基于非線性控制參數(shù)組合策略的灰狼優(yōu)化算法

張孟健 龍道銀 楊小柳 王 霄 楊 靖*

1(貴州大學(xué)電氣工程學(xué)院 貴州 貴陽(yáng) 550025) 2(中國(guó)電建集團(tuán)貴州工程有限公司 貴州 貴陽(yáng) 550001)

0 引 言

自20世紀(jì)90年代以來(lái)，群體智能優(yōu)化算法因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)和求解效率高等特點(diǎn)，被研究學(xué)者廣泛地應(yīng)用于復(fù)雜問(wèn)題的求解及實(shí)際的優(yōu)化問(wèn)題中。其中較為典型的算法有遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)[1]、粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)[2]、蟻群算法(Ant Colony Optimization, ACO)[3]、差分進(jìn)化(Differential Evolution, DE)算法[4]等。受灰狼群捕食行為的啟發(fā), 澳大利亞學(xué)者M(jìn)irjalili等[5]在2014年提出了一種新的群體智能化優(yōu)化算法，即灰狼優(yōu)化算法(Grey Wolf Optimizer，GWO)。

對(duì)于灰狼優(yōu)化算法的改進(jìn)研究中，文獻(xiàn)[6-10]針對(duì)收斂因子a分別給出了不同的改進(jìn)策略，使得a隨迭代次數(shù)的增加呈非線性動(dòng)態(tài)變化，從而有效地平衡算法的全局探索和局部開發(fā)的能力。文獻(xiàn)[6]提出一種控制參數(shù)a隨機(jī)動(dòng)態(tài)調(diào)整的策略來(lái)達(dá)到動(dòng)態(tài)自適應(yīng)目的；文獻(xiàn)[7]提出基于余弦函數(shù)和二次函數(shù)的非線性動(dòng)態(tài)變化收斂因子更新方法；文獻(xiàn)[8]提出一種基于指數(shù)變化的參數(shù)a的調(diào)整策略，并運(yùn)用在二維平面的無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的優(yōu)化部署中，但調(diào)節(jié)系數(shù)的選擇沒有詳細(xì)敘述；文獻(xiàn)[9]提出一種基于對(duì)數(shù)遞減策略的非線性動(dòng)態(tài)變化的收斂因子控制策略，并運(yùn)用在基于測(cè)距的無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位中；文獻(xiàn)[10]提出一種基于余弦函數(shù)的非線性控制參數(shù)策略，尋優(yōu)效果相對(duì)較好，但需要進(jìn)一步的改進(jìn)研究；文獻(xiàn)[11]提出一種基于混沌映射混合粒子群的GWO，收斂因子a采用了二次函數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。

與其他群體智能算法類似，標(biāo)準(zhǔn) GWO 也存在易陷入局部最優(yōu)、后期收斂速度慢、求解精度不高等缺點(diǎn)。本文提出新的非線性控制參數(shù)策略與權(quán)值系數(shù)的非線性調(diào)整參數(shù)控制策略，并對(duì)多組基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行分析來(lái)驗(yàn)證所提策略的有效性。

1 灰狼優(yōu)化算法基本模型

GWO模擬了狼群的社會(huì)等級(jí)制度和群體的狩獵行為[5]。從數(shù)學(xué)角度設(shè)計(jì)GWO時(shí)，結(jié)合灰狼的實(shí)際社會(huì)等級(jí)，將最優(yōu)解設(shè)為α狼；次優(yōu)解設(shè)為β狼；第三優(yōu)解設(shè)為δ狼；剩余的解歸為ω狼。

灰狼群狩獵過(guò)程包括接近和包圍獵物，其數(shù)學(xué)表達(dá)式[5]如下：

D=|C·XP(t)-X(t)|

(1)

X(t+1)=XP(t)-A·D

(2)

