基于壓縮感知的OFDM稀疏信道估計算法

李姣軍，蔣 揚，邱 天，黃明敏

（重慶理工大學電氣與電子工程學院，重慶 400054）

在無線通信系統(tǒng)中，多徑傳播對通信鏈路產(chǎn)生很大的干擾，嚴重影響鏈路的性能。正交頻分復用 （orthogonal frequency division multiplexing，OFDM）技術(shù)憑借其在數(shù)據(jù)傳輸速率和傳輸精度方面的優(yōu)異性能，在4G以及5G無線通信中得到了廣泛的應用。在OFDM通信系統(tǒng)中，信道估計算法的設計至關(guān)重要，合適的信道估計算法可以得到精確的信道狀態(tài)信息（channel state information，CSI），進而獲取優(yōu)異的系統(tǒng)性能。傳統(tǒng)信道算法是基于頻域插入導頻，用以估計出導頻位置處的頻率響應，再用一定方法估計出其他位置處的信道頻率響應，具有代表性的算法有最小二乘算法［1］和最小均方誤差算法［2］。然而，最小二乘算法的性能與噪聲功率成反比，最小均方誤差算法的計算復雜度較高，并且2種算法獲得較好信道估計性能的前提是使用一定數(shù)量的導頻，不利于提高頻譜效率。

高速無線通信信道多呈現(xiàn)稀疏性［3］，雖然信道具有很大的時延擴展，但是能量集中在少數(shù)路徑上，其他路徑能量很小，可以忽略。壓縮感知（compressive sensing，CS）［4］可以用于 OFDM系統(tǒng)中的信道估計。文獻［5-7］研究表明，在OFDM系統(tǒng)中應用CS于信道估計，在使用相同數(shù)量導頻的情況下，較傳統(tǒng)算法可以獲得更好的估計性能，減少了導頻開銷。傳統(tǒng)壓縮感知信道估計算法有正交匹配追蹤 （orthogonal matching pursuit，OMP）［8］、壓縮采樣匹配追蹤（compressive sampling matching pursuit，CoSaMP）［9］等。然而，上述算法只有在接收端已知信道稀疏度時，才能進行重建，而在實際情況中信道稀疏度往往需要測量，因而上述算法無法直接應用于稀疏度未知的信道估計中。稀疏度自適應匹配追蹤（sparsity adaptive matching pursuit，SAMP）［10］算法通過固定迭代步長，并通過迭代逐步增加索引，來逐漸逼近信道真實支撐集，克服了需要以稀疏度為先驗信息的缺陷，可以自適應重構(gòu)信道狀態(tài)信息。SAMP算法重建精度與步長的取值密切相關(guān)，因此，算法為了保持良好的估計精度，通常將迭代步長設置為1，但這會使重建時間過長。文獻［11］提出一種弱選擇匹配追蹤（stagewise weak orthogonal matching pursuit，SWOMP）算法，通過設置門限，每次迭代同時選擇多個原子，減少了迭代次數(shù)和重構(gòu)時間。

針對OFDM通信系統(tǒng)信道稀疏度未知的情況，本文提出了一種新的自適應信號稀疏度變化的壓縮感知信道估計算法，即變步長自適應壓縮采樣匹配追蹤（variable step adaptive compressive sampling matching pursuit，VSACSMP）算法。該算法首先對信道真實稀疏度進行預估得到估計值K0（K0略小于真實稀疏度K），然后再通過CoSaMP算法改善估計結(jié)果。若壓縮采樣匹配追蹤不能成功重構(gòu)，則通過弱選擇選取新的原子，漸進增加信號稀疏度，對信道狀態(tài)信息進行重新估計。

1 系統(tǒng)模型

1.1 壓縮感知基本理論

許多自然界的信號x∈RN是可以被壓縮的，即它們可以用稀疏信號表達出來，通常做法是將其在合適的域進行投影，這意味著x可以通過一個N×N維正交基字典矩陣ψ稀疏表示，即：

此時，若θ最多有K?N個非零向量，那么可以稱信號x在ψ域是K稀疏的。若設計一個與正交基字典不相關(guān)的觀測矩陣Φ∈RM×N，用以觀測信號x，則可以得到測量信號y∈RM，用公式表達為：

將式（1）代入式（2），可得：

式（3）中，ACS為一個 M×N維的矩陣，稱為感知矩陣。在已知y和ACS的前提下，可以利用l0范數(shù)意義下優(yōu)化求解x的估計值＾x。

有限等距性質(zhì)［12］（restricted isometry property，RIP）是準確重構(gòu)信號x的重要基礎，其定義為：若對所有具有稀疏度為K的信號x，矩陣Φ都滿足：

式中，若參數(shù) δK∈（0，1），則稱 Φ滿足參數(shù)為（K，δK）的RIP性質(zhì)。式（4）所述優(yōu)化方程的求解是一個NP-hard問題，求解此類問題存在困難，需要做相應調(diào)整。文獻［13］研究表明，當觀測矩陣Φ滿足RIP條件時，組合優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)換成簡單的l1范數(shù)優(yōu)化問題，兩者可以得到同樣的解。

