最小二乘法在劈尖干涉實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

花曉彬,花世群

(江蘇大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

劈尖干涉實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中有代表性的基礎(chǔ)性光學(xué)實(shí)驗(yàn)之一。目前對(duì)劈尖干涉的研究主要有兩個(gè)方面：1.應(yīng)用研究，如直接將劈尖干涉儀用于測(cè)量激光波長(zhǎng)[1]、材料的楊氏彈性模量[2，3]和基于劈尖干涉原理的液體折射率的測(cè)量[4，5]等；2.測(cè)量方法研究，如曲鐵平等人通過(guò)研究空氣劈尖等厚干涉條紋的反襯度，提出實(shí)驗(yàn)中應(yīng)合理選擇較低級(jí)次干涉條紋[6]，朱俊等人分析了移測(cè)顯微鏡十字叉絲豎線(xiàn)與測(cè)量運(yùn)動(dòng)方向的不垂直度對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，設(shè)計(jì)了提高移測(cè)顯微鏡測(cè)量精度的十字叉絲定向器[7]，并申請(qǐng)發(fā)明專(zhuān)利[8]。上述對(duì)劈尖干涉的研究，均未涉及到數(shù)據(jù)處理方法。本文基于劈尖干涉實(shí)驗(yàn)中，移動(dòng)顯微鏡所測(cè)得的干涉條紋在水平方向的位置讀數(shù)和級(jí)次，提出應(yīng)用最小二乘法擬合空氣薄膜上表面與垂直于棱邊平面的交線(xiàn)方程,進(jìn)而獲取劈尖干涉儀所夾細(xì)絲直徑值的新方法。

1 測(cè)量原理

圖1所示的劈尖干涉儀，由兩塊光學(xué)平板玻璃一端疊合在一起，另一端夾一根細(xì)絲組成,位于上方的平板玻璃下表面與下方平板玻璃上表面之間形成的劈尖形狀空氣薄層，在單色平行光自上而下垂直入射時(shí)，利用空氣薄層上、下表面對(duì)入射光的依次反射，產(chǎn)生如圖2所示，與兩玻璃板棱邊平行的一系列明暗交替排列的直條紋，這些平行且等間距的直干涉條紋可近似認(rèn)為分布在劈尖形狀空氣薄層上表面上。

圖1 空氣劈尖干涉裝置

圖2 空氣劈尖干涉圖樣

利用如圖1所示的劈尖干涉儀裝置，測(cè)量用于產(chǎn)生空氣劈尖的細(xì)絲直徑D時(shí)，理論上可通過(guò)讀數(shù)顯微鏡，先用圖2中的顯微鏡叉絲豎線(xiàn)對(duì)準(zhǔn)劈尖干涉儀棱邊處的零級(jí)暗紋，轉(zhuǎn)動(dòng)讀數(shù)顯微鏡鼓輪，最后將顯微鏡叉絲豎線(xiàn)對(duì)準(zhǔn)細(xì)絲在距離棱邊L處產(chǎn)生的暗紋，數(shù)出顯微鏡移動(dòng)過(guò)程叉絲掃過(guò)的暗紋數(shù)K(等于劈尖干涉儀在細(xì)絲所在處產(chǎn)生的干涉暗紋級(jí)次)，再由下面公式計(jì)算得到[9]。

(1)

式中，λ=589.3 nm，為實(shí)驗(yàn)中使用的鈉光源波長(zhǎng)。

實(shí)際測(cè)量中，考慮到在距離棱邊L處的干涉暗紋級(jí)次K值較大，不易準(zhǔn)確讀出，為避免條紋數(shù)的誤讀，通常都采用測(cè)量N條干涉條紋的分布長(zhǎng)度LN，由計(jì)算得到的單位長(zhǎng)度上的干涉條紋數(shù)N/LN，進(jìn)而用公式(2)計(jì)算出細(xì)絲的直徑[10]。

(2)

