對亥姆霍茲線圈磁場分布的分析

薄 雪，李化南

(吉林師范大學 物理學院，吉林 四平 136000)

對亥姆霍茲線圈電流產生的磁場研究是電磁學實驗中比較經典的一個問題。由于受實驗儀器以及學時的限制，在大學實驗中，學生經常只需要完成對線圈軸線上磁場的測定[1-5]。隨著實驗儀器的改進，不僅可以完成對線圈軸線上磁場的測定還可以對線圈周圍有限空間的磁場進行測定，本文利用DH4501D實驗儀對亥姆霍茲線圈電場產生的磁場進行了充分的研究，并對真空磁導率進行了擬合[6-7]。

1 實驗原理

1.1 線圈磁場的計算

(1)

式中μ0為真空磁導率，x為圓心到測點的距離。

當x=0時，

(2)

亥姆霍茲線圈是兩個匝數相同大小也相同的圓形線圈。它們相互串聯起來，電流大小與方向都相同，而且亥姆霍茲線圈的間距恰好等于線圈的半徑。亥姆霍茲線圈可以在軸線位置處產生很好的均勻磁場。

若x為亥姆霍茲線圈軸線上某一點到兩線圈中點O的距離，則軸線上任意一點的磁場大小為：

(3)

當x=0時，

(4)

利用式(3)和式(4)可以計算出亥姆霍茲線圈軸線上的磁場強度[8-10]。

1.2 亥姆霍茲線圈模型

圖1為亥姆霍茲線圈的簡易模型。圖1中a、b為兩個相互平行且半徑、匝數、電流方向及大小都完全相同的線圈。并且a、b兩個線圈的間距恰好與線圈半徑相同。在亥姆霍茲線圈空間的豎直平面內建立坐標系，其中x軸表示水平方向，當x=0 cm時表示在兩線圈中點位置；y軸表示豎直方向，當y=0 cm時表示在軸線位置。

圖1 亥姆霍茲線圈模型

2 亥姆霍茲線圈磁場的測定

2.1 不同電流下線圈的磁場分布

圖2中a、b、c三個圖分別是電流為25 mA、50 mA、150 mA時單個線圈軸線上的磁場的分布情況。

(a) 電流為25 mA

紅色折線為通過計算得到的理論值，黑色折線為實測值。觀察圖2進行對比分析可得：在電流為25 mA、50 mA時，實測值與理論值的偏差較大；而電流增大到150 mA時，實測值與理論值的偏差明顯降低，在圖中實測值與理論值的擬合情況明顯較好。由于地磁場及周圍環境磁場的存在，亥姆霍茲線圈產生的磁場會受到周圍環境磁場的影響。所以只有在線圈產生的磁場足夠大時，外界環境的磁場對線圈本身產生的磁場的影響才會相對較小，實驗測得的實測值才會更加準確。為減小周圍環境磁場帶來的誤差，后續的實驗要采用較大的電流來進行。因此在本文后續的實驗中將選擇電流大小為150 mA或100 mA，以得到誤差較小的實測值。

2.2 確定電流下亥姆霍茲線圈的磁場分布

圖3為兩個線圈串聯起來組成一組亥姆霍茲線圈在通以150 mA電流下的磁感強度圖像，縱坐標表示磁場強度B，x軸為水平方向，x=0 cm表示此點位于亥姆霍茲線圈的中點。其中黑色曲線為單個線圈a的磁場分布，紅色曲線為單個線圈b的磁場分布，藍色曲線為線圈a和b疊加起來的磁場分布，綠色曲線為線圈a和b串聯起來后的磁場分布。實心點為實驗值，空心點為理論值。

觀察圖像分析可得：在B(a)+B(b)和B(a+b)兩種情況下雖然線圈兩端(x=±5 cm)的磁感強度稍微偏小，但是中間的磁感強度較為均勻。在兩線圈中點處磁場最大，距離兩線圈中點越遠，磁場越小，與式(3)計算結果一致。但總體來說，在一組亥姆霍茲線圈間軸線上實際產生的磁場比較均勻，通過此實驗驗證了亥姆霍茲線圈軸線上的磁場為勻強磁場[4,11]。

