溜井儲礦段礦巖散體運移軌跡及速度預測模型

馬 馳，路增祥，殷 越，曹 朋

1) 遼寧科技大學礦業工程學院，鞍山 114051 2) 遼寧省金屬礦產資源綠色開采工程研究中心，鞍山 114051

溜井是礦產資源地下開采礦山的重要工程之一，承擔著礦巖儲存和下向運輸任務. 溜井堵塞和井壁的變形破壞等溜井問題嚴重影響著礦山生產的連續性和安全性[1?2]，給礦山生產帶來了較大影響. 根據礦巖在溜井中的運動特征，溜井井筒可分為溜礦段和儲礦段兩大部分，這兩部分井壁的變形破壞機理與特征表現出較大的差異. 礦巖在溜井內的運動過程中與井壁接觸并產生力的作用，是導致溜井井壁破壞的主要原因之一[1]，而運動過程中礦巖顆粒之間的相互作用又是產生溜井堵塞的重要原因之一[2]. 目前針對溜井儲礦段問題的研究大都聚焦于分析溜井圍巖穩定性[3]、探究溜井堵塞、井壁磨損問題的發生原因及解決辦法[4]等方面，而涉及堵塞、磨損問題發生機理方面的深層次研究較少且進展緩慢[2]. 溜井儲礦段中礦巖運移狀態的不確定性，導致了溜井儲礦段堵塞頻率[5]、井壁磨損程度[6]也不相同. 因此，研究溜井儲礦段內礦巖運移規律，定量礦巖運移過程中的軌跡和速度變化，是揭示溜井儲礦段中堵塞和井壁磨損等問題發生機理的重要研究方向.

礦石在儲礦段內運動狀態具有不可量測性，因而很難通過常規手段得到礦石在溜井儲礦段內的運移特征. 目前的研究大多以橢球體放礦理論為基礎，宏觀推測礦巖運移規律. 早在20世紀80年代，就已經有學者注意到研究礦石在溜井儲礦段內的運移規律是研究磨損問題、優化儲礦段結構參數、解決儲礦段變形破壞問題的關鍵[7]. 郭寶昆和張福珍[8]根據礦巖在溜井中的移動規律將儲礦段劃分成了4個區域，并據此分析了不同區域下的溜井堵塞、磨損情況；譚志恢[9]稱之為“分區理論”，認為儲礦段礦巖移動主要受內崩落角影響，并首次引用橢球體放礦理論描述了礦巖整體的運動過程；近年來，王其飛[10]再次引用橢球體理論比較詳細地將儲礦段劃分區域，定性分析了不同區域下礦巖的移動規律；劉艷章等[6]在此基礎上，結合儲礦段結構計算了各區域的高度分布. 相關研究工作持續了40多年，但由于缺乏能夠預測礦巖運移過程中的軌跡、速度變化的相關理論或數學模型，目前仍僅能宏觀地描述儲礦段內礦巖運移特點. 主要原因是現有理論定量分析儲礦段井壁邊界對礦巖運移狀態的影響較為困難，同時儲礦段礦巖運移過程中力學機制復雜，相關研究至今沒有建立起系統的礦巖運移方面的理論模型[11].若能引用合適的理論揭示儲礦段礦巖運移特征，建立起礦巖位移、速度、放礦量和溜井結構參數等之間的關系，預測礦巖運移過程中的軌跡和速度分布特征，則能為深入分析礦巖流動性[12?13]、儲礦段堵塞、井壁損傷等問題提供理論依據.

為深入探究溜井儲礦段內礦巖運移特征和揭示其運移規律，本文以放礦漏斗中心線與溜井中心線重合型的溜井結構為研究對象，根據筒倉卸載過程中顆粒運動特點和流體力學中流動單元運動特點，建立儲礦段礦巖運移網絡，將Beverloo經驗公式、流動網絡等引用到儲礦段礦巖運移特征的研究中，構建預測礦巖運移軌跡、速度的數學模型，為深入研究儲礦段堵塞和井壁損傷等問題提供理論依據.

1 儲礦 段運移 特征 三維預 測模 型的理 論基礎

目前，對儲礦段運移規律研究的理論基礎僅有橢球體放礦理論. 但建立該理論的實驗基礎是無邊界條件下放礦，不考慮邊界條件對礦巖散體運動的影響[14]，而儲礦段放礦過程中邊界對礦巖的作用效果非常明顯. 礦巖散體在運動過程中不僅受重力、內摩擦力，還受到井壁側應力的作用[15].溜井儲礦段結構參數的改變會導致側應力的大小、方向發生變化，進而影響放礦過程中礦巖的運動速度和方向.

