基于超網絡的輿論演化動態模型

王志平,王 佳

(大連海事大學理學院，遼寧 大連 116034)

0 引言

隨著社會網絡的逐步發展，人們越來越關注輿論，通過微博、新聞、瀏覽器等可以了解世界各地的事情發展，并且時時刻刻關注著他們的發展變化。因此，輿論演化逐漸成為一種不可忽視的頻發性社會現象，研究輿論傳播的發展變化規律具有很重要的現實意義[1-2]。

輿論傳播是指社會公眾在特定事件下發表個體意見以及意見之間相互作用形成的觀點。網絡輿論傳播是指人們通過網絡對一些事情公開表達的意見或態度。哈貝馬斯曾經說過：“束縛輿論傳播就等于否定民主，與其說適合民主法治國家，不如說適合開明專制下的極權主義福利國家；一切為了人民，但一切都沒有經過人民”。隨著社會的發展，在我們這個民主的社會主義國家，從每個人的小事到國家大事，人們都可以通過網絡公開表達自己的意見或建議，所以人們對輿論傳播的關注也越來越多，同時也吸引了越來越多學者進行研究。

網絡隨處可見，因此網絡輿論的傳播成為越來越多學者的研究對象。目前已有不少學者對輿論進行了模型構建和仿真分析，且涉及的因素是固定的，如節點的添加率、形成的超邊數、重組超邊數等，為了更貼合實際，本文對模型進行了一些改進：1)提出了一種基于非均勻超網絡的輿論動態演化模型，解決了網絡節點及其超邊老化的問題。模型的構建包括4個過程，即新超邊的形成、新節點的加入、超邊的重鏈以及節點及其超邊的老化。2)在上述基礎上，對不確定因素進行了隨機化，即對增加節點的數量，形成超邊的數量，選擇進入超邊的新節點數量(也就是說，每一批節點被選擇進入超邊存在一定概率，并不是所有的節點形成一個超邊)，節點本身的關注和影響、節點之間的影響等等進行隨機化處理。3)同時，通過Matlab程序仿真，本文分析了10個參數對模型的影響，如節點的個數、節點本身的關注程度、節點之間的影響、選擇進入超邊的新節點個數以及超邊中的舊節點個數等。我們得到了平穩平均超度分布服從冪律分布，其中節點表示關鍵詞，超邊表示由關鍵詞構成的話題。

1 理論背景

輿論的演化在很早的時候就受到了人們的關注，最早可以追溯到1956年，French建立了一個簡單的離散數學模型去研究團體的行為復雜性[3]。在1981年，Lehrer和Wagner[4]將有限理性作為從公平到認識論在輿論建模過程中的基本條件。在物理的視角中，最早是1925年，伊辛提出了研究鐵磁體的一種最簡單模型，2000年，Sznajd基于物理學描述磁極旋轉的伊辛模型是描述二元觀點相變的最早常用輿論動力學模型，在此基礎上，出現了不少以此為基礎的模型與相關的研究成果[5-9]，包括Sznajd觀點動力學模型的相變現象、小世界網絡、無標度網絡上的演化特性等。此外，輿論的模型存在很多種形式，熊蓮花等人[10]在“優先占有”的理論基礎上建立了輿論的演化模型；何建佳等人[11]借鑒Hegselmann-Krause模型粒子交互的建模思想，構建了擴展Hegselmann-Krause模型；胡祖平等人[12]在元胞自動機的基礎上對輿論的演化進行了仿真分析。同時，人們也研究了各種因素下的輿論演化發展[13-18]，以此更加貼近現實生活。

隨著社會的發展也有不少學者在復雜網絡的基礎上對輿論的演化進行了模擬仿真等[19-21]。而超網絡是繼復雜網絡研究熱潮之后，研究者關注的另一個重要方向，超網絡是較通常意義上的復雜網絡更為復雜的網絡，該網絡的每一條超邊都能連接任意多個節點的特性使其能夠比復雜網絡更好地描述真實世界中的復雜系統。所以輿論的演化模型在之后的發展中逐步從復雜網絡過渡到了超網絡的研究上。

Wang等人[22]提出了一種進化超網絡模型；李倩倩等人[23]基于超網絡研究了社會輿論的演化；浦嬌華等人[24]在動態模型的基礎上構建了輿論演化模型；Chang等人[25]對SPL分布進行了一個詳細分析使人們對冪律分布有更深刻的認識；馬濤等人[26]對節點的退出機制進行了一定的研究，通過建立M-G-P模型與理論分析發現度分布符合冪律分布。張峰等人[27]基于決策偏移構建了輿論動力學模型；Li等人[28]研究了媒體在輿論的演變中起到了什么作用，因此構建了媒體影響下的輿論動態數學模型。Wang等人[29]在超網絡的基礎上提出了雙層超網絡模型，更加有效地反映了實際情況；Guo、Yin等人[30-31]基于超網絡構建了非均勻網絡模型，并且通過理論分析即仿真模擬得到其結果符合冪律分布。