式中：D為個(gè)體與目標(biāo)之間的距離；t為當(dāng)前的迭代次數(shù)；C和A為系數(shù)向量；Xp為目標(biāo)的位置向量；X為單只灰狼的位置向量。其中A和C的計(jì)算公式如下：

A=2a·r1-a

(3)

C=2r2

(4)

式中：r1、r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)生成的向量；a為收斂因子，其值隨迭代次數(shù)的增加從2線性遞減至0。

a=2-2ti/tmax

(5)

式中：tmax為最大的迭代次數(shù)，其中i=1,2,…,N。

灰狼個(gè)體跟蹤獵物位置的公式表述如下：

(6)

式中：Dα、Dβ、Dδ分別表示α、β和δ與其他個(gè)體之間的距離；Xα、Xβ、Xδ分別表示α、β和δ當(dāng)前的位置；C1、C2、C3為系數(shù)隨機(jī)向量；X為單只灰狼的當(dāng)前位置向量。

在獵捕階段中，剩余的ω狼個(gè)體向著α、β和δ狼的前進(jìn)步長(zhǎng)和方向，其表述如下：

(7)

其中灰狼個(gè)體位置的更新公式如下：

X(t+1)=(X1+X2+X3)/3

(8)

2 改進(jìn)GWO

對(duì)于不同的控制參數(shù)策略及非線性控制參數(shù)的組合策略中的調(diào)整參數(shù)，選取多組值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并通過(guò)多組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果分析，選擇最佳的組合策略的調(diào)整參數(shù)值。

2.1 非線性控制參數(shù)

文獻(xiàn)[5]采用的是線性控制策略，可表示為：

a0(t)=afirst-afirst·(t/Tmax)

(9)

本文提出一種基于正弦函數(shù)的調(diào)整參數(shù)控制策略，公式如下：

(10)

式中：afirst、afinal分別為控制參數(shù)的初值和終值；μ和λ均為調(diào)節(jié)參數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)。

此外，為了進(jìn)行權(quán)值系數(shù)的調(diào)整參數(shù)控制策略研究，本文應(yīng)用了文獻(xiàn)[7-8]中收斂因子的迭代公式：

(11)

(12)

式中:γ為非線性調(diào)系數(shù)；k為算法開發(fā)和搜索能力影響因子，其值越小，則算法在最優(yōu)解附近搜索新的最優(yōu)解的能力越強(qiáng)。本文中γ=10,k=7。

2.2 改進(jìn)的非線性控制參數(shù)策略

根據(jù)式(10)-式(12),選擇a1、a2、a3三種策略進(jìn)行組合，提出權(quán)值系數(shù)的調(diào)整參數(shù)控制策略，進(jìn)而權(quán)衡局部搜索和全局搜索的收斂速度。表示如下：

(13)

則組合后的收斂因子可表示為：

a=ω1·a1+ω2·a2+ω3·a3

(14)

2.3 改進(jìn)策略調(diào)節(jié)參數(shù)的設(shè)定

針對(duì)本文的非線性控制參數(shù)的組合策略，在μ=2時(shí)，給定不同的調(diào)節(jié)參數(shù)值及其隨迭代次數(shù)的變化曲線如圖1所示，其中控制參數(shù)a0、a1、a2、a3、a的5種策略分別為傳統(tǒng)的灰狼優(yōu)化算法(GWO)、組合策略的參數(shù)控制的灰狼優(yōu)化算法(GWO1)、基于正弦函數(shù)的調(diào)整參數(shù)控制策略的灰狼優(yōu)化算法(GWO-SIN)、文獻(xiàn)[7]提出的二次函數(shù)控制參數(shù)的灰狼優(yōu)化算法(GWO2)、文獻(xiàn)[8]提出的指數(shù)控制參數(shù)的改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法(GWO3)的仿真策略。本文分別對(duì)不同的λ和k的值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其中λ的取值為2～5，k的取值為6和7，限于篇幅，本文只給出2個(gè)仿真圖。

