基于預測誤差編碼的加密域可逆數(shù)據(jù)隱藏算法

馬廣瑤，黃德璐，王建軍

（復旦大學 信息科學與工程學院，上海 200433）

0 概述

數(shù)字圖像的可逆數(shù)據(jù)隱藏（Reversible Data Hiding，RDH）技術(shù)可將秘密數(shù)據(jù)隱秘地嵌入到載體圖像中，并在接收端無失真地恢復載體圖像和秘密數(shù)據(jù)。隨著人們對數(shù)據(jù)安全及個人隱私重視程度的逐漸提高，數(shù)字圖像在傳輸前通常需要加密。因此，加密圖像可逆數(shù)據(jù)隱藏（Reversible Data Hiding in Encrypted Images，RDH-EI）技術(shù)應運而生，并受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注，成為數(shù)據(jù)隱藏技術(shù)的重要分支?，F(xiàn)有的RDH-EI 算法主要可分為加密前預留空間（Vacating Room Before Encryption，VRBE）和加密后騰出空間（Vacating Room After Encryption，VRAE）兩類。

VRBE 方法通過圖像加密前的預處理預留嵌入空間。文獻［1］使用傳統(tǒng)RDH 算法，將圖像中部分像素的最低有效位（Least Significant Bit，LSB）嵌入其余像素以獲取嵌入空間。文獻［2］通過預測誤差直方圖平移方法預留嵌入空間。文獻［3］使用稀疏編碼方法對圖像進行壓縮獲得隱藏空間。但是，此類方法均要求圖像所有者對原始圖像進行除加密以外的所有操作，實用性較差。VRAE 方法更具實際操作性，獲得了研究人員的廣泛關(guān)注。文獻［4］使用流加密方法加密圖像，通過翻轉(zhuǎn)圖像塊內(nèi)一半像素的3 個最低有效位并將其嵌入秘密信息。文獻［5］引入邊匹配機制，提高了信息提取操作的精確度。文獻［6］優(yōu)化了波動評估函數(shù)。文獻［7-8］調(diào)整最低有效位的翻轉(zhuǎn)方式。由于無法做到無失真恢復原始圖像，因此以上方法并不是完全可逆的，并且算法必須在明文域內(nèi)進行信息提取操作。為解決上述問題，文獻［9］提出一種可分離的RDH-EI 算法，即可在加密域內(nèi)完成信息提取操作。文獻［10］改進了加密像素的壓縮方法。文獻［11］提出將加密圖像像素分為三組并分別嵌入秘密信息，接收端采用迭代方法恢復原始圖像。文獻［12］提出基于預測誤差的信息嵌入方法，提高了嵌入率。為更好地利用像素間的相關(guān)性，文獻［13］設(shè)計一種新型加密框架?；谠摽蚣?，一些明文域RDH 算法可被應用于加密域。文獻［14］將直方圖平移隨機化，增強了算法安全性，并通過多層級嵌入增加嵌入容量。文獻［15］將圖像分塊并使塊內(nèi)像素分組，建立差值直方圖，通過直方圖平移方法嵌入秘密信息。文獻［16］采用不同的加密方法加密原始圖像的高低位平面，利用同態(tài)加法和差值擴展方法分別在高低位平面嵌入秘密信息。上述算法雖然實現(xiàn)了在明文域進行信息提取，但只能在同時擁有加密密鑰和嵌入密鑰的情況下進行圖像恢復操作。針對該問題，文獻［17］提出基于矩陣編碼的RDH-EI 算法，實現(xiàn)信息提取操作和圖像恢復操作的完全分離，但由于該算法采用Arnold 變換加密方法，因此安全性不高。文獻［18］提出基于最高有效位預測的RDH-EI 算法，在提高嵌入率的同時實現(xiàn)了信息提取操作和圖像恢復操作的完全分離。

針對現(xiàn)有加密圖像可逆數(shù)據(jù)隱藏算法的嵌入容量較低與安全性較差的問題，本文提出一種基于預測誤差編碼的加密域可逆數(shù)據(jù)隱藏算法。該算法利用基于圖像塊的多元線性回歸模型進行目標像素預測并對預測誤差編碼預留嵌入空間。通過差分對稱編碼提升編碼效率，擴展嵌入空間，并且接收者在僅擁有加密密鑰的情況下可無失真地恢復原始圖像，在僅擁有嵌入密鑰的情況下可無誤地提取秘密信息。

