基于改進極限學(xué)習(xí)機的多維參數(shù)天線設(shè)計方法*

孟雯雯，胡 聰，趙建平，徐 娟

（曲阜師范大學(xué)，山東 曲阜 273165）

0 引言

隨著現(xiàn)代通信技術(shù)的發(fā)展，通信系統(tǒng)對微波天線的要求日益嚴(yán)格，天線模型也越來越復(fù)雜。為了使微波天線滿足通信系統(tǒng)的不同需求，需要不斷對其進行優(yōu)化設(shè)計。

隨著計算機計算能力的提高，同時為了提高微波天線的設(shè)計效率，降低時間成本，利用計算機輔助設(shè)計優(yōu)化設(shè)計微波天已經(jīng)成為一種必然趨勢。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種快速建立映射關(guān)系的方法[1-2]，理論表明，只需兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)便可表征任意高階的非線性函數(shù)輸入與輸出之間的關(guān)系[3]，但是傳統(tǒng)的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要經(jīng)過大量的迭代來優(yōu)化其網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，存在訓(xùn)練速度慢、學(xué)習(xí)能力差、預(yù)測不準(zhǔn)確等問題。

極限學(xué)習(xí)機（Extreme Learning Machine，ELM）是一種基于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的新型機器學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)速度快，并且具有良好的泛化能力[4]，因此可以通過其來建立微波天線設(shè)計參數(shù)與響應(yīng)之間的關(guān)系模型，以代替煩瑣復(fù)雜的數(shù)值或全波電磁仿真計算。為了使建立的模型擁有較高的精度，ELM通常需要大量的訓(xùn)練樣本來進行學(xué)習(xí)，過多的訓(xùn)練樣本又會導(dǎo)致時間成本的提高。

鑒于此，本文提出一種改進的極限學(xué)習(xí)機方法，該方法旨在利用較少的訓(xùn)練樣本得到較高的預(yù)測準(zhǔn)確度，并采用該方法建立微波天線設(shè)計參數(shù)與響應(yīng)之間的關(guān)系；該方法同時結(jié)合拉丁超立方抽樣獲取訓(xùn)練樣本的設(shè)計參數(shù)，提高訓(xùn)練樣本的質(zhì)量；通過HFSS-Matlab-Api庫函數(shù)實現(xiàn)微波天線的自動化設(shè)計，節(jié)省人力成本。

1 理論原理

1.1 極限學(xué)習(xí)機

極限學(xué)習(xí)機比傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)算法速度更快，泛化能力更強，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 極限學(xué)習(xí)機網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

圖1中，x為網(wǎng)絡(luò)輸入，y為網(wǎng)絡(luò)輸出，L為隱含層神經(jīng)元數(shù)目，ω為輸入層到隱含層的輸入權(quán)重，表示如下：

θ為隱含層神經(jīng)元的閾值，表示如下：

β為隱含層到輸出層的輸出權(quán)重。

在極限學(xué)習(xí)機中，L由人為確定，因此網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為輸入權(quán)重ω、隱含層神經(jīng)元閾值θ以及輸出權(quán)重β。

在實際工作中，極限學(xué)習(xí)機包括訓(xùn)練和預(yù)測兩個過程。

（1）訓(xùn)練過程：已知極限學(xué)習(xí)機訓(xùn)練樣本的輸入和輸出，求輸入與輸出之間的映射關(guān)系。

設(shè)有N個任意的訓(xùn)練樣本(Xi,Yi)，輸入Xi為n維，即Xi=[xi1,xi2,…,xin]T，輸出Yi為m維，即Yi=[yi1,yi2,…,yim]T，隱含層為L個神經(jīng)元的極限學(xué)習(xí)機可以表示如下：

式中，Wi=[wi1,wi2,…,win]T為輸入權(quán)重，θi為隱含層第i個神經(jīng)元的閾值，βi為輸出權(quán)重，·表示內(nèi)積，g(x)為激活函數(shù)。

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的目標(biāo)是使網(wǎng)絡(luò)的輸出與樣本的輸出誤差最小，表示為：

在極限學(xué)習(xí)機中，如果輸入權(quán)重Wi和閾值θi被隨機或人為給定，那么式（6）中的矩陣H就被唯一確定，則輸出權(quán)重β可通過下式計算得到：

式中，H+為矩陣H的廣義逆。

（2）預(yù)測過程：已知極限學(xué)習(xí)機的輸入和輸出之間的映射關(guān)系，求極限學(xué)習(xí)機的輸出。

在預(yù)測過程中，極限學(xué)習(xí)機輸入權(quán)重ω、閾值θ和輸出權(quán)重β已知，給定樣本輸入X，根據(jù)式（6）～式（9）便可求得樣本輸出Y。