(a) λ=2,γ=10,k=6

(b) λ=5,γ=10,k=7圖1 不同權(quán)值動(dòng)態(tài)因子隨迭代次數(shù)的變化曲線

可以看出，控制參數(shù)a隨迭代次數(shù)的曲線變化斜率對(duì)于非線性控制策略都是不斷變化的，文獻(xiàn)[7-8]提出的控制參數(shù)非線性的改進(jìn)策略與本文提出的非線性參數(shù)控制調(diào)整策略均可有效地均衡算法的局部搜索和全局搜索能力。由式(3)可以知道，控制參數(shù)a是搜索參數(shù)A的一個(gè)重要的影響因素，直接影響算法的局部搜索和全局搜索能力。圖1中的5條曲線分別對(duì)應(yīng)不同的參數(shù)控制策略，對(duì)算法的收斂速度及求解結(jié)果有不同程度的影響。

此外，為了驗(yàn)證本文所設(shè)定的調(diào)節(jié)參數(shù)值的合理性，針對(duì)5種算法選擇F1、F2、F4和F5等4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真測(cè)試，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果選擇最佳的調(diào)節(jié)參數(shù)值。仿真結(jié)果如表1-表3所示。

表1 參數(shù)λ=2、γ=2、k=6時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)測(cè)試結(jié)果

表2 參數(shù)λ=5、γ=10、k=6時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)測(cè)試結(jié)果

續(xù)表2

表3 參數(shù)λ=5、γ=12、k=7時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)測(cè)試結(jié)果

為了保證參數(shù)選取實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性，本文對(duì)選擇的4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)分別進(jìn)行10次獨(dú)立測(cè)試，并計(jì)算各組解的均值(Mean)與方差(Std)。分析結(jié)果如下：

從表1的函數(shù)測(cè)試結(jié)果來(lái)看，當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)μ=2,λ=2,非線性調(diào)系數(shù)γ=10,算法開發(fā)和搜索能力影響因子k=6時(shí),GWO1對(duì)單峰函數(shù)F2的求解最佳，對(duì)于函數(shù)F1、F4、F5的測(cè)試結(jié)果，平方參數(shù)控制策略的GWO2的求解最佳。

從表2的函數(shù)測(cè)試結(jié)果來(lái)看，當(dāng)μ=2、λ=5、γ=10、k=6,對(duì)于單峰函數(shù)及多峰函數(shù)F4，組合策略GWO1的求解均優(yōu)于傳統(tǒng)的GWO、GWO2、GWO3和GWO-SIN；對(duì)于多峰函數(shù)F5，組合策略GWO1的求解均優(yōu)于傳統(tǒng)的GWO、GWO2和GWO3，略劣于GWO-SIN。

從表3的函數(shù)測(cè)試結(jié)果來(lái)看，當(dāng)μ=2、λ=5、γ=12、k=7時(shí),除了對(duì)函數(shù)F2的求解，其余3個(gè)函數(shù)GWO-SIN的求解均為最佳。

比較表1-表3的測(cè)試結(jié)果，γ=12、k=7時(shí)GWO2對(duì)于單峰函數(shù)的求解要劣于γ=10、k=6時(shí)的值。

綜合上述的分析，選擇最佳的調(diào)節(jié)參數(shù)值，即μ=2、λ=5、γ=10、k=6。

2.4 搜索參數(shù)A的仿真分析

在迭代過(guò)程中，收斂因子a的值由2逐漸減小至0，A的范圍隨a的值減小而減小。當(dāng)|A|≤1時(shí)，灰狼群收縮搜索范圍向著獵物攻擊，即實(shí)現(xiàn)局部搜索；當(dāng)|A|>1時(shí)，灰狼群體擴(kuò)大搜索范圍遠(yuǎn)離獵物，以加強(qiáng)算法的探索能力，即實(shí)現(xiàn)全局搜索。