1 多元線性回歸預測與差分對稱編碼

1.1 多元線性回歸模型

多元線性回歸分析常被用來探究多個因變量與一個自變量之間的相關(guān)關(guān)系。多元線性回歸模型在多次觀測下的一般形式為：

其中，yi(1≤i≤n)為第n組觀測值中因變量的值，x1i，x2i，…，xki為自變量，b0，b1，…，bk為（k+1）個回歸系數(shù)，εi為誤差項。式（1）的矩陣形式為：

在確保誤差平方和最小的前提下尋找回歸系數(shù)的估計值（如式（3）所示），采用最小二乘法進行求解（如式（4）所示），并將求解結(jié)果通過矩陣形式進行表示（如式（5）所示）。

對于最小二乘法得到的殘差，即訓練誤差表示為：

其中，In為n階單位陣。假設(shè)最小二乘法得到的殘差服從N（0，σ2）分布，則平均預測誤差表示為：

可以看出，樣本越多，模型的擬合效果越好。當在新樣本集上進行預測時，實際預測誤差如式（8）所示，實際預測誤差除了固定項σ2，還包括用樣本估計真實值所產(chǎn)生的誤差。

在得到參數(shù)的最小二乘估計值后，還需進行統(tǒng)計檢驗并判斷模型的擬合優(yōu)度R2，R2計算公式如下：

1.2 基于圖像塊的多元線性回歸預測

在對一幅大小為M×M的灰度圖像進行預測時，首先將圖像劃分為3×3 的圖像塊，然后逐圖像塊進行像素預測。如圖1 所示，將塊內(nèi)4 個角上的像素v1、v2、v3、v4作為參考像素，圖像塊中心的像素u1既可以被預測，又可以作為參考像素對其余像素x1、x2、x3、x4進行預測。

圖1 基于圖像塊的多元線性回歸預測Fig.1 Multiple linear regression prediction based on image block

在一個圖像塊內(nèi)共進行5 組預測，5 組預測模型如式（10）所示：

其中，bij為第i組模型的第j個回歸系數(shù)。

1.3 差分對稱編碼

在差分對稱編碼方法中，碼元與誤差值（d）的對應關(guān)系為：當碼元長度（n）為1 時，以二進制碼‘0’表示十進制意義上的誤差值0，以二進制碼‘1’表示誤差值1；當碼元長度大于1 時，以碼元的第一位表示誤差的正負，其余位為誤差絕對值或者誤差值減去1的二進制表示。具體而言：當誤差值為正數(shù)時，碼元的第一位編為‘1’，其余位為誤差值減去1 的二進制表示；當誤差值小于等于0 時，碼元的第一位編為‘0’，其余位為誤差絕對值的二進制表示。假設(shè)碼元長度為n(n＞1)，碼元序列為c1，c2，…，cn，那么誤差值d與碼元序列之間的關(guān)系如下：

表1 以碼元長度為1、2 和3 為例，說明碼元長度n與誤差值d的對應關(guān)系，其中“—”表示碼元長度n無法表示誤差值d。

表1 碼元長度為1、2 和3 時的對稱編碼結(jié)果Table 1 Symmetric coding results when the symbol length is 1，2 and 3

根據(jù)上述規(guī)則，不同碼元長度表示的誤差值范圍如式（12）所示，即當碼元長度為n(1≤n≤7)時，共有2n種誤差值表示。對于差分編碼方法，假設(shè)信號源等概率分布，根據(jù)式（13）計算得到編碼效率為1。

其中，pi為信號源出現(xiàn)概率，li為信號源長度。

2 加密域可逆數(shù)據(jù)隱藏算法

本文算法框架如圖2 所示，首先由圖像所有者對原始圖像進行分塊加密，保留圖像塊內(nèi)像素間的相關(guān)性，然后數(shù)據(jù)隱藏者在接收到加密圖像后，對加密圖像分塊并對子塊內(nèi)像素值進行預測，若像素預測誤差在一定范圍內(nèi)，則對預測誤差進行編碼，并采用位替換方法嵌入秘密數(shù)據(jù)，最后接收者使用嵌入密鑰可以提取秘密信息，而采用加密密鑰可以準確無誤地恢復原始圖像。