傳統(tǒng)的極限學(xué)習(xí)機的輸入權(quán)重和閾值是隨機或人為給定的，因此預(yù)測具有一定的不確定性，且準(zhǔn)確度較低。為了提高極限學(xué)習(xí)機的預(yù)測能力，降低訓(xùn)練樣本數(shù)量，利用頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法確定其最優(yōu)的輸入權(quán)重和閾值，利用最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的極限學(xué)習(xí)機建立天線設(shè)計參數(shù)與響應(yīng)之間的映射關(guān)系。

1.2 基于反向?qū)W習(xí)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法

頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法（Brain Storm Optimization Algorithm，BSO）是根據(jù)人類在群體決策時進行頭腦風(fēng)暴會議的啟發(fā)而提出的新的群智能優(yōu)化算法，算法采用聚類的思想搜索局部最優(yōu)解，通過迭代比較局部最優(yōu)解，最終得到全局最優(yōu)解，在求解大規(guī)模高維函數(shù)最優(yōu)化問題時具有巨大優(yōu)勢。

傳統(tǒng)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法采用隨機策略初始化產(chǎn)生初始解，由于初始解質(zhì)量不確定，導(dǎo)致最終迭代結(jié)果的質(zhì)量和收斂速度較差。因此，本文提出基于反向?qū)W習(xí)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法以優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機的輸入權(quán)重和閾值。

反向?qū)W習(xí)策略[5]的主要思想是尋找初始種群的反向種群，通過當(dāng)前種群與反向種群之間的競爭，選取最優(yōu)的解進行后續(xù)的迭代優(yōu)化過程。

圖2 反向數(shù)示意圖

如圖2所示，在D維空間中，存在點x=(x1,x2,…,xD)，其中x1,x2,…,xD∈R且則反向數(shù)定義如下：

由所有反向數(shù)組成反向點，定義如下：

在種群初始化中，同時計算x和的適應(yīng)度值，保留適應(yīng)度值優(yōu)的作為候選解，定義如下：

基于反向?qū)W習(xí)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法步驟如下：

（1）采用式（14）初始化產(chǎn)生N個初始解，計算N個初始解的反向點。

（2）根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算所有初始解及反向點的適應(yīng)度值，通過比較確定最優(yōu)的初始解。

（3）根據(jù)相似性，利用K均值聚類將初始解分成M個類，計算初始解的適應(yīng)度值，挑選出每個類中適應(yīng)度值最優(yōu)的解作為類中心。

（4）設(shè)置P1值，隨機生成范圍為[0,1]的數(shù)r1，如果r1

（5）設(shè)置P2值，隨機生成范圍為[0,1]的數(shù)r2，如果r2

（a）基于一個類生成新的解：根據(jù)類包含的解的數(shù)量來選擇根據(jù)哪一個類生成新解，一個類包含的解越多，那么這個類被選擇的機會就越大。然后判斷使用被選擇的類的中心還是同一類中的隨機解生成新解，該操作由P3控制，隨機生成范圍為[0,1]的數(shù)r3，如果r3

式中，N(0,1)是均值為0和方差為1的高斯隨機值，ξ是控制高斯隨機值的系數(shù)，計算如下：

式中，T是最大迭代次數(shù)，t是當(dāng)前迭代次數(shù)。加權(quán)系數(shù)ξ(t)在初始迭代期間將有較大的值，在最終迭代期間將有較小的值，有利于在初期擴大搜索范圍，在后期提高搜索精度。

（b）基于兩個類生成新思想：該步驟與（a）類似，隨機選擇兩個類，然后判斷使用被選擇的兩個類的中心還是兩個類中的隨機思想生成新思想，該操作由P4控制，隨機生成范圍為[0,1]的數(shù)r3，如果r3

式中，R是范圍為[0,1]的隨機數(shù)，然后通過式（15）生成新的想法。

步驟（3）中偶爾利用隨機生成的解替換類中心，可以避免算法陷入局部最優(yōu)。步驟（4）中基于一個類生成新的解能夠使算法收斂到一定區(qū)域內(nèi)，加快算法收斂速度；基于兩個類生成新的解有助于提高算法的探索能力，避免陷入局部最優(yōu)。該算法在保證收斂性的情況下搜索全局最優(yōu)解，非常適合于求解高維函數(shù)的優(yōu)化問題。

1.3 拉丁超立方抽樣

拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）是一種從多元參數(shù)分布中近似隨機抽樣的方法，可以以較少的采樣次數(shù)獲得較高的采樣精度，使樣本均勻產(chǎn)生在各個區(qū)間。

