高噪聲圖像的結構性缺失低秩矩陣重建算法

張虹， 左鑫蘭， 黃瑤

(三峽大學 計算機與信息學院，湖北 宜昌 443002)

在互聯網及通信等有關領域中，用戶對優質服務需求的逐漸增長，催生了海量數據應用[1-2]。此類應用一般需要針對海量數據進行處理，為方便數據的計算與處理，存儲形式一般為矩陣形式。圖像降噪作為機器學習和計算機視覺等眾多領域的熱點內容，對高噪聲圖像進行矩陣重建是降噪方法之一。特別是在大數據提出之后，面臨矩陣重建以及更多矩陣元素結構性缺失的問題[3]。因此，針對高噪聲圖像的結構性元素缺失矩陣進行重建研究意義重大。

目前低秩矩陣被廣泛應用到信息處理中，當圖像存在結構性缺失情況時，再次處理圖像信息時需要進行矩陣修復或填充。楊帥鋒等[4]提出利用低秩矩陣和字典學習方法保留圖片信息，采用雙三線性插值方法進行矩陣重建；由于稀疏性和矩陣秩的替代函數是非凸的和不連續的特性，Chen[5]通過非凸和不可分離的正則化同時進行稀疏和低秩矩陣重構，該方法的收斂性較好；Zhang等[6]估計低秩矩陣的列子空間，利用子空間信息進行低秩矩陣重建，使低秩矩陣的表示適應噪聲水平；Ongie等[7]利用傅里葉數據構建的卷積結構矩陣，引用泛型迭代重加權湮沒濾波器算法恢復低秩矩陣。為了優化圖像高效去噪、圖像填充等效果，提出基于重加權的高噪聲圖像的結構性缺失低秩矩陣重建算法。

1 高噪聲圖像的結構性缺失低秩矩陣重建

1.1 高噪聲圖像初步處理

在高噪聲圖像進行結構性缺失低秩矩陣重建過程中，為了得到重建之后的高精度圖像。利用優化后的鄰域平均方法處理低頻子帶圖像，利用中值濾波和閾值處理以及小波系數法對高頻子帶圖像中的脈沖噪聲進行處理。針對處理之后的各個子帶圖像利用小波逆變換獲取恢復圖像，實現高噪聲圖像初步處理。

1)低頻子帶圖像處理。

引入優化后的鄰域平均方法針對低頻子帶圖像實行濾波操作。假設圖像像素灰度值是w(i,j)，為了減少去噪過程中的模糊失真情況，將窗口中原本的像素灰度值定義為：

(1)

式中：w′(i,j)代表以像素w(i,j)為中心，且大小是M×N窗口范圍內的像素均值；T代表自適應閾值，閾值取決于像素中心點到窗口范圍的像素定點距離。

2)高頻子帶圖像處理。

綜合考量各個子帶圖像存在一定方向性，由此針對水平方向的高頻子帶圖像根據水平窗口實現濾波，而垂直方向的高頻子帶圖像通過垂直窗口實現濾波，斜高方向上的子帶圖像通過十字形窗口實現濾波。引入像素鄰域局部能量方法識別脈沖噪聲點，將較局部能量大的點當作脈沖噪聲點。

例3×3窗口，像素w(i,j)鄰域存在圖1所示2種情形。當像素w(i,j)鄰域是圖1(a)中的情形，則像素w(i,j)鄰域范圍內局部能量表達式為：

(2)

鄰域窗口內的中心像素局部能量值E(i,j)取E1(i,j)、E2(i,j)最大值，表達式為：

E(i,j)=max[E1(i,j),E2(i,j)]

假設鄰域窗口中局部能量的閾值表達式為：

(3)

式中K代表經驗常量。由此識別某點為脈沖噪聲點與否的條件可表示為：

E(i,j)>Th

(4)

將能夠滿足式(4)的脈沖噪聲根據中值濾波器進行處理。根據各個尺度下各子窗口范圍內小波系數為：

ηT[w(i,j)]=sgn[w(i,j)][|w(i,j)|k-Thk,l]=

(5)

以獲取增強圖像滿足視覺需求為目的，將各個尺度下子帶圖像實行系數增強操作。將分解后經濾波的各個子帶圖像實行小波逆變換，以此獲取濾除噪聲的圖像。

圖1 像素鄰域情形Fig.1 Pixel neighborhood scenario

1.2 結構性缺失低秩矩陣重建

基于上述高噪聲圖像初步處理，引入重加權策略，實現結構性缺失低秩矩陣重建。

1)重建模型構建。

依據低秩與稀疏2種特性，結合重加權策略，獲取一個性能優越的結構性缺失低秩矩陣重建模型：

(6)

