考慮土體不排水強度非平穩性對條形基礎承載力影響的可靠度分析

嚴柏楊，張京伍，朱德勝，葛 彬，舒 爽

(1.河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室，江蘇 南京 210098；2.東華理工大學 土木與建筑工程學院，江西 南昌 330013；3.揚州大學 建筑科學與工程學院，江蘇 揚州 225009)

基礎的極限承載力一直是巖土工程界關注的熱點問題，國內外眾多學者在基礎的承載力方面運用數值方法[1-2]，實驗方法[3-4]和理論方法[5-6]進行了深入研究，并且獲得了豐碩的成果。然而，在這些研究中土體的參數都被考慮成確定性的。由于沉積和沉積后的過程，即使在均勻土層內，土體性質也會在空間上發生變化。土體性質的內在固有空間變異性是巖土工程不確定性的主要來源之一，對基礎承載力有著重要的影響。近年來采用隨機場理論來分析巖土工程相關問題已經越來越受到國內外學者的關注，例如陳朝暉等[7]分析了土的抗剪強度參數空間變異性對邊坡穩定性的影響，并與三種典型極限平衡法進行了對比；Griffiths和Fenton[8]建立了二維情況下基礎不均勻沉降的隨機有限元模型，并分析了相關距離和變異系數對基礎不均勻沉降的影響。在地基承載力方面，倪紅等[9]結合工程實例分析了土性參數特性對地基承載力可靠度指標的影響規律；張春會等[10]研究了黏土粘聚力的變異系數對條形基礎地基承載力的影響。然而這些研究沒有考慮到土體參數隨著深度線性增加的變異趨勢。Li等[11]指出，使用土體不排水強度的平穩隨機場不能準確地評估基礎失效概率。在目前的文獻中，鮮有非平穩隨機場模型中基礎極限承載力的分析。

本文以條形淺基礎為例，探究土體不排水強度的非平穩性以及相關距離對極限承載力的影響。結合隨機有限單元法與蒙特卡羅模擬，對條形基礎的承載力和可靠性進行了分析，探討了土體參數非平穩程度和相關距離對承載力隨機響應的影響。從實際工程設計角度出發，給出了失效概率的變化規律和相應的安全系數取值。

1 隨機場理論

本文以模擬土體不排水抗剪強度su的變異來分析極限承載力的隨機響應問題。不排水抗剪強度的空間變異性一般用均值、變異系數和相關距離來表征。不排水抗剪強度的均值符合對數正態分布，并隨著深度線性增長，滿足如下關系：

su=su0+kz

(1)

式(1)中su0為土體表面的不排水抗剪強度，k和z分別為非平穩系數和深度。su0的典型值在 0到10 kPa之間，k的取值范圍在0～3.5 kPa/m之間[12]。變異系數的建議值在10%～50%之間。目前文獻中對不排水抗剪強度相關距離的闡述較少，本文選取各向同性的相關距離進行研究，采用的分析參數具體見表1。

表1 隨機場模擬參數

2 隨機有限元模型

使用有限元軟件Abaqus 6.14版本在二維平面應變條件下建模并進行極限承載力的分析。如圖1所示，假設條形基礎為粗糙剛體，置于土層上部，寬度B=10 m，高度H=1 m。條形基礎與土的接觸面使用軟件中的“tie”類型進行約束，確保基礎與土體之間無相對位移。土體本構模型采用線性-彈性完全塑性本構模型，采用Tresca破壞準則。彈性響應由楊氏模量和泊松比定義，楊氏模量與不排水抗剪強度滿足關系E=500su，這樣既不影響計算結果的準確性，同時又可以提高計算效率；泊松比設置為0.495，以模擬無體積變化的不排水條件。

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element model

土體區域模型高度為20 m (2B)，寬度為70 m (7B)，可以確保無明顯的邊界效應產生。土體左右邊界被限制水平位移，下部邊界的水平和豎向位移被同時限定。依據Der Kiureghian和Ke[13]的研究結果，為了在隨機有限元分析中保證結果的準確性，網格的尺寸不應超過水平或豎直相關距離的0.5倍。本文考慮的最小相關距離為1 m，因此網格尺寸設定為0.5 m×0.5 m，類型為四結點雙線性平面應變減縮積分四邊形單元。

以確定性情況下su=10 kPa為例來驗證有限元模型的合理性。根據傳統的承載力系數定義Nc=q/su0(q為計算得到的極限承載力)，本文模型的結果為5.37，比Prandlt解Nc=5.14高出了約4%。與Cassidy等[14]的數值解Nc=5.28相比高出了約1.6%，這主要是由于本文比較粗糙的網格劃分導致的，進一步細化網格可以使結果更加接近于Prandtl解析解和Cassidy等[14]的數值解。

3 結果與討論

蒙特卡羅模擬的次數對隨機場結果的精度有很大的影響，為了獲得較好的計算精度，本文所有工況采用500次蒙特卡羅模擬。圖2以工況k=0，L=1 m為例，展示了承載力系數隨機響應的均值與方差隨著蒙特卡羅模擬次數變化的規律。可以看出隨著模擬次數的增加，承載力的均值與方差約在第350次模擬時基本趨于平緩，由此可見本文采用的500次蒙特卡羅模擬完全可以獲得良好的隨機響應精度。

圖2 k=0，L=1 m工況下蒙特卡羅模擬次數對承載力的影響Fig.2 The effect of Monte Carlo simulations on bearing capacity when k=0，L=1 m