針對(duì)算法搜索參數(shù)A的特性，結(jié)合已有的改進(jìn)算法及本文算法進(jìn)行對(duì)比分析。本文針對(duì)式(3)中r1的值，選擇不同的值，分析其在4種a迭代算法中對(duì)GWO的搜索參數(shù)A進(jìn)行仿真。

由文獻(xiàn)[5]可知，灰狼算法中的參數(shù)r1、r2的取值為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。式(3)中，對(duì)搜索參數(shù)A的直接影響因子有r1和a。由于r1在算法的計(jì)算中是隨機(jī)產(chǎn)生的，為了避免偶然性，因此本文對(duì)基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試時(shí)，采用了多次測(cè)試求取均值的思想。

本文在分析對(duì)搜索參數(shù)A影響參數(shù)中，針對(duì)不同的r1取值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。當(dāng)r1=0.5時(shí)，4種非線性參數(shù)控制策略對(duì)搜索參數(shù)A的影響曲線是重合的。故本文r1分別取0.15、0.25、0.55、0.75、0.85和0.95，根據(jù)式(3)，運(yùn)用MATLAB進(jìn)行繪制仿真擬合曲線，其仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 4種a的迭代算法下的搜索參數(shù)A的擬合曲線

可以看出,本文提出的組合策略，以圖2(d)為例，算法的迭代過(guò)程中搜索參數(shù)A曲線的斜率在不斷地變化，前期的搜索參數(shù)A遞減速度較慢可增強(qiáng)全局的搜索能力，可避免陷入局部最優(yōu)；中期的搜索參數(shù)A遞減速度較快從而改善算法的局部搜索能力，可加快算法的收斂速度；后期的搜索參數(shù)A遞減速度有一個(gè)由慢到快的過(guò)程，可以在算法的迭代過(guò)程中進(jìn)一步有效地均衡局部搜索和全局搜索能力。

2.5 改進(jìn)的算法流程

本文策略對(duì)應(yīng)的改進(jìn)GWO步驟如下：

Step 1設(shè)置種群的規(guī)模N、維度d，初始化a、A和C的值；初始化Xα、Xβ和Xδ的值。

Step 2計(jì)算每個(gè)智能體的適應(yīng)度值。

Step 3比較各智能體的適應(yīng)度值及Xα、Xβ和Xδ的適應(yīng)度值,確定當(dāng)前的Xα、Xβ和Xδ的值。

Step 4根據(jù)本文策略,由式(10)、式(14)分別計(jì)算控制參數(shù)a的值，以及根據(jù)式(3)和式(4)分別對(duì)應(yīng)計(jì)算A和C的值。

Step 5根據(jù)式(6)-式(8)更新種群個(gè)體的位置，再重新計(jì)算適應(yīng)度值，并更新α、β和δ的值。

Step 6判斷t是否達(dá)到Tmax的值，如果達(dá)到則結(jié)束，輸出最優(yōu)解，否則返回Step2繼續(xù)執(zhí)行。

3 實(shí)驗(yàn)與仿真分析

3.1 基本測(cè)試函數(shù)

為了驗(yàn)證基于權(quán)重系數(shù)改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法的有效性, 本文對(duì)表4中的6種基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),并與基本的灰狼算法(GWO)[5]、本文提出的幾種不同權(quán)重系數(shù)的改進(jìn)灰狼算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,并選擇出相對(duì)較優(yōu)的權(quán)重組合策略進(jìn)行分析。表4中F1-F3為單峰函數(shù)，F(xiàn)4-F6為多峰函數(shù)。

表4 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

3.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)的設(shè)置

本文的仿真實(shí)驗(yàn)中，算法的種群規(guī)模N為30，最大迭代次數(shù)Tmax為500, 控制參數(shù)初值afirst=2，終值afinal=0。非線性參數(shù)控制策略組合方式中的調(diào)節(jié)參數(shù)μ=2,λ=5，非線性調(diào)系數(shù)γ=10，算法開發(fā)和搜索能力影響因子k=6。本文采用MATLAB2014a進(jìn)行仿真。