式中：B′代表系數矩陣，即原始的低秩矩陣A′基于字典Φ的系數矩陣。在重建模型中觀測矩陣D′僅存在元素缺失情況，不存在元素受到噪聲干擾的情況。在此，采用重加權對模型式(6)進行處理，獲取重加權下矩陣填充模型：

(7)

式中：We為噪聲重加權權重。矩陣受到的噪聲為隨機的脈沖噪聲，E′代表階梯矩陣，則通過l1范數針對噪聲進行約束[9]，獲取脈沖噪聲下重加權矩陣的重建模型：

綜上，式(7)～(9)就是為了對結構性缺失低秩矩陣進行重建的3個模型。3個模型的整體求解過程較為相似，均能夠劃分成2層結構完成求解，也就是對重加權框架進行求解與每次重加權迭代過程中優化子問題進行求解。

2)模型求解。

對重加權框架進行求解的方法與普通迭代優化法求解程序大致相同，均為給定初始值之后，依據一定方案持續更新一直到算法收斂，或是達到預先設定的迭代次數。每一次迭代過程中均需依據以上一次迭代結果，在該過程中最為關鍵的即為重加權權重值更新。在每次迭代過程中，當重加權權重值確定之后，那么能夠將此次迭代過程當成對一個子優化問題進行求解即可。重加權更新方案為：將初始值定義為1，之后每次值與前一次迭代計算結果中對應項元素幅值倒數相等。利用n′代表迭代次數，Σ(n′)、B′(n′)、E′(n′)描述的是第n′th次迭代之后的結果值。由于上述模型中有著很多需要進行求解的變量參數，因此通過交替方向法進行求解，也就是每次增廣拉格朗日算子計算時，一旦求解目標變量，則將其他變量固定住。由于3個模型求解方式相似，只是在對誤差項進行求解時存在差異。由此，針對模型式(12)和模型式(13)，僅對誤差項求解流程進行分析。

模型1：假設將矩陣中所有缺失的元素均當成0進行處理，則能將矩陣的填充問題轉換為具有特殊性的矩陣恢復問題，將模型重寫為：

(10)

式中：ξ為缺失的元素，在此將缺失的元素當成噪聲[10]。對式(10)進行求解，能夠利用迭代計算式序列完成：

(11)

(12)

針對式(12)中的B′k′+1，將原式中和B′不存在相關性的常量去除，同時配方之后，就能夠獲取：

(13)

根據式(13)可知假設字典Φ為正交形式，即ΦΦT=E′為一個單位矩陣，由此式(13)可以作為一個收縮算子求解的形式，其解為：

(14)

式(14)的求解方式主要針對Φ為正交形式，下文分析Φ不為正交形式，僅為一般矩陣時的情況。

在Φ不為正交形式時，則無法通過收縮算子進行求解，因此采用以下方法進行求解。由此就能夠將問題轉換為對Q(ξ,Zj)最小值進行求解，進而獲取一個有關Z的序列，便可近似獲取F(Z)最小值。針對式(12)中的第一行B′k′+1，以泰勒展開，接著取前若干項配方獲取一個收縮因子能夠解的形式：

(15)

針對式(12)中的第二行A′k′+1，同樣可以利用式(15)中所用到的技巧，將其轉換成求解式優化方程：

(16)

此時對式(16)進行求解能夠得到：

(17)

式中Uk′、Vk′為左右奇異向量。

(18)

由此E′完整迭代解可表示為：

其余子問題均為簡單一階加減法，容易求解。綜上，就能夠獲得結構性缺失低秩矩陣填充結果。

模型2：模型2的增廣拉格朗日函數表達式為：

(19)

(20)

模型3：模型3的增廣拉格朗日函數為：

(21)

將式(21)中的2部分相加獲取E′最終解：

至此，完成高噪聲圖像的結構性缺失低秩矩陣重建，具體流程如圖2所示。

圖2 高噪聲圖像的結構性缺失低秩矩陣重建流程Fig.2 Low rank matrix reconstruction flow of structural missing in high noise image