式（6）將l0范數(shù)松弛為l1范數(shù)，就可以利用線性規(guī)劃方法來求解此優(yōu)化問題。貪婪算法由于結(jié)構(gòu)簡單且計算效率高，在實際信號重構(gòu)中得到了廣泛應用，其本質(zhì)是一種原子選擇策略。

1.2 OFDM系統(tǒng)稀疏模型

考慮具有N個子載波的OFDM系統(tǒng)，其中NP個子載波用于傳輸導頻，位置為 n1，n2，…，nNP（其中1≤n1≤n2≤…≤NP），信道長度為L。傳輸信號和接收信號分別為X和Y，其中X（k）和Y（k）分別表示X和Y的第k個元素，0≤k≤N-1。接收信號可以表示為：

式中：傳輸信號 X＝diag｛［X（0），X（1），…，X（N-1）］｝為一個對角矩陣；接收到的信號Y＝［Y（0），Y（1），…，Y（N-1）］T；信道頻率響應 H＝［H（0），H（1），…，H（N-1）］T；Z＝［Z（0），Z（1），…，Z（N-1）］T為復加性高斯白噪聲；W∈CN×L為N×N維DFT矩陣前L列組成。

在導頻位置處的接收序列可以被寫為：

式中：XP＝diag｛［X（n1），X（n2），…，X（nNP）］｝為發(fā)送導頻序列；ZP為P×1維復加性高斯白噪聲；WP為部分傅里葉矩陣。

對比式（3）和式（8）可以看出，可以由已確定的觀測矩陣A和接收導頻向量YP，利用壓縮感知重構(gòu)算法重構(gòu)出稀疏信道沖擊響應h，用以估計出信道頻率響應H＝Wh。

2 稀疏度自適應的壓縮感知信道估計

在OFDM系統(tǒng)中，當信道稀疏性已知時，可以利用如CoSaMP、SP這類壓縮感知重建算法對信道進行估計。但實際中信道是變化的，這導致信道的稀疏度也不是固定的，故研究能自適應稀疏度變化的壓縮感知重構(gòu)算法才具有實用價值。SAMP算法是一種很有前途的候選方案，它通過對目標信號的稀疏程度和真實支持集的逐級估計來重構(gòu)信道信息。盡管SAMP算法能在有限次迭代后得到較為準確的估計結(jié)果，但算法估計的誤差依賴迭代步數(shù)。若迭代步數(shù)過長，則存在過估計和欠估計的問題；若迭代步數(shù)過短，則在信號稀疏度較大時需要的迭代次數(shù)多，需要較長的運算時間，存在算法效率不高的缺陷。

因而，在利用稀疏度自適應思想解決CoSaMP算法在信號重建時需要預知信號稀疏度缺陷時，我們還應考慮SAMP算法步長選取決定精度、效率這一不足之處。為解決上述問題，我們可以采用變步長預估計信號稀疏度的方法進行改進，下面給出預估計信號稀疏度方法。

文獻［14］研究表明，在觀測矩陣 Φ以參數(shù)（K，δK）滿足 RIP性質(zhì)，如果 K0≥K，則其中，K是信號的真實稀疏度，K0是稀疏度的預估值，Γ0對應Φ中與殘差乘積的Frobenius范數(shù)最大的K0個原子的索引集合。那么，此命題的逆否命題也成立。即若成立，則K0＜K。根據(jù)上述命題，則可以通過逐步增大K0，直至上述命題不成立為止，最終就可得到信號稀疏度的預估值K0。

