新冠疫情下“停課不停學”的大學物理GeoGebra仿真單擺實驗

何秋靜,楊文韜,王曉雅,支啟軍

(1.貴州師范大學 物理與電子科學學院,貴州 貴陽 550000；2.六盤水師范學院 物理與電氣工程學院,貴州 六盤水 553004)

2020年春，各高等學校積極響應“停課不停教、停課不停學”的要求，在疫情防控中充分利用已有課程積累和網絡資源，積極開展線上授課和線上學習等在線教學活動[1-3]。在此背景下，本文采用GeoGebra 5.0軟件開發了手機和電腦都可以實現小球做單擺實驗的過程。GeoGebra是為小學到大學的教學而設計的開源動態數學軟件，GeoGebra針對不同的數學物件，提供不同的視區。不同的視區提供各自適用的工具列，包含了特定的工具、指令以及內建函數與運算子，使用者可以運用不同表征的數學物件，來創造動態結構。根據GeoGebra軟件的特點，用來做物理仿真實驗，可以作為物理教學的一個工具，下面以單擺為例，利用GeoGebra軟件實現單擺實驗的演示與仿真。

如果把懸掛的小球(擺球)自平衡位置拉至一邊(擺角θ<5°)，然后釋放，擺球即在平衡位置左右做周期性擺動，這種裝置稱為單擺[4]。單擺做簡諧運動，單擺的周期與擺球質量無關，在振幅較小時與振幅無關，但與擺長有關，擺長越長，周期也越長[5-7]。單擺原理在高中甚至大學物理中占據著重要的地位，故弄清單擺的原理及特點是非常重要的。本文利用GeoGebra 5.0軟件制作了小球做單擺的演示實驗，在設計過程中嚴格遵循單擺的原理，運用微分方程推導出擺球擺動的函數關系式，提高仿真實驗的可信度。學生在操作過程中，可以更深入的掌握單擺的原理，甚至比真實實驗更加鍛煉理論推導能力。

1 實驗原理

單擺是理想的物理模型，由理想化的擺球和擺長組成，擺線的質量不計，不可伸縮[8]。

(1)如圖1，擺長為L，小球受力為：重力mg和繩子的張力T。將重力進行正交分解，重力mg可以分解為沿圓弧的切向和徑向的兩個力,L與垂線的夾角為θ,小球的位移為x。

圖1 單擺的受力分析圖

(2)根據牛頓第二定律，可以列出小球在切線方向上的運動方程：

切線方向的微分方程為：

(1)

方程兩邊消去質量m得：

(2)

(3)

(4)

在切線方向小球僅受切向力，由(2-1)式可知

(5)

由Fτ=maτ

(6)

由圓周運動公式可知：aτ=ω2x

(7)

(2-7)式即簡諧運動的微分方程

解微分方程得：θ=θ0sinωt，或θ=θ0cosωt

(8)

綜上所述，單擺的擺動近似是簡諧運動[9]。

2 用GeoGebra仿真單擺實驗過程

2.1 單擺仿真實驗的動態平面設計

GeoGebra是一款專門為理科生設計的動態數學軟件，GeoGebra軟件類似于幾何畫板式的幾何工具，它結合“幾何、代數、微積分”，可在上面畫點、向量、線段、多邊形、圓錐曲線、甚至函數[10]。通過單擺原理的理論推導，可知圓頻率ω與擺長L有關，因此在設計過程中定義小球的數學函數是關鍵。

圖2 單擺的動態平面效果圖

在3D繪制區中，基于單擺在平面坐標系的設計步驟，可繪制出單擺擺動的立體效果，單擺3D效果圖如圖3所示。

圖3 單擺的動態立體效果圖

2.2 單擺仿真實驗的正弦函數設計

單擺的擺角很小時，質點的運動可以近似的看作簡諧運動，簡諧運動的狀態可以用正弦函數來描述。

首先定義向量u[(0,-2),(3,-2)],作為時間t軸，再定義向量v[(0,-2.5),(0,-0.5)],作為y軸。定義動點D(0.04t,-2+0.2lsin(ωt)),作為小球的運動情況。定義時間t1:t1=0.01t。最后定義曲線j[0.04t1,-2+0.2lsin(ωt1),t1,0,t],作為正弦曲線。單擺的正弦函數圖像如圖4所示。

