薄壁葉片側銑變形誤差補償及刀位規劃研究*

鄭 剛 饒金山 吳 雁 張而耕

(上海應用技術大學機械工程學院，上海 201418)

薄壁葉片類零件，如渦輪和葉輪，被廣泛應用于汽車和航空航天等領域，為保證氣動性和能量轉換效率，葉片常被設計成扭曲度大、幾何精度高的復雜曲面，以表面為非可展直紋面的葉片類型最具代表性。對于該類葉片的加工，點銑加工方式適應度高，技術較為成熟，應用最為廣泛，但點銑刀具磨損嚴重、效率較低，而側銑方式，可在充分利用五軸機床靈活自由度、保證葉片表面精度的情況下，以線接觸方式實現高效率的寬行切削[1]。

側銑非可展直紋面時，由于銑刀的軸線不能被直紋面直母線上的各點法矢量同時穿過，因此存在不可避免的原理誤差。原理誤差的減小主要通過刀具路徑規劃方法實現，閆濤[2]對比兩點偏置法[3]、三點偏置法[4]及優化的三點偏置法所帶來的原理誤差，提出以四點偏置法來生成初始刀位，并采用最小二乘進行優化，實現了刀軸矢量偏轉，減小了過切誤差。鄭剛[5]基于雙參數球族包絡理論，將設計曲面離散點到刀具包絡面的有向距離定義為包絡誤差，用序列線性規劃算法使最大包絡誤差最小化，實現了刀具包絡面朝向設計曲面的最佳一致逼近。閻長罡[6-7]以包絡面逼近直紋面的整體誤差出發，當特征線最小二乘逼近和映射曲線時判定單刀位位姿最優。

上述研究基于不同優化算法大大減小了原理誤差，但并未考慮實際加工時葉片變形對刀位規劃的影響，而工件變形誤差對薄壁葉片表面質量的評估起主導作用，需要對變形誤差進行必要補償。胡自化[8]根據薄壁矩形板的有限元變形規律，利用軸線偏擺的方式進行補償。李林[9]對側銑非可展直紋面的銑削力進行建模，并利用有限元方法得到葉片整體彈性變形規律，根據節點變形量對設計曲面進行補償得到待加工曲面。侯洪福[10]在銑削力模型基礎上，提出以剛度矩陣的方法求解加工變形值，并基于Fanuc數控系統的原點偏置功能實現了懸臂梁工件誤差的在線補償。鄭剛[11]通過在機測量的方式，根據誤差補償值調整側銑刀位，減小了復雜曲面側銑加工過程中的真實誤差。

多數研究在原理誤差的減小和加工變形誤差的補償方面做了獨立深入的研究，而實際加工時，刀具沿刀具軌跡運動的每一微小距離都同時存在原理誤差和加工變形，因此，綜合考慮側銑原理誤差與葉片變形所帶來的加工誤差將更加符合實際加工情況。

1 薄壁葉片側銑變形分析

1.1 銑削力建模

銑削力是側銑加工過程中造成薄壁葉片變形的主要原因，現有仿真軟件只能針對規則板材進行銑削力的仿真，對于復雜曲面的銑削仿真具有局限性。因此，本文采用機械力學建模的方法解決銑削力的計算問題。

根據微分思想，通過對銑削區域內參與銑削的微元進行積分得到整體銑削力，如圖1。

作用在高度dz上的螺旋槽切向、徑向和軸向的微元銑削力表示為：

(1)

式中：fz為每齒進給量，dS為微元切削刃的長度，φj(z)為第j條切削刃在軸向高度z處的浸入角，Ktc、Krc、Kac、Kte、Krc、Kae分別為沿切向、徑向、軸向的剪切力系數及犁切力系數，由銑削力正交試驗進行標定。將微元切削刃上的切削力通過坐標變換，轉換到刀具坐標系表示為：

(2)

根據葉片不同位置的幾何參數，具體參考文獻[12]中的銑削力建模方法，在MATLAB中求解出不同銑削參數組合下的銑削力。

1.2 側銑誤差預測模型

實際側銑時，各刀位下的葉片變形量基本不同，要保證刀位誤差補償的準確性，需將刀位誤差與對應刀位相匹配。初始刀位由DPO法獲得：

(3)