設(shè)在n維向量空間中抽取m個樣本，LHS的步驟如下：

（1）將n維向量空間中的每一維度分成互不重合的m個均勻區(qū)間，使每個區(qū)間有相同的概率；

（2）在每一維度里的每個區(qū)間中隨機抽取一點；

（3）從每一維度里隨機抽取（2）中選取的點，將它們組成向量。

在二維向量空間中抽取10個樣本，每維度取值范圍為[-10,10]，LHS模擬抽樣結(jié)果如圖3所示。

圖3 二維空間LHS模擬抽樣結(jié)果

1.4 Matlab-HFSS聯(lián)合仿真

HFSS-Matlab-Api是Matlab軟件中的一個庫函數(shù)，利用該庫函數(shù)可以實現(xiàn)HFSS軟件腳本的生成、修改和運行，通過在腳本中寫入HFSS模型建模、修改設(shè)計參數(shù)等代碼，即可實現(xiàn)Matlab控制HFSS軟件仿真。

利用HFSS-Matlab-Api實現(xiàn)Matlab-HFSS聯(lián)合仿真的方法有兩種：

（1）直接在Matlab中利用HFSS-Matlab-Api編寫腳本并運行，調(diào)用HFSS進行模型創(chuàng)建、仿真等操作，實現(xiàn)全自動化。

該方法可以使模型的建立工作完全在Matlab中實現(xiàn)，無須在HFSS模型中繪制，對于建立設(shè)計參數(shù)精細(xì)和具有周期性結(jié)構(gòu)的模型非常方便。但是由于在Matlab編程過程中不會出現(xiàn)直觀模型，所以需要編程者具有極強的空間想象力。此外，在需要反復(fù)調(diào)用腳本修改模型的設(shè)計參數(shù)時，每次運行腳本都要在HFSS中重新建立模型，使得在優(yōu)化設(shè)計的過程中增加了許多繁瑣的操作。

（2）模型在HFSS中建立，在修改設(shè)計參數(shù)的過程中記錄腳本文件，然后通過Matlab打開腳本文件，利用HFSS-Matlab-Api把需要修改的設(shè)計參數(shù)寫入腳本并運行。

該方法由于模型在HFSS中建立，因此可以直觀顯示模型的三維圖像，同時操作簡單，只需利用腳本修改指定的部分即可，在運行腳本后也只調(diào)用HFSS進行相應(yīng)部分的操作。

本文僅利用Matlab-HFSS聯(lián)合仿真技術(shù)實現(xiàn)修改天線設(shè)計參數(shù)、仿真和輸出仿真結(jié)果的過程，因此采用第二種方法。

1.5 基于改進極限學(xué)習(xí)機的多維參數(shù)天線設(shè)計方法

基于改進極限學(xué)習(xí)機的多維參數(shù)天線設(shè)計方法流程圖如圖4所示，具體步驟如下：

（1）通過拉丁超立方抽樣獲取一定數(shù)量的訓(xùn)練樣本；

（2）根據(jù)訓(xùn)練樣本，利用基于反向?qū)W習(xí)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法確定極限學(xué)習(xí)機網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)的輸入權(quán)重和閾值；

（3）利用最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的極限學(xué)習(xí)機建立天線設(shè)計參數(shù)與響應(yīng)之間的映射關(guān)系；

（4）給出天線目標(biāo)響應(yīng)，預(yù)測其設(shè)計參數(shù)，如果預(yù)測設(shè)計參數(shù)的響應(yīng)滿足設(shè)計指標(biāo)，則結(jié)束，若不滿足，則將該預(yù)測設(shè)計參數(shù)與響應(yīng)作為新的訓(xùn)練樣本添加到原訓(xùn)練樣本集中，返回步驟（2）。

圖4 多維設(shè)計參數(shù)天線設(shè)計流程

2 設(shè)計實例

2.1 疊層微帶天線模型

疊層微帶天線[7]的結(jié)構(gòu)由一個E型貼片天線和上層介質(zhì)基板以及輻射貼片組成，主要包括上下介質(zhì)基板、接地板、同軸饋線和兩個輻射貼片，其中介質(zhì)基板為相對介電常數(shù)為1的空氣。疊層微帶天線模型及主視圖如圖5所示，下層E型貼片天線俯視圖如圖6所示。

圖5 天線模型及主視圖

圖6 下層E型貼片天線俯視圖

2.2 疊層微帶天線設(shè)計

要求該天線工作頻率覆蓋4.7～6.6 GHz，即設(shè)計指標(biāo)為：

根據(jù)設(shè)計指標(biāo)（18）設(shè)計的理想目標(biāo)響應(yīng)如圖7所示，理想響應(yīng)應(yīng)該如圖藍(lán)色虛線所示，S11在工作頻率范圍內(nèi)盡可能小于-10 dB，在其他頻率范圍內(nèi)盡可能大于-10 dB，但是考慮到實際中天線響應(yīng)是非理想的，因此設(shè)計了如圖實線所示的響應(yīng)。