圖2 本文算法框架Fig.2 Framework of the proposed algorithm

2.1 圖像加密

對于大小為M×N的載體圖像，首先將圖像分為m個大小為3×3 的圖像塊，其中依據(jù)加密密鑰生成偽隨機序列{r1，r2，…，rm}，根據(jù)該序列對圖像塊進行置亂，然后對于任一圖像塊Bk(k=1，2，…，m)，將圖像塊內(nèi)的像素與同一字節(jié)rk進行取余運算得到加密像素：

當M或N無法被3 整除時，原始圖像中并非所有像素均可構(gòu)成圖像塊。針對該情況，可對子塊之外的其余像素采用置亂方式進行加密，進一步提高加密圖像的安全性。

2.2 像素預測與分類

在接收到加密圖像后，數(shù)據(jù)隱藏者首先將數(shù)據(jù)集中的標準圖像作為訓練樣本，對5 組多元線性回歸模型進行訓練得到回歸系數(shù)。具體方法為將數(shù)據(jù)集中的圖像劃分為大小為3×3 的圖像塊，假設(shè)訓練集中包含t個圖像塊，以圖1 中心位置u1像素值的回歸分析為例，將每個圖像塊內(nèi)的v1、v2、v3、v4像素值作為觀測自變量，中心位置u1像素值作為觀測因變量分別代入式（10），矩陣形式為：

將式（15）結(jié)合式（5）可得到相關(guān)系數(shù)的解完成回歸分析。類似地，對式（10）中其他幾組模型分別進行回歸分析。然后將加密圖像劃分為3×3 的圖像塊，利用訓練得到的多元線性回歸模型逐塊地進行像素預測，計算圖像塊內(nèi)目標像素u1、x1、x2、x3、x4的預測值，設(shè)像素預測值為p，原始像素值為o，預測誤差d的計算公式如下：

假設(shè)采用nbit 對預測誤差進行編碼，根據(jù)差分對稱編碼可知，若預測誤差滿足式（12），則目標像素可進行秘密數(shù)據(jù)嵌入，否則目標像素不可嵌入秘密信息，因此目標像素被分為可嵌入像素和不可嵌入像素兩類。此外，用5mbit 的位置圖對目標像素的可嵌入性進行標記。當目標像素可嵌入時，位置圖相應位置標記為1，否則標記為0。為預留更多的嵌入空間，還可使用算術(shù)編碼方法對位置圖序列進行壓縮。

2.3 輔助信息存儲

為使接收端無誤地提取秘密信息和恢復原始圖像，將參數(shù)n、位置圖長度、多元線性回歸模型系數(shù)以及位置圖序列作為輔助信息嵌入加密圖像中，即將輔助信息比特流以位替換的方式嵌入?yún)⒖枷袼氐淖畹陀行恢校惶鎿Q的LSB 則與秘密信息共同嵌入可嵌入的像素中，因此待嵌入信息包括秘密信息和參考像素的LSB。

2.4 秘密信息嵌入

為保證算法安全性，使用嵌入密鑰并通過流加密方式對秘密信息進行加密。對于可嵌入像素，按照差分對稱編碼方法對預測誤差進行編碼，以nbit預測誤差碼元代替可嵌入像素的高n位，使用待嵌入信息替換可嵌入像素的低（8-n）位。對于不可嵌入像素，像素值保持不變。例如，當n=3 時，經(jīng)秘密信息嵌入后圖像塊的像素分布如圖3 所示，待嵌入信息比特流為‘01101…’。對中心位置像素進行預測，假設(shè)預測值為102，則預測誤差為-3，預測誤差符合式（12），該像素為可嵌入像素。由表1 可知，對應預測誤差碼元序列為‘011’，可嵌入的5 bit 信息為‘01101’，位替換后中心位置像素的碼元序列為‘01101101’，對應的像素值為109。

圖3 秘密信息嵌入后圖像塊的像素分布Fig.3 Pixel distribution of image block after secret information is embedded

2.5 信息提取與圖像恢復

在接收端共存在接收者僅擁有嵌入密鑰、接收者僅擁有加密密鑰和接收者同時擁有加密密鑰和嵌入密鑰3 種情況。當接收者僅擁有嵌入密鑰時，可以完全無誤地提取嵌入信息，具體步驟如下：