圖4 單擺的正弦函數圖像

3 仿真實驗的分析與總結

在GeoGebra平臺上設計單擺實驗的過程不僅要掌握單擺擺動的簡諧運動規律的理論知識，還要具備數學的邏輯能力。在制作仿真單擺實驗的過程中總結出了GeoGebra5.0軟件作為輔助教學的一些優點。

3.1 操作簡單，調試方便

GeoGebra 5.0軟件是定義數學物件來創造動態結構，平常所用到的線段、圓、曲線等，可直接用中文輸入代數區，中文輸入后就會顯示所對應的數學格式，在繪制過程中只需把數字插入即可。在工具欄上的滑動條，可根據所設置的變量，在區間內隨意調試，這樣可看見不同情況下的實驗效果，進而可以記錄所對應的數據，這與真實實驗收集多組數據的操作是一致的，且導出手機后可隨時觀看實驗效果，可見GeoGebra平臺有平易近人的特點。

3.2 仿真實驗與真實實驗融合度高

圖5 小球擺過和個周期的時間圖

在單擺實驗中最關鍵的就是控制擺角小于5°，在真實實驗實驗中運用工具是比較容易實現的，在GeoGebra平臺上如何保證小球的擺動幅度在5°以內呢？經研究討論，結合單擺的擺動的理論知識，單擺的擺角與擺長有關，且由(8)式可知擺角是關于時間的正弦函數，故可在2.1單擺仿真實驗的平面設計步驟中，起初定義點B的坐標為(1.3+0.2lsin(ωt),1.1-l)，但發現當l取很小時，擺度過大，已經不是單擺過程，從仿真來看，小球已經離開圓c運動，或者說圓軌跡運動與直線運動的簡諧振動已經不重合，如圖6對點B定義的效果圖(a)所示。經研究討論后定義點B的坐標為(1.3+0.1lsin(ωt),1.1-l)，這樣可以始終保證小球的擺動幅度在5°之內，如圖6對點B定義的效果圖(b)所示。

(a)

3.3 提高數學的邏輯思維能力

由于GeoGebra5.0軟件是用數學公式來指令動態結構，所以在GeoGebra平臺上做仿真實驗時，要具備數學的邏輯思維。例如，在做單擺仿真實驗的正弦函數設計時，小球擺動的時間為80時，正弦函數圖很長，不能體現小球擺動的實際運動情況，且影響美觀，如圖7所示。

圖7 單擺的正弦函數圖

由于正弦函數圖像太長，即x坐標太長。解決的方法就是壓縮，怎么壓縮函數？這就要運用數學方面知識以及邏輯思維能力，單擺繪制的正弦曲線采用參數方程繪制，將x的參數乘以一個小于1的倍數，y坐標不變就可以把函數圖像的x軸壓縮，從而把很長的時間壓縮到一個較短的坐標軸上，如圖8所示。

圖8 單擺的正弦函數圖

4 結 語

本文利用GeoGebra 5.0軟件實現了小球單擺實驗的演示與仿真，對本實驗中擺角的控制以及單擺的正弦曲線進行了巧妙設計，這將有助于學生加深對小球做單擺運動規律的理解。此外，GeoGebra 5.0軟件在小學至大學中作為一種輔助教學工具，在未來有很大的發展前景。不管是教師將GeoGebra 5.0軟件制作的動畫用于教學，還是學生拿來作為課前預習的實驗,這對于物理概念和物理規律的掌握以及運用都有很大的幫助。