圖7 目標(biāo)響應(yīng)

利用拉丁超立方抽樣獲取50個樣本的設(shè)計參數(shù)，每個設(shè)計參數(shù)上、下限取值如表1所示。

表1 設(shè)計參數(shù)上、下限取值

通過HFSS-Matlab-Api調(diào)用HFSS軟件對50個樣本設(shè)計參數(shù)仿真，保存響應(yīng)并導(dǎo)入Matlab。計算50個樣本響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，選擇相關(guān)系數(shù)最大的第38個樣本作為優(yōu)化樣本。

利用極限學(xué)習(xí)機對其余樣本進行訓(xùn)練，預(yù)測優(yōu)化樣本響應(yīng)的設(shè)計參數(shù)，頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法優(yōu)化得到使適應(yīng)度函數(shù)最小的極限學(xué)習(xí)機輸入權(quán)重和閾值，頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)為：

式中，X*(38)為極限學(xué)習(xí)機預(yù)測的第38個樣本的設(shè)計參數(shù)，X(38)為第38個樣本實際的設(shè)計參數(shù)。

將頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法得到的最優(yōu)輸入權(quán)重和閾值代入極限學(xué)習(xí)機，在訓(xùn)練過程中，以上述50個樣本的響應(yīng)作為輸入，對應(yīng)的設(shè)計參數(shù)作為輸出，建立介質(zhì)諧振器天線設(shè)計參數(shù)與響應(yīng)之間的映射關(guān)系。

在預(yù)測過程中，以目標(biāo)響應(yīng)作為輸入，通過預(yù)測得到輸出，即疊層微帶天線的設(shè)計參數(shù)為：

在Matlab中通過HFSS-Matlab-Api調(diào)用HFSS對設(shè)計參數(shù)X′(1)進行仿真驗證，并與目標(biāo)響應(yīng)比較，結(jié)果如圖8所示。

圖8 X′(1)響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)

由于不滿足設(shè)計指標(biāo)，因此將該設(shè)計參數(shù)及其響應(yīng)作為第51個訓(xùn)練樣本，計算響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，再次執(zhí)行頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法、極限學(xué)習(xí)機訓(xùn)練和預(yù)測過程，最終預(yù)測疊層微帶天線的設(shè)計參數(shù)如下：

調(diào)用HFSS對設(shè)計參數(shù)X′(2)進行仿真，設(shè)計響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)的比較結(jié)果如圖9所示。

圖9 X′(2)響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)

2.3 結(jié)果分析

由圖9可以看出，在4.7～6.6 GHz頻率范圍內(nèi)，X′(2)的響應(yīng)在-10 dB以下，在其他頻率范圍內(nèi)所有響應(yīng)均大于-10 dB，滿足設(shè)計指標(biāo)，但是由于受天線本身限制，這些響應(yīng)并不與目標(biāo)響應(yīng)完全重合，該情況在允許范圍之內(nèi)。通過對極限學(xué)習(xí)機預(yù)測的設(shè)計參數(shù)進行分析，發(fā)現(xiàn)其中有些維度超出了獲取樣本時拉丁超立方抽樣方法設(shè)置的上、下限取值，該例說明采用改進極限學(xué)習(xí)機預(yù)測的設(shè)計參數(shù)不局限于樣本的設(shè)計參數(shù)范圍內(nèi)，即改進極限學(xué)習(xí)機方法具有很好的泛化能力。

該介質(zhì)諧振器天線的輻射方向如圖10所示，由圖可以看出，該天線主輻射方向為z軸正方向，主輻射方向增益最大為9.54 dB，同時方向性也比較好。

圖10 輻射方向圖

3 結(jié)語

本文提出了一種多維設(shè)計參數(shù)天線的優(yōu)化設(shè)計方法，該方法以極限學(xué)習(xí)機為基礎(chǔ)，利用頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法確定極限學(xué)習(xí)機最優(yōu)的輸入權(quán)重和閾值，提高了極限學(xué)習(xí)機質(zhì)量；采用拉丁超立方抽樣解決了樣本獲取困難的問題，同時采用Matlab-HFSS聯(lián)合仿真，實現(xiàn)了自動化設(shè)計，大大節(jié)省了天線設(shè)計過程所需要的時間。通過對多維設(shè)計參數(shù)疊層微帶天線設(shè)計，說明了該方法的可行性及有效性。