2 基本概念

2.1 復雜網絡

到目前為止，復雜網絡并沒有一個具體的定義，但是存在兩種定義來解釋它。錢學森給出了一個這樣的定義：“具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或全部性質的網絡稱為復雜網絡。”而維基百科中定義復雜網絡為由數量巨大的節點和節點之間錯綜復雜的關系共同構成的網絡結構。

2.2 超網絡

超圖是比圖更為復雜的一種圖形，它可以包含任意個節點數目[32-33]，因而更加貼合現實生活。設V={v1,v2,…,vn}為有限集Ei={vi1,vi2,…,vij}(vik∈V,k∈N*)是V的非空子集族，Eh={E1,E2,…,Em}表示超邊集，那我們就定義H={V,Eh}為超圖。超網絡[34]就是由超圖描述的復雜系統。

2.3 非均勻網絡

傳統的超網絡模型都是均勻的，即超邊中只包含兩個節點，而非均勻網絡是指在一個度分布具有適當冪指數的冪率形式的大規模無標度網絡中，絕大部分節點的度相對較小，只有少數節點的度相對較大。非均勻的超網絡的一個明顯特征是每一個超邊中都可包含任意數目的節點。

3 模型構建

本文基于超網絡構建了一種非均勻的動態演化模型，且模型中變量符合一定的分布，使得變量具有隨機性，更加貼合現實生活。本文中節點代表關鍵詞，超邊代表關鍵詞形成的話題。

在模型中，對參數的應用如下：

T時刻時，一個新的節點連接到第i批的第j個節點的概率為ω，與該節點的超度hj(t,ti)，自身的關注度ξi及節點連接后產生的影響yi成正比。即

(1)

其中,ti表示第i批節點到達網絡的時間，hj(t,ti)表示第i批節點的第j個節點在時間t的超度。

在輿論傳播的演化中，本文構建的模型分為4個部分：1)添加新的超邊。即現有的關鍵詞形成了新的輿論(如中國、湖北、新冠肺炎等)。2)重新連接鏈路。即舊的輿論消失且與其他關鍵詞構成新輿論(如舊關鍵詞中國、巴基斯坦等)。3)添加節點。即產生新的關鍵詞，從而與現有的關鍵詞形成新的輿論(如新關鍵詞多省市清零與舊關鍵詞新冠肺炎等)。4)節點及其超邊的老化。即輿論的熱度衰退，且關鍵詞淡出視線或者人為因素使得關鍵詞及其話題淡出人們的視線。

圖1 輿論演化模型示意圖

模型的初始節點的數量為m0=13，節點A～M，且存在4個超邊(e1～e5)。在每個時間t，都會以一定的概率發生以下4個過程：1)添加新的超邊。在初始圖中，隨機選擇一個節點H，與D、G、k、J形成新的超邊e5；與D、E、F、I形成新的超邊e6。2)重新連接鏈路。隨機選擇一個節點I，刪除節點I的一個超邊e3，與J、K、H、L、M形成新的超邊e8；刪除超邊e2，與C、E、F、H、L形成新的超邊e7。3)添加節點。T時刻時，進來一批新的節點N、O、P、Q、R、S、T，m1=7，選擇原來的(m2=1)個舊節點與新節點當中的其中一部分(m11=5)個形成新的超邊，如圖所示e9，e10為所形成的新的超邊。4)節點及其超邊的老化。隨機選取一個節點H，老化節點H所在的超邊(e1，e6)與節點H，且不再形成新的超邊。

4 理論分析

假定原始超網絡中的節點總數為N，根據本文第4部分的模型，可以得到如下動態方程：

(1)以概率p將m個超邊添加到原有的超網絡中

(2)

其中，m服從參數為λ2的泊松分布，舊節點的個數u服從參數為λ3的指數分布。右邊第一項表示現有節點的隨機選擇，第二項表示以一定概率對舊節點的選擇。

(2)以概率q重新連接m個超邊

(3)

其中，右邊第一項表示要刪除超邊的節點的隨機選擇，右邊第二項表示重新連接超邊的節點的選擇。

(3)以概率r老化節點及s個超邊

(4)