基于上述預估計理論，本文提出了一種VSACSMP算法。算法步驟如下：

輸入：感知矩陣A＝XPWP，接受到的導頻信號yP；

輸出：信道的沖擊響應估計值h＾。

步驟1初始化：初始稀疏度估計值K0＝1，初始索引支撐集Γ0＝?，迭代步長step，迭代次數(shù)n＝1；

步驟2獲取索引集即從選出前K0個最大值索引存入Γ0；

步驟3如果滿足，則執(zhí)行K0＝K0+2*step，否則執(zhí)行 K0＝K0+step，，返回步驟2執(zhí)行；

步驟4更新殘差：r0＝y(tǒng)P-AΓ0A+Γ0yP，其中矩陣AΓ0由感知矩陣 A中列索引為 Γ0構(gòu)成的矩陣；

步驟5計算 gn＝ATrn-1，獲取索引集 Jn＝表示集合元素個數(shù)，即從選出前card（Γn-1）個最大元素對應的索引構(gòu)成集合；

步驟6形成候選集：

步驟7計算最小二乘解

步驟8獲取支撐集card（Γn-1）），即從選出前 card（Γn-1）個最大元素對應位置的索引構(gòu)成集合；

步驟9更新殘差

步驟10如果；否則，轉(zhuǎn)執(zhí)行步驟5；

步驟11判斷迭代終止條件：如果則停止迭代，并輸出信道時域沖擊響應估計值轉(zhuǎn)執(zhí)行步驟5。

本算法中步驟1～步驟4主要是對信號稀疏度進行預估計和初始化殘差，引入變步長的思想，首先進行大步長估計，再進行小步長逼近，得到出一個略小于真實稀疏度K的預估值K0，再根據(jù)選擇原子對殘差進行計算；步驟5～步驟11為VSACSMP算法迭代的主體，步驟5～步驟10通過壓縮采樣匹配追蹤改善估計的結(jié)果，步驟11判斷殘差功率是否滿足小于噪聲功率，若滿足則算法停止迭代，否則通過弱匹配在Γn加入新選擇的原子，其中α一般取值0.7～0.9，在這區(qū)間能保證選取原子大概率是有效的，兼顧算法性能和運算速度。

3 仿真結(jié)果和分析

本文仿真實驗所使用的環(huán)境為AMD Ryzen 2600X CPU＠3.6 GHz，16GB RAM，MATLAB 2018a。仿真時OFDM系統(tǒng)采用16QAM調(diào)制，子載波數(shù)N＝2 048，信道長度L＝240。假設系統(tǒng)經(jīng)歷的是慢衰落，即信道在一個或者多個周期內(nèi)保持穩(wěn)定，且信道的稀疏度K＝30。在多徑信道模型中，路徑時延在0～τmax上隨機分布，且第一路徑時延為0。路徑復增益呈復高斯分布，且隨路徑時延的增加以指數(shù)衰減。

算法的核心是對真實稀疏度K進行預估，得出一個略小于K的估計值K0，因此對δK值的選取十分重要。比較準確的δK會使估計出的K0非常靠近真實稀疏度K，以減少迭代次數(shù)提升算法效率。通過實驗方法考察約束等距常量δK對稀疏度預估計的影響，在0.25～0.4之間每隔0.05取一個值。圖1比較了K＝30條件下不同δK值對稀疏度K的預估。由圖1可以看出，δK＝0.3時稀疏度預估計的效果最好。同時，對δK取0.3，仿真5 000次，得到預估計的K0的平均值為22.922 1，比較接近真實稀疏度K，因此以后的仿真都選取δK＝0.3。

圖1 稀疏度預估計

3.1 MSE性能分析

用歸一化MSE來衡量仿真性能，其定義為：

這里取導頻數(shù)為128，對比各算法在不同信噪比下的MSE表現(xiàn)。由圖2可以看出，本文提出的VSACSMP算法要略優(yōu)于其他算法，且隨信噪比的增加性能更優(yōu)。SWOMP算法雖然在α取值為0.7時能大概率選取有效原子，但因沒有回溯機制，不能在選取無效原子后進行剔除，因而性能上比其他2種算法略差，而SAMP算法在步長過大，容易造成過估計或欠估計的問題，因而當SAMP在迭代步長選取為4時，算法性能上略遜于SAMP在步長選取為1和VSACSMP算法，而當SAMP在迭代步長選取為1時，算法性能與VSACSMP幾乎相同。

圖2 不同算法的均方誤差

3.2 BER性能分析

在移動通信系統(tǒng)中，接收端收到的信號通常因受到信道的影響而失真，因而需要進行信道估計來均衡信道帶來的影響。因此，比較準確的信道估計能降低系統(tǒng)的誤碼率。圖3所示為導頻數(shù)為128時，各算法在不同信噪比下的性能表現(xiàn)。由圖3可得，本文提出的VSACSMP算法較于其他算法有更低的誤比特率性能。

圖3 不同算法的誤比特率

3.3 單次運行時間比較

各種壓縮感知信道估計算法的單次平均運行時間如表1所示。從表1可以看出，SWOMP算法的平均運行時間較其他算法相比最短，但是由于吸納無效原子后無法剔除，因而性能相對較差。本文提出的VSACSMP算法相較于SAMP算法，運行時間比SAMP算法步長（s＝1）長，短于 SAMP算法步長（s＝4）。SAMP算法的精度與選擇的步長緊密相關(guān)，迭代步長越短，精度越高，但這也會使復雜度較高、運行時間長。雖然SAMP算法在步長s＝4時運行時間短，但這是在犧牲算法精度的基礎上得到的。本文所提出的VSACSMP算法兼顧了算法精度和算法效率，但在算法效率上仍需改進。

表1 不同信道估計算法單次運行時間

4 結(jié)論

針對傳統(tǒng)壓縮感知算法應用到OFDM信道估計中需要稀疏度作為先驗信息或算法效率不高的問題，提出了變步長自適應壓縮采樣匹配追蹤（VSACSMP）算法。該算法首先采用變步長匹配測試的估計方法對信號稀疏度進行預估，得到一個略小于真實稀疏度的估計值，并通過回溯思想改善估計結(jié)果，同時使用弱選擇引入新的原子，漸進增加信號支撐集，提高了算法的重建精度。仿真結(jié)果表明，本文提出的VSACSMP算法較于傳統(tǒng)自適應算法具有更好的信道估計性能，但在算法效率上仍需改進。