神奇的三角形內的一點

王姍姍

一天，幾何學家佩多接到了一位經濟學家打來的電話：如果等邊三角形內有一個點P，無論P的位置在三角形內如何變動，P到三角形三邊的距離之和是否總是不變呢？佩多教授馬上給了讓他滿意的答復：

如圖1，在等邊△ABC中，連接PA、PB、PC。用x、y、z分別表示點P到△ABC三邊的距離。設等邊△ABC邊長為a，高為h。

因為S△PBC=[12]ax，S△PAC=[12]ay，

S△PAB=[12]az，

所以S△PBC+S△PAC+S△PAB

=[12]ax[+12]ay[+12]az=S△ABC。

所以x+y+z=[2S△ABCa]。 ①

而由S△ABC=[12]ah，得

h=[2S△ABCa]，結合①可得，

x+y+z=h，即P到等邊三角形三邊的距離之和等于它的高。

通過解答過程，我們不難發現，一個七年級的學生也能給這位經濟學家滿意的答復，因為這只是運用了簡單的三角形的面積公式。但是，這個問題啟發我們思考：如果在任意一個三角形內隨便放一個點，會有怎樣的發現呢？

如圖2，P為△ABC內任意一點，分別連接AP、CP、BP并延長，交BC、AB、AC于點D、F、E。

根據題意，得S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

則[S△PBCS△ABC][+S△PACS△ABC][+S△PABS△ABC]=1。 ②

因為[S△PBDS△ABD]=[PDAD]，[S△PDCS△ADC]=[PDAD]（高相等，三角形面積之比等于底之比），

所以[S△PBD+S△PDCS△ABD+S△ADC]=[PDAD]，

即[S△PBCS△ABC]=[PDAD]。 ③

同理可得[S△PABS△ABC]=[PFCF]。 ④

[S△PACS△ABC]=[PEBE]。 ⑤

將③、④、⑤相加，得

[S△PBCS△ABC]+[S△PABS△ABC][+S△PACS△ABC]=[PDAD][+PFCF][+PEBE]。

由②得：[PDAD][+PFCF][+PEBE]=1。

由簡單的三角形面積公式和比例的性質，我們得到了這樣一個較為復雜的結論。這個問題還可以繼續衍生下去。AP、CP、BP的延長線與三角形三邊的交點為D、F、E，它們將三角形三邊分成了六條線段，這六條線段之間有沒有特殊的數量關系呢？

塞瓦定理告訴我們[DCDB]·[FBFA]·[EAEC]=1。如何證明呢？

證明：[DCDB=S△ADCS△ABD=S△PDCS△PBD=]

[S△ADC-S△PDCS△ABD-S△PBD=S△APCS△ABP] ⑥。

同理可得：[FBFA=S△BPCS△APC] ⑦，

[EAEC=S△ABPS△BPC] ⑧。

將⑥、⑦、⑧相乘即可得到[DCDB]·[FBFA]·[EAEC]=1，這個看似復雜的定理仍然是由簡單的三角形面積公式和比例的性質得到。

看似平凡的三角形內的一點，藏著多少神奇和奧秘！一個基本圖形就像一個萬花筒，稍一轉動，就能變幻多端、綻放光彩，其實只有幾片不起眼的涂色紙片而已。

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學）