首先初步處理高噪聲圖像，為后續矩陣重建過程降低計算復雜程度，引入優化后的鄰域平均方法降低低頻子帶圖像噪聲，引入像素鄰域局部能量方法降低高頻子帶圖像噪聲，利用小波逆變換獲取濾除噪聲后的圖像。引入重加權策略構建重建模型，求解重加權框架迭代過程中的優化子問題，完成高噪聲圖像結構性缺失低秩矩陣重建。

2 實驗結果與分析

為驗證基于重加權的高噪聲圖像的結構性缺失低秩矩陣重建算法運行性能，進行一次相關性測試。驗證所提方法的去噪效果，在實驗原圖中分別加入高斯噪聲與脈沖噪聲，對比高斯噪聲加入后所提算法的去噪效果，在脈沖噪聲噪聲加入后對比所提方法與現有方法的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)和平均絕對誤差(mean absolute error, MAE)。PSNR即峰值信噪比，是一種評價圖像的客觀標準。MAE是評價圖像細節保持效果的指標，MAE值越小,圖像細節處理效果越好。將實驗平臺搭建在Matlab上，利用如圖3所示的3幅標準圖像作為實驗圖像。

圖3 實驗圖像Fig.3 Experimental image

對圖3中的3幅圖像進行加噪處理，運用所提方法對加入高斯噪聲后的圖片進行去噪處理，以此驗證所提算法高斯噪聲濾除效果。圖4為加入高斯噪聲后圖像及所提算法的圖像去噪效果。

圖4 加入高斯噪聲后圖像及所提算法去噪效果Fig.4 The image and denoising effect of the proposed algorithm after adding Gaussian noise

根據圖4去噪結果顯示，所提方法可以有效去除高噪聲圖像的噪點。去噪后圖像可以較完整恢復原圖像細節，能保持圖像中的紋理信息，實現了高噪聲圖像結構性缺失低秩矩陣的高精度重建。

為驗證所提方法在脈沖噪聲情況下的運行性能，對比通過非凸和不可分離的正則化同時進行稀疏和低秩矩陣重構(文獻[5])、利用子空間信息重構低秩矩陣(文獻[6])和卷積結構低秩矩陣快速恢復(文獻[7])3種方法的PSNR值和MAE。實驗使用Matlab中自帶的imnoise函數在圖像中添加10%～90%概率密度的脈沖噪聲。設定自適應閾值T為125，設定噪聲重加權權重We為0.55。圖5和圖6為加入脈沖噪聲后，不同方法PSNR指標與MAE指標的變化情況。其中，PSNR值越大表示失真越小；MAE值越小，保留的紋理細節越多，圖像質量越好。

圖5 脈沖噪聲下不同研究成果PSNR對比Fig.5 PSNR comparison of different research results under impulse noise

由圖5可知，隨脈沖噪聲概率密度的增加，4種方法的峰值信噪比逐漸降低；但在實驗總過程中，所提方法最高峰值信噪比為29.05 dB，高于對比的3種方法，圖像復原效果較好。不同概率密度脈沖噪聲分布下不同研究方法MAE對比結果如圖6所示。

圖6 脈沖噪聲下不同研究成果MAE對比Fig.6 MAE comparison of different research results under impulse noise

由圖6可知，隨脈沖噪聲概率密度的增加，4種方法的平均絕對誤差值逐漸增加，在20%概率密度之前，4種方法的MAE值相差較小，在此之后，所提算法的MAE值均小于對比的3種方法，說明運用所提算法對圖像去噪后保留的圖像紋理細節較多。因為所提方法對圖像進行了預處理，在低秩與稀疏特性先驗信息的基礎上，構建結構性缺失低秩矩陣重建模型，克服了僅可以對隨機缺失矩陣進行處理的缺陷。

3 結論

1)在高斯噪聲加入情況下，利用所提算法去噪后的圖像清晰度與原圖相近，紋理信息等細節保持比較完整。因為所提算法在構建結構性缺失矩陣前，對高噪聲圖像進行了預處理，增強了圖像去噪的效果。

2)在脈沖噪聲加入情況下，所提算法的峰值信噪比均高于對比方法，平均絕對誤差值低于18，2組實驗結果較優于對比方法。由于所提算法根據低秩與稀疏先驗對重建矩陣進行了約束，獲得了較好的實驗結果，表明該算法在圖像去噪方面有較好的實用價值，提高了重建精度。

3)為了更好地滿足實際需求，更好地將低秩矩陣重建應用至圖像背景恢復和人工智能圖像識別中，下一步將針對降低算法復雜性進行研究。