圖3展現了不同相關距離對基礎承載力系數的影響。圖片縱軸為承載力系數，即承載力均值與之相對的確定性結果歸一化之后的結果，可以看出當引入隨機場進行分析后這些值均小于1。隨著相關距離的增大，承載力系數先減小再增大。對于不同非平穩程度，最小值均出現在L=10 m處，即相關距離與基礎寬度相等，這與Griffiths等[8]的結果一致。相關距離較大時，土體參數局部平均效應的影響減弱，使得承載力得到了顯著提升。

圖3 相關距離對基礎承載力系數的影響Fig.3 The effect of spatial correlation length on the foundation bearing capacity factor

不同非平穩程度對基礎承載力的影響見圖4。承載力系數與非平穩程度呈現正相關趨勢，土體不排水強度非平穩程度越高，承載力系數越大。這是由于基礎下方土體的強度隨著非平穩程度的提高而增大，導致了極限承載力的增加。

圖4 非平穩程度對基礎承載力系數的影響Fig.4 The effect of degree of non-stationarity on the foundation bearing capacity factor

承載力標準差(SD)隨著相關距離的變化如圖5所示。可以看出在相關距離較小時，標準差幾乎隨著相關距離的增加而線性增加；對于較大的相關距離，曲線變得逐漸平緩，增長幅度明顯減小。非平穩程度系數對標準差的影響也是十分顯著的，相同的相關距離下，非平穩程度系數越大，標準差越大。主要原因是相關距離較小時，土體的不排水抗剪強度在較小的區域內波動劇烈，局部平均效應變得顯著，導致承載力的標準差較低；相反，當相關距離較大時，基礎下方土體可能出現較大區域的高強度土體或低強度土體，使得承載力的標準差變大。

圖5 承載力標準差與相關距離之間的變化規律Fig.5 The relation between the standard deviation of bearing capacity and spatial correlation length

圖6 L=1 m時典型破壞面云圖Fig.6 Typical failure plane contours when L=1 m

圖7 k=1 kPa/m時典型破壞面云圖Fig.7 Typical failure plane contours when k=1 kPa/m

圖6為相關距離L=1 m時的典型破壞面云圖。為了使破壞面具有可比性，所有隨機有限元實現中的隨機場均來源于相同的基準場，即相同的隨機模式但是不同的數值。比較圖6中的四幅破壞面云圖可以看出：隨著非平穩程度的不斷提高，破壞面的長度在不斷減小，同時土體受影響區域面積也逐漸減小。以往研究表明，破壞面的長度、數量和破壞面穿過土體的強度與基礎承載力有著密切的聯系。雖然在k=3 kPa/m時破壞面長度最短，但是仍然擁有最高的承載力。

在同一非平穩程度下，不同相關距離對破壞面的影響見圖7。可以看出，隨著相關距離變大，總體上破壞面的長度和數量也在增加。雖然圖7(a)中的破壞面長度相比其他三幅圖要長，但是由于受局部平均效應的影響，基礎下部軟弱土層較多，使得其承載力與其他相關距離下相比較小。

圖8給出了k=1 kPa/m，L分別等于5和40 m時的承載力系數概率分布函數(PDF)。基于卡方擬合優度檢驗，可以用正態分布函數來表征所有相關情況下的分布。值得注意的是，L較小時的PDF曲線分布要比較大L時的PDF曲線窄。這種現象是可以預料到的，因為隨著相關距離的增加，承載力因子的COV逐漸增大。

圖8 k=1 kPa/m時的承載力系數概率分布函數(PDF)Fig.8 The probability distribution function of bearing capacity factor under the condition of k=1 kPa/m

在傳統的基礎設計中，極限承載力是用不排水抗剪強度的平均值來計算的，而許用荷載是通過引入全局安全系數(FS)來計算的。通過引入安全系數的概念，當承載力系數服從正態分布時，其破壞概率可計算為:

(2)

式中，Φ為對數正態累積分布函數；λNc和ξNc分別是取對數后承載力系數的平均值和標準差。

圖9給出了不同安全系數下失效概率隨著相關距離變化的規律。對比三張圖可以看出，隨著安全系數的增加，失效概率不斷地減小。在相同安全系數下，當L在1到40 m之間時，失效概率不斷增大；當L大于40 m時，失效概率趨于平緩。

圖9 失效概率隨相關距離變化規律Fig.9 The relation between the probability of failure and spatial correlation length

不同非平穩程度對失效概率的影響見圖10。可以看出隨著非平穩程度的提高，基礎的失效概率在逐漸增大。工程中一般要求將基礎的失效概率控制在10-3至10-2之間，當FS=2.7時，即可滿足工程設計要求。

圖10 失效概率隨非平穩程度變化規律Fig.10 The relation between the probability of failure and degree of non-stationarity

4 結論

1)土體參數的非平穩性和相關距離對基礎的承載力影響顯著。隨著非平穩程度的提高，基礎的承載力逐漸增大。在相關距離小于基礎寬度時，承載力逐漸減小，當相關距離大于基礎寬度時，承載力隨著相關距離的變大而變大。

2)總體來說，非平穩程度較大時，破壞面數量較少，分布較淺；相關距離越大，破壞面分布變廣，破壞面的數量也相應增加。

3)基礎的失效概率與非平穩程度和相關距離成正相關的關系。在本文考慮的參數范圍內基礎設計選取安全系數等于2.7可以滿足設計要求。