1）將標記圖像分塊，掃描參考像素的LSB，提取輔助信息。

2）根據(jù)位置圖確定可嵌入像素的位置，從可嵌入像素的低(8-n)位中提取嵌入信息，獲取加密后的秘密信息。

3）使用嵌入密鑰解密，即可恢復秘密信息。

當接收者僅擁有加密密鑰時，可以無失真地重建原始圖像，具體步驟如下：

1）將標記圖像分塊，掃描參考像素的LSB，提取輔助信息。根據(jù)輔助信息中的回歸系數(shù)信息重建多元線性回歸模型。

防止牛前胃遲緩疾病發(fā)生要注重改善飼養(yǎng)管理措施，合理調(diào)整飼料，避免為牛群投喂單一的難以消化的粗飼料。禁止向牛群投喂發(fā)霉、變質(zhì)、帶有冰碴的飼料。飼料在更換中，一定要按照循序漸進的原則進行，避免突然更換飼料。規(guī)模化肉牛養(yǎng)殖中，雖然在較短時間內(nèi)要增強肉牛的膘情，但是要確保肉牛充足的運動量，加速牛胃部系統(tǒng)蠕動，促進內(nèi)容物消化吸收。

2）根據(jù)位置圖獲取可嵌入像素位置，并在可嵌入像素的低(8-n)位中提取嵌入信息，獲取參考像素的原始LSB 序列，恢復參考像素的像素值。

3）基于參考像素恢復每個圖像塊內(nèi)中心位置的像素值，即使用相應的多元線性回歸模型對中心像素進行預測，從中心像素的高n位處獲取預測誤差碼元，對照編碼規(guī)則得到預測誤差，根據(jù)式（17）將像素預測值p與預測誤差d相減可得到原始像素值o。

4）重復步驟3 恢復圖像塊內(nèi)其余可嵌入像素的像素值，使得加密圖像得到恢復。

5）將加密圖像分塊，根據(jù)加密密鑰將塊內(nèi)像素值與同一字節(jié)進行取余運算，然后對圖像塊進行反置亂。若圖像中有未湊成圖像塊的像素，則同樣使用加密密鑰進行反置亂。

當接收者同時擁有兩把密鑰時，可以按照上述步驟分別提取秘密信息和恢復原始圖像。

3 實驗結(jié)果與分析

為驗證本文算法的性能，在BOWS-2［19］和UCID［20］數(shù)據(jù)集中隨機選取大小為512×512 的標準測試圖像進行實驗，如圖4 所示。從模型有效性、嵌入容量和算法性能的角度對本文算法進行分析。所有實驗均在Matlab2014a 平臺上完成。

圖4 標準測試圖像Fig.4 Standard test images

3.1 多元線性回歸模型有效性分析

在訓練多元線性回歸模型時需要足夠多的樣本，如果模型特征數(shù)（即自變量數(shù)目）較多而樣本數(shù)過少，則會造成欠擬合問題或過擬合問題。一般而言，樣本數(shù)越多，擬合效果越好。在實驗過程中，在BOWS-2［19］數(shù)據(jù)集中隨機選取100 張大小為512×512 的灰度圖像，將每張圖像劃分為3×3 的圖像塊，將數(shù)據(jù)集中的圖像塊作為訓練樣本，對5 組多元線性回歸模型進行擬合，訓練得到回歸系數(shù)為b10=-0.759 4、b11=0.245 3、b12=0.257 8、b13=0.257 1、b14=0.245 3、b20=-0.548 1、b21=0.416 0、b22=0.174 6、b23=0.413 5、b30=-0.616 5、b31=0.365 9、b32=0.277 6、b33=0.361 1、b40=-0.564 6、b41=0.414 5、b42=0.173 8、b43=0.415 9、b50=-0.612 4、b51=0.364 1、b52=0.277 0、b53=0.363 5。擬合優(yōu)度是表征多元線性回歸模型有效性的重要參數(shù)。表2 結(jié)果了5 組模型的擬合優(yōu)度，可以看出5 組模型的擬合優(yōu)度均接近或大于0.98，整體接近1，由此表明5 組模型均有效描述了目標像素與鄰近像素的相關(guān)關(guān)系，擬合度較高。

