(10)式可知,βmin與βmax僅與瑞利長(zhǎng)度和像散系數(shù)有關(guān), 而與透鏡焦距無(wú)關(guān).并且, 當(dāng)z→ ∞時(shí), 像散參數(shù)β將趨于一個(gè)穩(wěn)定值, 根據(jù)(9)式可得該值為

圖3(a)表明, Kerr 介質(zhì)中,C6越大,β越遠(yuǎn)離數(shù)值1, 即光束像散越厲害.圖3(b)表明, 自聚焦介質(zhì)中(η> 0),η越大(自聚焦作用越強(qiáng)),β的值越遠(yuǎn)離數(shù)值1, 即光束像散越厲害; 自散焦介質(zhì)中(η< 0), |η|越大(自散焦作用越強(qiáng)),β的值越接近數(shù)值1, 即光束像散越弱.

圖3 像散參數(shù)β 隨相對(duì)傳輸距離z/f 的變化 (a)不同像散系數(shù); (b)不同Kerr 效應(yīng)強(qiáng)度Fig.3.Astigmatic parameter β versus the relative propagation distance z/f: (a) Different values of the astigmatic coefficient; (b) different strength of the Kerr effect.

4 焦 移

聚焦像散高斯光束在Kerr 介質(zhì)中的場(chǎng)分布表示為

根據(jù)(12)式, 可得光強(qiáng)分布為

令(13)式中x=y= 0, 可得Kerr 介質(zhì)中光束的軸上光強(qiáng)為

軸上光強(qiáng)最大值的位置zI?max由方程?I(0,0,z)/?z= 0 確定.對(duì)(14)式求偏導(dǎo)I(0, 0,z), 即

可得: 在zI?max=U+V ?l/3 處有最大光強(qiáng), 其中U=[?u/2+(u2/4+v3/27)1/2]1/3,V=[?u/2?(u2/4+v3/27)1/2]1/3,u=m ?l2/3, v=2(l/3)3?ml/3+n, n=?1/(fξ),m=(3/f2+1/Z2?)/ξ,l=3(4C62?1/f2?1/Z2)/(fξ),ξ=[(2C6+1/f)2+1/Z2][(2C6?1/f)2+1/Z2].

像散高斯光的光斑面積可表示為

本文中, 把像散高斯光的光斑面積最小位置處定義為束腰位置zS?min, 即束腰位置zS?min由方程?S(z)/?z= 0 確定.將(6)式代入(16)式, 并對(duì)S(z)求偏導(dǎo):

對(duì)比(15)式與(17)式可知:zI?max=zS?min,即聚焦像散高斯光束束腰位置與軸上最大光強(qiáng)位置重合, 該結(jié)論與Kerr 效應(yīng)無(wú)關(guān)(見(jiàn)圖4).特別地, 當(dāng)C6= (1/f2+ 1/Z2)1/2/2 時(shí), 有s2x=s2y=f/2, 則zS?min=f/2.

圖4 (a)軸上光強(qiáng)I(0, 0, z)和(b)光斑面積S(z)隨相對(duì)傳輸距離z/f 的變化, C6 = 0.2 m–1Fig.4.(a) Axial intensity and (b) the area of beam spot versus the relative propagation distance z/f.

把聚焦像散高斯光束的束腰位置認(rèn)為是實(shí)際焦面, 那么幾何焦面與實(shí)際焦平面的間距Δ 定義為焦移, 即

圖5 為Kerr 介質(zhì)中聚焦像散高斯光束的焦移Δ 隨像散系數(shù)C6的變化.由圖5 可知,C6越大,則Δ 越大.自聚焦介質(zhì)中,η越大(自聚焦作用越強(qiáng)), 則Δ 越小; 自散焦介質(zhì)中, |η|越大(自散焦作用越強(qiáng)), 則Δ 越大.

5 自聚焦焦距

當(dāng)高功率激光通過(guò)自聚焦介質(zhì)傳輸, 且P>Pcr(即η> 1)時(shí), 激光在傳輸過(guò)程中逐漸會(huì)聚, 即發(fā)生自聚焦現(xiàn)象.理想情況下, 當(dāng)束寬趨于零時(shí),激光束會(huì)聚于一點(diǎn), 其傳輸距離稱(chēng)為自聚焦焦距zf[26?28].實(shí)際上, 激光在接近焦點(diǎn)時(shí)已不再是類(lèi)高斯輪廓分布了, 因此自聚焦焦距zf僅是一種理想情形, 但它仍然具有一定的參考意義, 文獻(xiàn)[26?28]均采用該法研究了自聚焦焦距.

圖5 焦移Δ 隨像散系數(shù)C6 的變化 (a)自聚焦介質(zhì);(b)自散焦介質(zhì)Fig.5.Focal shift Δ versus the astigmatic coefficient C6:(a) Self-focusing media; (b) self-defocusing media.

根據(jù)文獻(xiàn)[17]中的(4)式, 可得到聚焦像散高斯光束(P>Pcr)在自聚焦介質(zhì)傳輸時(shí)束寬傳輸方程為

其中,w1x=w1y=w1, 1/R1x= 2C6–1/f, 1/R1y=–2C6–1/f.令(19)式等于零, 可得到聚焦像散高斯光束在自聚焦介質(zhì)中傳輸?shù)淖跃劢菇咕酁?

實(shí)際上, 當(dāng)z=zf1時(shí), 有wy= 0; 當(dāng)z=zf2時(shí), 有wx= 0.

值得指出的是, 自聚焦焦距需滿(mǎn)足zf> 0.由(20a)式可知:f>zf1> 0, 即該焦點(diǎn)始終存在.令(20b)式中可得

當(dāng)時(shí),zf2> 0; 當(dāng)時(shí),zf2< 0 (舍去).

圖6 為自聚焦焦距zf隨像散系數(shù)C6的變化.由圖6 可知, 當(dāng)時(shí), 光束有兩個(gè)焦點(diǎn); 當(dāng)時(shí), 光束僅有一個(gè)焦點(diǎn).因此, 通過(guò)調(diào)控像散系數(shù)C6可以控制光束焦點(diǎn)的個(gè)數(shù).

圖6 自聚焦焦距zf 隨像散系數(shù)C6 的變化Fig.6.Self-focusing focal length zf versus the astigmatic coefficient C6.

6 結(jié) 論

本文研究了Kerr 非線性介質(zhì)中聚焦像散高斯光束的傳輸特性.在光束擴(kuò)展情況下(η< 1), 推導(dǎo)出了聚焦像散高斯光束在Kerr 非線性介質(zhì)中傳輸?shù)氖鴮挕⑹恢煤徒挂频慕馕龉? 研究了Kerr效應(yīng)對(duì)光束像散特性和焦移特性的影響.研究表明: 束腰位置s2x隨像散系數(shù)C6的變化關(guān)于C6=1/(2f)軸對(duì)稱(chēng), 且存在一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,f為透鏡焦距.自聚焦介質(zhì)中,η越大(自聚焦作用越強(qiáng)), 光束像散越厲害, 但焦移越小; 自散焦介質(zhì)中, |η|越大(自散焦作用越強(qiáng)), 光束像散越弱, 但焦移越大.在光束自聚焦情況下(η> 1), 研究了聚焦像散高斯光束的自聚焦焦距, 推導(dǎo)出了自聚焦焦距的解析公式.研究表明: 通過(guò)調(diào)控像散系數(shù)C6可以控制光束焦點(diǎn)的個(gè)數(shù)(一個(gè)或兩個(gè)焦點(diǎn)).本文研究結(jié)果具有理論和實(shí)際應(yīng)用意義.