其中，右邊的式子表示要老化的節點及其超邊的隨機選擇,選擇更一般的老化模型[35-36]。

(4)將m1個節點以概率1-p-q-r添加到現有的超網絡中，隨機選擇m11個新的節點與m2個舊節點以概率ω形成超邊

(5)

右邊式子表示被選擇進入新超邊的節點數是以一定的概率選擇的。

根據以上4個等式，可以得到輿論傳播的演化機制服從如下動態方程:

(6)

(7)

對式(7)進行簡單的積分，可以得到

(8)

為了簡便計算，將節點的老化過程進行簡化，即只選擇一個節點所在的超邊進行刪除，可得：

(9)

從而得到該過程的超度：

(10)

根據式(10)，可知

(11)

由上文可知節點的到達速率是服從泊松分布的，節點到達的時間遵循伽馬分布，因此，可以得到等式(12)：

(12)

由式(10)可知，節點超度的概率公式如(13)：

(13)

于是，得到平穩平均超度分布的概率為

(14)

根據式(10)，還可知

(15)

對式(15)進行化簡，得到

(16)

其中B是由以下積分來確定的，即

(17)

把式(17)稱為具有自身關注度與節點間影響力的特征方程。

接下來對式(17)中的參數進行分類討論：

1)ξi=0,yi=1，本文的模型將退化為簡單模型，且有如下結果:

(18)

其對應的特征方程為

其中，Q=λ2[(p-q)(λ3+1)+(1-p-q-r)(m2+m11)]。特征方程的解為

(19)

其中，L=Qm1-m11(C+W)。

可以得到平穩的平均超度分布為

(20)

2)當ξi=1,yi=a時，有

(21)

從而得到：

(22)

3)當yi=1,ξi=a時，得到：

(23)

然后可以得到:

(24)

4)當ξi=a1,yi=a2時，得到特征解：

(25)

然后可以得到平穩的平均超度:

(26)

在此之前有人提出SPL，當p(k)∝(k+α)η，其中η和α是常量，SPL是從冪律分布到指數函數的分布，其中α表示分布偏離冪律的程度，數值越大，偏離冪律越大[37]。根據本文的分析可以知道，模型退化為簡單模型時，是完全符合冪律分布的；當本文的模型參數為任意數值時，其結果顯示仍是完全遵循SPL的。

5 模擬數值

針對上述結果，利用Matlab程序進行了合理的模擬。這里每個模型都進行了多次運行，之后選取效果最好的結果。此外，由于模型中大部分的變量都是隨機的，所以針對每一個變量都有其模擬結果。其中k表示節點的超度，p(k)表示超度為k的概率，k的取值范圍與超網絡的規模以及動態演化過程相關。模型中的參數及其表示意義如表1所示。

表1 參數及其意義

5.1 參數N的影響

如圖2所示，當p=0.15，q=0.15，r=0.25，m1=5，m=9，u=10，m11=4，y～N(5,5),ξ～N(10,10)時，其中m1是服從參數a1=5的泊松分布，m是服從參數a2=5的泊松分布，u是服從參數a3=10的指數分布，m11是服從a4=3的指數分布。令N=20 000、30 000、50 000。根據結果能夠看到，當k到一定數值時，隨著N的變大概率隨之變小，這說明有限個關鍵詞被包含在同一個輿論內很少有輿論可以包括所有的關鍵詞。即關鍵詞具有一定的針對性，可以形成不同的輿論。

5.2 參數y、ξ影響

如圖3所示，當m1=5，m=9，u=10，m11=1，p=0.15，q=0.05，r=0.25，ξ～N(10,10)，N=15 000，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。此時對u1進行改變，分別為5、10、15。由圖3可以看到，當k一定時，圖像整體隨u1的增大而向下移動，即節點相連對輿論的形成存在一定的影響，當連接的節點越多或者節點間相關性越高時，對輿論的限制越大，從而更難形成新的輿論。也就是說，二者之間影響越大可以形成新輿論的概率越小。當k達到一定程度時，其特征不再明顯，此時節點所表示的意義有限制，只有特定節點連接存在特殊意義。如當關鍵詞‘高考’與‘作弊’相聯系所形成的超邊的超度是小于‘高考’與‘省份’相聯系所形成的超邊的超度，節點間的影響力不同，那么對節點的超度是存在一定影響的。

如圖4，對u2進行改變，分別為10，20，30。當m1=5，m=6，u=8，m11=2，p=0.15，q=0.05，r=0.25，y～N(5,5)，N=15 000，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。當k較小時，隨著u2的增大概率逐漸增大，此時超網絡的超度分布仍具有冪率分布；當k超過一定的范圍時，隨著u2的增大，其節點冪率特征不再明顯。即節點的超度在一定范圍內隨它自身的關注度的大小而變化，當超過一定的范圍時，其超度不再隨著關注度的變化而產生規律性改變。