式中：i為沿葉片切向t的刀位編號；M為刀位總個數；r(a)為掃掠體刀具的包絡半徑；P(t)和Q(t)是軸跡面兩B樣條控制曲線；piqi為刀位對應在設計曲面上的特征線，如圖2。

為保證誤差補償準確有效，將初始規劃刀位對應的特征線作為銑削力載荷的施加位置，如圖2。根據葉片幾何參數計算出每個位置的銑削力分量Fx、Fy和Fz后，利用ABAQUS對連續多個刀位接觸區進行有限元靜態分析，獲得各刀位處的彈性變形量。

2 刀位誤差優化算法

2.1 側銑刀位優化模型

根據雙參數球族包絡理論，側銑加工過程可視為包絡刀具沿軸跡面掃掠形成刀具包絡面并向設計曲面逼近的過程，包絡刀具被表示為沿軸向a掃掠而成的一系列半徑可變球族，掃掠半徑為r(a)：

r(a,t)=Rcosφ+‖P(t)-Q(t)‖asinφ

(4)

式中：a,t分別為軸跡面軸向及切向參數；R為錐刀底面半徑；φ為刀具傾角。特別地，當φ=0時表示所用刀具為圓柱刀，刀具的包絡表示方法如圖3。

刀位規劃時，原理誤差為各刀位下設計曲面離散點到刀具包絡面的距離。由于刀具包絡面計算困難，不便表達，且最終目標是得到軸跡面的最佳引導線。因此，將設計曲面上的離散點到刀具包絡面的距離轉化為設計曲面離散點到軸跡面的距離，此時，點-包絡面距離表示為：

(5)

根據包絡誤差的性質，原理誤差的減小可將點-包絡面距離限制在誤差允許范圍內，實現刀具包絡面向設計曲面離散點的最佳一致逼近，即將最大(過且或欠缺)誤差最小化：

(6)

式(6)為無約束優化問題，不便求解，但可通過引入松弛變量Δ轉換為可求解的有約束優化問題：

min Δ

(7)

對于上述刀位整體優化模型，采用序列線性規劃的方法：先將點-包絡面距離在初始解處進行泰勒展開并保留線性項，然后求解近似線性規劃得出新解，最后通過反復迭代線性規劃所得出的新解至算法收斂，即實現整體刀位的優化，具體解法參見文獻[5]。

2.2 加工誤差補償刀位的規劃

在側銑刀具規劃過程中考慮葉片變形，得到誤差補償刀位，其核心要求在于保證算法精度的前提下實現刀具中心的補償調整。

實施誤差補償的一般方法有兩種：

(1)先規劃刀具路徑，再根據葉片變形規律，將理論刀位沿軸跡面法向實施一定的鏡像補償量以消除或減小誤差。

(2)根據葉片變形規律，先對設計曲面進行誤差補償得到補償的待加工曲面，再按刀具路徑規劃算法進行刀路的規劃。

方法一常用于離線及在機測量后的殘余誤差修正，將刀位S(a,t)根據對應刀位誤差δi,j進行補償得到離散的刀位點Si,j，利用最小二乘法擬合出補償刀位S′：

(8)

方法二中刀具截面與設計曲面的截面關系如圖4所示，設計曲面為X,補償后的設計曲面X′表示為：

(9)

式中：1≤i≤m,1≤j≤n，m,n分別為設計曲面沿a,t兩向的離散點個數；Xa、Xt分別為設計曲面的軸向和切向矢量；δi,j為側銑加工時設計曲面在a向i處和t向j處的變形誤差。

根據補償后的設計曲面，基于刀位整體優化算法，即可實現補償刀位的規劃。若以原設計曲面為參考，將變形誤差作為包絡誤差的一部分，如圖4，可不必進行設計曲面補償面的計算。此時，考慮了變形誤差的補償，側銑加工過程中實際點-包絡面距離計算為：

(10)

