基于SVM與SRM耦合的抗剪強度參數隨機場模擬

苗 雨, 丁琪皓, 陳 浙, 鄭俊杰, 李繼能

(1.華中科技大學 土木工程與力學學院,湖北 武漢 430074; 2.武漢華中科大土木工程檢測中心,湖北 武漢 430074)

0 引言

工程經驗表明,土體參數即使在同質層中也會表現出顯著差異。這種不確定性在傳統的計算中經常會被忽略,而采用均值代替。在大多數情況下,這種處理方法并不準確甚至是錯誤的。因此如何正確地模擬土體參數的空間變異性是一個富有挑戰性的問題。

隨機場理論為土體空間變異性的模擬提供了有效途徑。目前關于隨機場模擬分析方面的文獻較多,如Vanmarcke等[1]提出隨機場模型,視土層為統計均勻的前提下,運用方差、方差折減函數、相關函數和波動范圍等隨機場的數字特征來描述土性參數的空間分布。Griffiths等[2-4]將蒙特卡羅法(MCS)用于隨機場分析中,對比考慮空間變異性后結構的失效概率變化。吳振君等[5]將隨機場模擬和區域化變量理論的Kriging 方法結合,建立約束隨機場。閆澍旺等[6]研究了隨機場方差折減函數的確定原則,并通過算例說明了折減原則的合理性。史良勝等[7]研究了Karhunen-Loeve(KL)展開在土性參數隨機場模擬中的應用。Shinozuka等[8-9]比較了SRM與KL方法在隨機場離散中的優劣,證明在相關距離較短時KL方法收斂難度較大。盡管上述方法在巖土工程隨機場分析中得到了一定的應用,但仍然存在很多不足。如方差折減法需要大量數據確定其折減函數。MCS方法需要更大數量級的樣本數量和計算時間,計算代價過大。KL方法需要解決Fredholm積分方程問題。更重要的是,在實際工程中土體參數一般為多維多變量隨機場,而傳統的隨機場方法僅考慮參數的自相關性,即僅解決多維單變量問題,并未考慮到參數間的互相關性。

本文將SRM與SVM結合,提出一種能兼顧參數自相關性與互相關性的隨機場模擬方法,并在此基礎上研究土體抗剪強度參數隨機場模擬問題。

1 基本理論

1.1 譜表示法

譜表示法將隨機場離散為N1個具有隨機相位角的三角函數,一維隨機場公式:

(1)

式中:φi(i=1,…,N1)為在[0,2π]區間服從標準分布的獨立隨機相位角,頻率設定為:

(2)

式中:κ1u為截斷波數。幅值Ai可用下式確定:

(3)

其中:Sf0為非負函數κ1的功率譜密度函數。式(1)的模擬過程構成了隨機場的頻譜表示。

當隨機場為二維或三維時,式(1)改寫為以下形式:

(4)

和

式中:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

κ1i=iΔκ1;κ2i=jΔκ2;κ3i=kΔκ3

(13)

1.2 自相關函數

土體參數空間變異性分析時常采用自相關函數描述隨機場計算區域內任意兩個不同空間位置處土體參數間的自相關性[10]。對于土體的自相關函數,尚無一個確定的結論,常用的型式有指數型和指數余弦型。出于簡化計算的考慮,本文采用各向同性指數平方型相關函數[11],其表達式為:

(14)

式中:b為隨機場的相關距離。

1.3 支持向量機

SVM的基本思想是通過非線性變化把原數據空間映射到某一高維的特征空間,然后在這個新空間中求取最優線性分類面,使得該超平面將兩類樣本正確無誤地分開且使分類間隔最大[12]。這種非線性變化通過定義適當的內積函數加以實現。SVM的特點在于根據有限的樣本信息在模型的復雜性(對特定訓練樣本的學習精度)和學習能力(無錯誤地識別任意樣本的能力)之間尋求最佳折中,以獲得最好的推廣能力[13-14]。

對于給定一組樣本數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xk,yk),xi∈Rn,yi∈R,我們的目標是尋找一個n維空間中的線性函數

f(x)=w·x+b

(15)

使得對于所有從訓練數據中獲得的目標數據yi的偏差最小。

經過整理,最優分類面問題可以表示成如下的約束優化問題,求函數

(16)

