高振蕩積分的分段Hermite求積逼近

繆思怡 王一涵 劉長迎

（南京信息工程大學數學與統計學院 江蘇·南京 210044）

0 引言

本文主要研究高頻振蕩積分的有效數值方法：

高振蕩積分的數值研究相對較新，近年來引起學者的高度關注。早在1982年文獻[2]中便提出了求解高振蕩積分的新的Levin方法，此后關于求解高振蕩積分的一系列數值研究結果被提出。文獻中基于配置法和高斯求積公式的思想，提出了高精度的Levin方法。基于漸近展開的思想文獻[3]提出了Filon型方法，對于大頻率高振蕩問題Filon型方法求解效果越好。但是對于頻率較低的問題，求解效果并不能令人滿意。

本文采用分段 Hermite插值逼近來研究高振蕩積分（1.1），主要安排如下：第二節中提出了經典的復化Simpson公式并給出其先驗誤差估計。第三節中構造了頻率擬合的復化Simpson公式并給出其先驗誤差估計。第四節中數值算例驗證了本文的結論。

1 經典的復化Simpson公式

表1：C-S公式求解高振蕩積分問題的收斂階

表2：M-S公式求解高振蕩積分問題的收斂階

2 修正的復化Simpson公式

定理成立。

注：由定理2的結論可以得到，M-S公式具有四階收斂精度并且計算步長不依賴于振蕩頻率。這意味著當振蕩頻率很大時，采用大步長求解即能達到預期的精度，從而大大的減小了計算量。

3 數值實驗

通常情況下高振蕩積分（1.1）并不能精確積分。為此，我們取步長下8價的Gauss求積公式的數值解作為參考解本文考慮高振蕩積分

圖1：在不同頻率下的計算效率