圖3 150 mA電流下亥姆霍茲線圈的磁場分布

2.3 單個線圈的空間磁場分布

圖4為當電流值為100 mA時，單個線圈軸線上的磁感強度(y=0 m)和分別上移2、4、6 cm空間各點的磁感強度(y=2、4、6 cm)。總體來看，在距離軸線最遠的位置磁感強度最大，在軸線位置的磁感強度最小；并且距離軸線位置越遠，磁感強度的波動就越大。而在水平方向距離線圈4～5 cm處，豎直方向的偏移基本不會改變磁場的磁感強度，而在線圈位置處，豎直方向越偏離軸線，磁感強度越大。由分析可得，在距離線圈較遠處，由于線圈在此處產生的磁場較小，周圍環境也存在磁場，此處磁場的大小受周圍環境的影響較大。所以無論在豎直方向如何偏移，在遠處測得磁場都基本相等。在線圈位置附近處，豎直方向偏移越大，這個點距離線圈越近，線圈在此處產生的磁場較大，受周圍環境的影響較小，所以磁場強度越大。所以整體上呈現出距離軸線位置越遠處，磁場強度的波動更大的現象。

圖4 電流為100 mA時單個線圈的空間磁場分布

2.4 亥姆霍茲線圈的空間磁場分布

圖5為當電流值為100 mA時，一組亥姆霍茲線圈軸線上的磁感強度(y=0 cm)和分別上移2、4、6 cm空間各點的磁感強度(y=2、4、6 cm)。在y=0、2 cm時磁場強度分布比較均勻，在豎直方向偏移更大時磁場的分布有了顯著變化，磁場強度呈現出兩邊大、中間小的特點，而且y越大，磁場大小變化的幅度越大。兩邊的磁場大小明顯大于軸線同一位置的磁場大小，在兩個線圈中點位置附近的磁場大小又明顯小于軸線同一位置的磁場大小。偏離軸線位置的點在兩個線圈中點位置附近時距離兩線圈位置變遠，亥姆霍茲線圈在此處產生的磁場會變小，所以y值較大時的點在兩個線圈中點位置附近磁場比軸線位置處要小。偏離軸線位置的點在單個線圈位置附近時，與x軸同一位置的軸線上的點相比更靠近單個線圈，線圈在此處產生的磁場更大，所以在偏離軸線時單個線圈位置附近的磁場會比軸線同一位置的磁場更大，且偏移越多，磁感強度就越大。

圖5 電流為100 mA時亥姆霍茲線圈的空間磁場分布

3 真空磁導率的擬合

圖6為利用軸線處磁場計算得出的真空磁導率的值(黑色折線)和計算所得平均值(紅色虛線)與理論真空磁導率(黑色實線)的值。

圖6 真空磁導率的擬合

利用式(3)導出真空磁導率實測值計算公式為：

(4)

由圖6可以看出：實驗測出的平均值為12.433×10-7，而理論值為12.56×10-7，計算出的真空磁導率的平均值要比理論值低。觀察分析圖2的a、b、c三圖可得，在進行磁場測量時出現了實際測出的磁場強度值要比計算所得的理論值低。利用式(4)進行分析，測得磁場值偏低會導致最終計算所得到的真空磁導率值偏低，因此出現了用實驗數據計算出的真空磁導率數值比理論值低的現象，但是誤差還是較小的。

4 結 語

通過理論計算與實測數據的分析可以得到以下結論：在電流較大時對于磁場的測量比較準確，誤差較小。亥姆霍茲線圈軸線位置處的磁場分布均勻性較好。對于單個線圈產生的磁場進行分析，偏離軸線位置時，線圈位置處的磁場強度要比軸線處的磁場強度大，遠離線圈位置處的磁場強度要比軸線處的磁場強度小。而對于兩個線圈串聯起來組成的亥姆霍茲線圈時，在偏離軸線位置，亥姆霍茲線圈中點位置附近的磁場強度較軸線位置處磁場強度小，在其中一個單個線圈附近的磁場強度較軸線位置處的磁場強度大。由于受到周圍磁場的影響及測量誤差的存在，導致測量到的磁場強度偏小，進而利用實驗值測量值計算得到的真空磁導率與理論值相比也偏小。