表2 多元線性回歸模型的擬合優(yōu)度Table 2 Goodness of fit for multiple linear regression models

3.2 嵌入容量分析

表3 不同碼元長度下RDH-EI 算法的嵌入率比較Table 3 Comparison of embedding rate of RDH-EI algorithm with different symbol lengths（bit·pixel-1）

為驗證本文算法的普適性和有效性，設(shè)置參數(shù)n=3，在BOWS-2［19］和UCID［20］數(shù)據(jù)集中分別隨機選取100 張圖像進行實驗，測試圖像的嵌入率如圖5 所示。表4 給出了數(shù)據(jù)集測試圖像的嵌入率統(tǒng)計數(shù)據(jù)?？梢钥闯觯簩τ趤碜訠OWS-2 數(shù)據(jù)集的100 張隨機選取的測試圖像，嵌入率的最高值為2.641 bit/pixel，最低值為0.578 bit/pixel、平均值為1.717 bit/pixel；對于來自UCID 數(shù)據(jù)集的100 張隨機選取的測試圖像，嵌入率的平均值為1.310 bit/pixel，表明本文算法穩(wěn)定性較強且嵌入容量較大。

圖5 測試圖像嵌入率Fig.5 Embedding rate of test images

表4 數(shù)據(jù)集測試圖像的嵌入率統(tǒng)計Table 4 Statistics of embedding rate for test images in dataset （bit·pixel-1）

將本文算法與具有代表性的文獻［9，13-14，18］算法進行嵌入率比較，如表5 所示。文獻［9］采用壓縮加密像素最低有效位的方式預留嵌入空間，嵌入容量有限。文獻［13］提出新型加密框架并使用傳統(tǒng)RDH 方法嵌入秘密信息。文獻［14］通過引入多層嵌入增加嵌入容量。與以上3 種算法相比，本文算法的嵌入率有較大幅度的提升，在F16、Lena 以及Peppers圖像上的嵌入率約提高1 bit/pixel。與文獻［18］算法相比，本文算法的嵌入率也有一定程度的提升。

表5 5 種算法的嵌入率比較Table 5 Comparison of embedding rate of five algorithms （bit·pixel-1）

3.3 算法性能分析

從圖像恢復操作無誤、信息提取操作無誤以及信息提取操作與圖像恢復操作可完全分離角度對本文算法進行分析并與經(jīng)典算法進行比較，如表6 所示。

表6 4 種算法的性能比較Table 6 Performance comparison of four algorithms

本文算法由于在信息嵌入和信息提取過程中對于原始像素的操作是完全可逆的，因此保證了圖像恢復操作的無失真。文獻［9］算法通過壓縮矩陣對加密圖像的多個最低有效位平面進行壓縮以獲取冗余空間，因此在恢復圖像操作過程中并不能保證完全無誤。此外，本文算法可嵌入像素的高n位包含了圖像恢復操作所需的預測誤差信息，低(8-n)位包含了圖像恢復操作所需部分參考像素的原始LSB 信息以及信息提取操作所需加密后的秘密信息兩部分數(shù)據(jù)，因此圖像恢復操作和信息提取操作所需的信息可以分別提取，保證了兩種操作的完全可分離性。文獻［13-14］算法原始圖像的恢復需要同時擁有嵌入密鑰和加密密鑰，只有在信息提取操作完成后才能進行圖像恢復操作。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于預測誤差編碼的加密域可逆數(shù)據(jù)隱藏算法。在圖像塊內(nèi)建立多元線性回歸模型，利用數(shù)據(jù)集中的大量圖像訓練模型，并采用多元線性回歸模型預測目標像素，同時通過差分對稱編碼方式提高編碼效率并間接增加嵌入容量。實驗結(jié)果表明，該算法具有嵌入容量大、信息提取操作和圖像恢復操作可完全分離的特點，能較好地實現(xiàn)秘密信息提取與原始圖像重建且安全性較高。后續(xù)將探究更有效的可嵌入像素標記方法以增加嵌入容量，同時利用圖像塊內(nèi)相鄰像素間的相關(guān)性，建立更加高效的多元線性回歸模型提高像素預測準確率。