圖2 參數N影響示意圖

圖3 參數u1的示意圖

圖4 參數u2的示意圖

5.3 參數p、q、r的影響

當m1=9，m=6，u=3，m11=1，q=0.05，r=0.25，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=15 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(10),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。如圖5所示，當p增大時，圖像整體向右移動，即關鍵詞與話題相關性越強時，那么可形成的話題范圍越多。當k一定時，可以看到，添加超邊的概率越大，其節點超度為k的概率越大，即同一k值下超度形成概率越大。

當m1=8，m=14，u=9，m11=2，p=0.05，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(10),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。從圖6中可以看到，隨著q的改變其圖像無明顯變化，從而q對于結果沒有很大的影響。即當前關鍵詞現在所屬的輿論消失與新的關鍵詞組成新的輿論，因此，q不會對其概率產生規律性的影響，其結果反映了網絡輿論系統的穩定性。

如圖7，當m1=5，m=9，u=10，m11=1，p=0.15，q=0.05，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=15 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。從圖中可以看出整體圖像隨著r的增大而下移，即節點消失的概率越大，那么可形成超邊的概率越小。即隨著話題熱度的衰退，其熱度降低，從而使得輿論保持在一個穩定水平，其結果與超邊的添加恰恰相反，也進一步反映出了網絡輿論系統的穩定性。

圖5 參數p的示意圖

圖6 參數q的示意圖Fig.6 The parameter q

圖7 參數r的示意圖

5.4 參數λ1、λ2的影響

當m=6，u=15，m11=5，p=0.05，q=0.1，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ2～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。如圖8所示，圖像隨著參數的增大整體左移，節點的到達速率增大，即節點活躍性增大使得形成更多不同的話題、選擇性增多，因此，其關鍵詞的超度并不會隨參數的增加而增大，與之相反，節點可形成超邊的個數概率越小。

當m1=4，u=15，m11=3，p=0.05，q=0.1，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ1～p(5),λ3～Exp(10),λ4～Exp(3)。從圖9中可以看到，圖像不隨著參數的變化產生規律性的變化，即節點的超度在于與節點相關聯所構成超邊數目的多少，僅超邊數目的增多表明話題有更大可能的形成性，與節點超度無直接聯系，m的改變更多是對矩陣的規模的影響。

圖8 參數a1的示意圖

圖9 參數a2的示意圖Fig.9 The parameter a2

5.5 參數λ3、λ4的影響

當m1=4，m=3，m11=2，p=0.05，q=0.25，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ4～Exp(3)。從圖10可以看到，隨著參數的增大，圖像整體下移。超邊中舊節點的個數，即形成新超邊選擇的舊節點個數。當k一定時，隨著參數的增大概率減小，即節點個數增多代表關鍵詞增多，從而可形成的話題增多，即選擇性增大使得節點超度不隨之增大。

當m1=6，m=5，u=4，p=0.05，q=0.1，r=0.15，y～N(5,5),ξ～N(10,10)，N=20 000時，其中λ1～p(5),λ2～p(5),λ3～Exp(10)。如圖11，圖像整體向右移動，當k一定時，概率隨著a4的增大而增大。新節點被選擇形成新的超邊，超度的規模隨之擴大，即節點被選擇的概率越大，那么更大可能形成新的超邊。

圖10 參數a3的示意圖

圖11 參數a4的示意圖Fig.11 The parameter a4

6 結論

本文將超網絡與輿論演化結合，通過構建4個動態過程更好地反映了輿論演化的發展變化，且在理論分析的支持下得到其結果是符合冪律分布的。同時，本文構建的模型另一特點就是，通過對現實生活中不確定因素的分析來觀察超度的變化。我們使用Matlab對10個參數進行了模擬分析，并且詳述了參數對模型的影響，更好地對模型進行了一個闡述。本文的模型可以反映大多數真實系統的結構特征，在很多模型中是通用的。

未來的研究方向為：1)本文中節點的選擇是隨機的，但在現實生活中每一個節點并不是隨機出現或者消失的，不同的節點有不同的被選擇概率。因此，在節點的選擇這個方向可以進行進一步的研究。2)輿論傳播的發生存在周期性，并且其節點的范圍與周期相關，所以可以再進一步考慮其周期性。3)當突發性的情況發生時，輿論傳播會有很大的變化，因此，進一步的研究可以集中在網絡的魯棒性上。4)節點的老化及其所在超邊的老化并不是簡單的隨機老化，而是存在一定規律的，因此需要進一步的優化。