3.3 仿真分析

為驗(yàn)證權(quán)值系數(shù)的非線性參數(shù)控制組合策略及本文算法的性能優(yōu)劣。針對(duì)同一測(cè)試的基準(zhǔn)函數(shù)，對(duì)不同的參數(shù)控制策略對(duì)應(yīng)的算法分別獨(dú)立運(yùn)行20次，并比較5種算法對(duì)6個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均值(Mean)和方差(Std)。表5列出各算法在基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的平均值(Mean)和方差(Std)結(jié)果。

表5 GWO、GWO1、GWO2、GWO3的尋優(yōu)結(jié)果

從數(shù)據(jù)可以得知，本文算法在μ=2、λ=5、γ=10、k=6時(shí)，對(duì)F1、F2、F4、F5、F6基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)求解的平均值中，均優(yōu)于傳統(tǒng)的GWO、GWO2和GWO3。

為了進(jìn)一步地說(shuō)明本文策略的收斂性能，圖3給出了4種參數(shù)控制策略的仿真結(jié)果對(duì)比。

圖3 4種不同調(diào)整參數(shù)控制策略的收斂曲線

可以看出，在搜索初期5種算法的搜索速度相近。隨著迭代次數(shù)的增加，對(duì)于多峰函數(shù)，結(jié)合表5的結(jié)果可以看出非線性控制參數(shù)組合策略的GWO1尋優(yōu)效果較好；對(duì)于單峰函數(shù)F3，本文算法要略劣于GWO2。這說(shuō)明對(duì)于不同的函數(shù)，參數(shù)的取值會(huì)對(duì)算法的尋優(yōu)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。因此，在智能算法的應(yīng)用中，需要針對(duì)應(yīng)用場(chǎng)景進(jìn)行參數(shù)的選取，從而達(dá)到最佳的效果。

此外，對(duì)比文獻(xiàn)[10]中的改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法的函數(shù)測(cè)試結(jié)果，從與本文采用相同的測(cè)試函數(shù)F1、F4和F5來(lái)看，對(duì)于相同的維數(shù)(30)本文提出的2種非線性參數(shù)控制策略在測(cè)試函數(shù)F1和F5上的尋優(yōu)解均優(yōu)于文獻(xiàn)[10]提出的改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[10]對(duì)測(cè)試函數(shù)F1和F5解的均值分別為1.334 85e-27、2.772 9e-13,方差分別為7.313 0e-28、1.028 3e-13，而本文的組合策略的參數(shù)控制的灰狼優(yōu)化算法(GWO1)、基于正弦函數(shù)的調(diào)整參數(shù)控制策略的灰狼優(yōu)化算法(GWO-SIN)對(duì)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)F1和F5的尋優(yōu)解詳見表3。可以看出，本文提出的GWO1對(duì)于測(cè)試函數(shù)F4的求解亦可得到與文獻(xiàn)[10]相同的結(jié)果。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種非線性控制參數(shù)組合調(diào)整策略。首先，通過(guò)對(duì)3種非線性參數(shù)控制策略的調(diào)節(jié)因子的不同的取值進(jìn)行仿真；然后，對(duì)5組不同的調(diào)節(jié)參數(shù)值進(jìn)行基準(zhǔn)函數(shù)的測(cè)試仿真，選擇權(quán)重系數(shù)的非線性控制參數(shù)組合策略的最佳參數(shù)值。此外，為了驗(yàn)證本文策略的有效性及其優(yōu)劣性，對(duì)6個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果表明，本文策略均優(yōu)于GWO2、GWO3、文獻(xiàn)[10]提出的改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法。未來(lái)將對(duì)改進(jìn)的GWO的理論進(jìn)行研究[12]，并應(yīng)用于工程約束優(yōu)化問(wèn)題。