的最小值。

對于現行不可分情況,根據統計學習理論,可以通過在約束條件中引入松弛變量,并在目標函數中加入罰函數來解決這一問題。式(16)即可演變為下式:

(17)

式中:C為常數,起控制對錯分樣本懲罰程度的作用,能實現錯分樣本的比例與算法復雜度之間的折中。若C過大,就會引起過學習,影響分類器的泛化能力。使用優化算法,式(17)即可轉化為一個雙優化問題,即求函數

(18)

的最大值。解決上述優化問題后,即可得到回歸方程:

(19)

如果一個問題在其定義的空間中不是線性可分的,可以考慮通過引入核函數K(xi,xj)把問題轉換到一個新的空間中,相應的判別函數為:

(20)

本文采用徑向基核函數[15-16],其形式為:

(21)

式中:g是核函數中的重要參數,影響著SVM算法的復雜程度。

1.4 SRM與SVM耦合算法

對于給定一組樣本數據(x11,…x1j,…x1m),(x21,…x2j,…x2m),…,(xn1,…xnj,…xnm),可得參數矩陣X

(22)

由式(22)可得參數間的相關矩陣C。SRM與SVM耦合其主要內容包括以下步驟:

(1) 選擇一種參數作為訓練集x,剩余參數為訓練集y;

(2) 土體參數間的非線性關系可用SVM(X)表示:

SVM(x) :Rn→R
y=SVM(x),
x=(x1,x2,…,xn)
y=(y1,y2,…,yn)

(23)

(3) 求解二次優化問題,得到對應的支持向量機模型;

(4) 使用最佳算法:如粒子群算法、網格搜索法或遺傳算法搜尋最優參數:C和g;

(5) 聯合步驟(3)與(4)得到最優支持向量機模型;

(6) 采用各向同性指數平方型相關函數來表征土體參數的自相關性;

(7) 使用SRM模擬土體參數x;

(8) 使用式(23),即可得到剩余參數的模擬數據。

2 算例

本文以土體抗剪強度參數:黏聚力c(kPa)、內摩擦角φ(°)為例進行分析。土體黏聚力和內摩擦角間存在明顯的統計負相關性,且二者大多服從非正態分布,故其服從二維二元隨機場分布。取30組樣本數據[17]為訓練集,場地大小為50 m×50 m,具體數值見表1,基本指標見表2。

表1 土體三軸試驗抗剪強度參數

表2 土體抗剪強度參數基本指標

若采用傳統SRM模擬此二維二元隨機場,則可用式(14)得到自相關函數Rf0f0(ξ1,ξ2),對應的功率譜密度函數Sf0f0(x1,x2)可采用快速傅里葉變換得到。土體抗剪強度參數隨機場基本指標的具體數值見表3。

表3 SRM離散隨機場基本指標

表3與表2對比可知,使用傳統SRM方法離散多元隨機場后,變量間的相關性發生了很大變化,說明此方法僅考慮了變量間的自相關性,并未考慮變量間的互相關性,與實際情況并不相符。

表4 SRM與SVM耦合離散隨機場基本指標

圖1給出了傳統SRM方法與耦合算法離散隨機場后內摩擦角的概率密度函數曲線。二者比較可知,耦合算法在自相關性上與傳統SRM方法擬合較好,說明耦合算法在隨機場模擬過程中比較好地保留了參數的自相關性。

圖1 內摩擦角概率密度函數Fig.1 Probability density function of the internal friction angle

表4與表2對比可知,使用此方法離散隨機場所得協方差矩陣與原始數據吻合較好,表明在隨機場離散過程中未改變黏聚力c與內摩擦角φ的互相關性,更加符合工程實際。

3 結論

本文提出采用譜表示法與支持向量機法耦合模擬多維多元隨機場,通過對比土體抗剪強度參數隨機場模擬過程中相關性的變化,探討傳統譜表示法與耦合算法對互相關性的影響。通過上述分析,可以得到以下結論:與傳統的譜表示法相比,采用本文提出的耦合算法,不僅可以模擬變量的自相關性,還可以兼顧變量間的互相關性,全面地反映了空間變異性,更加有利于工程設計計算。