如圖3所示，在劈尖干涉儀的棱邊上選擇一點(diǎn)o作為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)o點(diǎn)做一個(gè)垂直于劈尖棱邊的截面，在該截面內(nèi)建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系xoy，其中，x軸建立在與直干涉條紋相垂直的方向(即測(cè)量干涉條紋位置時(shí)讀數(shù)顯微鏡的水平移動(dòng)方向)，y軸建立在豎直向上方向。

圖3 垂直劈尖棱邊平面直角坐標(biāo)系

設(shè)圖3中劈尖形狀的空氣層上表面與平面直角坐標(biāo)系xoy的交線(xiàn)為op，則交線(xiàn)op在xoy平面內(nèi)的直線(xiàn)可表示為如下方程

y=kx

(3)

其中，k為直線(xiàn)op的斜率。

若在圖2中移動(dòng)讀數(shù)顯微鏡觀(guān)測(cè)干涉條紋時(shí)，顯微鏡中的十字叉絲豎線(xiàn)起始對(duì)準(zhǔn)的條紋位置讀數(shù)為s0，沿與干涉條紋垂直的方向(即x軸正方向)移動(dòng)讀數(shù)顯微鏡，連續(xù)測(cè)得圖2中每隔N個(gè)條紋的位置讀數(shù)，并將結(jié)果分用s1、s2、…、sM(M表示測(cè)點(diǎn)的數(shù)目)表示?，F(xiàn)將平面直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)o平移到條紋的起始測(cè)量位置o′處，則在平移后的平面直角坐標(biāo)系x′o′y′中，上述M組條紋位置測(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)可用公式(3)表示為

(4)

考慮到空氣劈尖干涉實(shí)驗(yàn)中入射光的垂直入射條件，相鄰兩個(gè)級(jí)次的暗紋在豎直方向空氣層厚度差為二分之一波長(zhǎng)，則在平面直角坐標(biāo)系x′o′y′中，上述M組條紋位置測(cè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值可用公式(5)表示為

(5)

y′=kx′

(6)

將方程(6)中擬合得到的直線(xiàn)斜率k和圖1中細(xì)絲相距棱邊的距離L作為橫坐標(biāo)值一同代入方程(3)的右端，算得的乘積即為細(xì)絲直徑值D。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證文中提出的新的數(shù)據(jù)處理方法，按通常的實(shí)驗(yàn)操作步驟對(duì)長(zhǎng)度L=55 mm空氣劈尖進(jìn)行了實(shí)際測(cè)量，N=30，M=4，其他數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 條紋位置坐標(biāo)數(shù)據(jù) (10-3mm)

采用最小二乘法，將表1測(cè)量數(shù)據(jù)代入公式(6)進(jìn)行直線(xiàn)擬合(如圖4所示)，擬合結(jié)果如下：

圖4 交線(xiàn)op直線(xiàn)方程擬合

y′=0.001 922 54x′,R2=0.999 999 54

將擬合所得交線(xiàn)op斜率k=0.001 922 54和L=55mm一同代入方程(3)的右端，求得細(xì)絲直徑D=0.105 74mm。

由表1測(cè)量數(shù)據(jù)，可得30條干涉條紋的分布長(zhǎng)度平均值LN=(34.798-16.401)/4=4.599 2mm，按公式(1)求得的細(xì)絲直徑值D=0.105 71mm。比較新舊兩種數(shù)據(jù)處理方法所得結(jié)果，兩者相對(duì)誤差為0.031%。

3 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)將空氣劈尖干涉實(shí)驗(yàn)中觀(guān)測(cè)到的等厚干涉條紋位置讀數(shù)和級(jí)次差數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)化為劈尖干涉儀中空氣薄層上表面與棱邊相垂直的直線(xiàn)上的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)，并采用最小二乘法擬合直線(xiàn)方程,求得細(xì)絲直徑的新方法不僅可行，而且結(jié)果可靠的。另外，新的數(shù)據(jù)處理方法不僅通過(guò)實(shí)驗(yàn)中體現(xiàn)的物理原理和思想，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)劈尖等厚干涉特點(diǎn)的理解，還訓(xùn)練了學(xué)生學(xué)會(huì)用物理語(yǔ)言和基本的數(shù)學(xué)方法處理科學(xué)問(wèn)題。