以考慮變形因素的實際點到包絡面距離為優化目標，采用序列線性規劃算法，按圖5所示算法流程，即可實現整體刀位的優化，得到補償后的軸跡面最佳引導線。

3 葉片刀位補償規劃實例

實例采用測量得到的葉片數據，在NX下重建得到葉片模型，將葉片模型導入ABAQUS并根據實際情況賦予材料屬性。為簡化分析流程，在前處理時將待加工表面在t向按t=0：x：1進行參數劃分，作為刀位切削力載荷的施加位置，葉片的參數劃分及載荷施加位置示意如圖6。

根據微元銑削力模型，在MATLAB下對圖6中23個刀位進行銑削力的計算，將得到的銑削力以線載荷的方式施加在有限元單元節點上，得到各刀位處的葉片彈性變形量，按刀位規劃離散方法在a、t兩向進行插值，得到如圖7所示的葉片整體變形誤差。

采用參數為R=3,φ=0的圓柱銑刀，先進行理論刀位的規劃，生成理論刀位時葉片的原理誤差分布如圖8。

結合圖6與圖7可得出：在不同刀位的銑削接觸區，刀具參與銑削的軸向有效長度不同，因不同的銑削力而造成葉片各刀位下的變形量也不相同，其中，葉緣變形相對較大，最大變形發生在軸向接觸最長刀位處的葉尖。

結合圖7與圖8可知，側銑加工時的葉片最大變形誤差為0.061 1 mm,刀位規劃后殘存的原理誤差：最大欠切0.018 8 mm、最大過切-0.017 6 mm。變形誤差相對原理誤差較大，所以，對側銑過程中的葉片變形誤差進行補償會明顯改善葉片表面質量。

由方法一，根據變形誤差對規劃好的刀軸進行調整，得到離散的刀軸偏置點，采用最小二乘法擬合得到補償刀位，部分刀位如圖9a。

由方法二，將δi,j作為每個刀位下的加工變形誤差，將刀位誤差補償至對應刀位生成二次加工曲面，按新的點-包絡面距離進行刀位規劃的部分刀位如圖9b。

葉片刀位規劃時原理誤差的大小范圍為-0.017 6～0.018 8 mm，葉片銑削時的變形誤差范圍為0～0.061 1 mm。若將補償后的刀具包絡面(待加工曲面)與原設計曲面的偏差定義為綜合誤差，則根據綜合誤差的定義，待加工曲面與設計曲面的綜合誤差理論上應處于-0.017 6～0.079 9 mm。利用上述兩種不同補償方法得到側銑補償刀位，綜合誤差分布及大小如圖10。

根據圖10，方法一所采用的最小二乘擬合離散刀位的綜合誤差為-0.063 1～0.132 2 mm，且最大過切發生在葉根部位，由圖9a即可得到驗證。葉根過切遠大于理論上的偏差，在實際加工時必將在葉根處產生較大過切，降低葉片的整體剛度和壽命。方法二的補償規劃刀位的綜合誤差為-0.017 4～0.079 7 mm，最小偏差與原理誤差中的最大過切基本保持一致，最大偏差與綜合誤差上限基本相等，在不影響原算法精度的前提下實現了變形誤差補償。

4 結語

(1)側銑加工時，葉片葉緣變形相對較大，且各刀位處的最大變形發生在葉尖處；彈性變形誤差相對于原理誤差對葉片表面質量影響更大，對側銑過程中的葉片變形誤差進行補償將會使葉片表面質量顯著提升。

(2)先規劃刀位后補償誤差的方法常用于離線或在機測量，能對加工后的葉片殘余誤差進行修正，其本質是刀軸軌跡曲面和誤差曲面的疊加擬合。葉根的理論變形量應為0，但根據懸臂梁變形特點，當葉尖變形較大時，擬合刀位易造成葉根的過切，損失原有刀位規劃算法的精度，影響葉片表面的光順性及葉片的整體剛度和壽命。

(3)先進行誤差預測補償再進行刀位規劃的方法，能夠使補償刀位的最小誤差與原理誤差的最大過切基本保持一致，在保證算法精度和效率的情況下實現加工綜合誤差的減小，避免了誤差補償過程中的葉根過切。