目前，研究固定邊界條件下物質單元運動的理論主要有顆粒流動力學理論和流體力學. 一方面，出口在底部的筒倉顆粒卸載過程是顆粒流動力學研究的典型對象之一，而溜井儲礦段的放礦過程與其極為相似，顆粒流動力學理論對于研究儲礦段放礦過程具有其可應用性. 另一方面，相比于顆粒流、放礦學等理論，流體力學中涉及流體流動的理論體系更完整、相關計算方法也更系統、具體[16]. 儲礦段礦巖運移主要受邊界的“限制、阻礙”作用，受摩擦作用影響較小[17]. 與直流管中理想流體的邊界作用[16]具有相似性.

由于礦巖在溜礦段運動過程中的力學機制研究仍存在缺陷，因此，在應用顆粒流動力學理論和流體力學建立模型時，以結構條件相似、礦巖粒徑相近為基礎，盡量規避復雜的力學問題分析，簡化計算過程.

1.1 顆粒流動力學中的筒倉卸載問題

筒倉顆粒卸載方面的研究偏重于探究顆粒接觸的力學機制和倉壁側壓力分布等問題，但由于力學作用過程復雜，許多機理至今尚未明確[18]，其中包括顆粒運動速度、軌跡的計算問題. 有學者從不同角度建立了顆粒速度計算模型[19]，但局限于二維空間而沒有得到廣泛應用. 目前，僅能夠根據被廣泛認可、使用的筒倉卸載方面的理論或研究，推測顆粒的大致運移跡線、放出口尺寸與顆粒流量之間的關系.

1.1.1 筒倉卸載過程中顆粒運移特征

在與儲礦段結構參數等相似的筒倉重力卸載研究中，顆粒群在筒倉內的運動流型分為整體流和中心流[19]. 整體流常發生于內壁光滑、放出口傾角較大、內儲顆粒間的黏結力較小的筒倉中，顆粒流動通道與筒倉壁一致. 中心流常發生于壁面粗糙、放出口傾角較小或平底的筒倉中，尤其是內儲顆粒粒度較小或顆粒間黏結力較大的筒倉內. 中心流流動過程中，筒倉放出口附近存在小范圍區域內顆粒不發生運動，該區域內的顆粒群形成一種類似漏斗的邊界，減小了顆粒流動通道面積，Brown稱之為“空環效應”[20]. 卸載過程中是否形成“空環效應”是評判筒倉內卸料流型的主要標準之一，筒倉放礦口半錐角、顆粒休止角（安息角）是影響“空環效應”產生與否的主要因素.

筒倉卸載方面的研究中雖然沒有明確顆粒的流動跡線，但相關文獻的實驗結果[21]中發現，遠離放出口處的顆粒呈直線勻速運動，方向鉛垂向下.接近放出口處時，顆粒的運動方向會發生改變（中心線上顆粒仍鉛垂向下），慢慢指向放出口；距離放出口越近，顆粒運移軌跡越接近直線，如圖1.

圖1 筒倉卸載過程中顆粒運動跡線（1—筒倉邊界；2—放出口；3—顆粒運動跡線；4—卸料死區）Fig.1 Particle movement trace during the silo unloading (1—the boundary of the silo; 2—ore draw hole; 3—particle movement trajectory;4—discharge dead zone)

1.1.2 Beverloo經驗公式

Beverloo經驗公式是顆粒流流量計算常用的基本理論公式之一[22]，大量研究證明了該公式的精確性和可靠性[23?24]，經過多年發展，該公式表達式為：

式中：W為單位時間內顆粒通過放出口的質量，kg·s?1；C 為量綱為一的常數，與筒倉結構有關，一般在 0.5到 0.7之間；ρb為顆粒床層堆積密度，kg?m?3；g 為重力加速度，m·s?2；D0為筒倉出口直徑，m；k為與顆粒形狀有關的量綱為一的常數，一般在1.2和3之間；dp為顆粒粒徑，m.

Beverloo經驗公式表明，在筒倉結構一定的條件下，單位時間穿過筒倉內任意截面（該截面與礦巖運移的速度方向垂直）的顆粒質量是一定的，且與同一時間內通過放出口的顆粒質量相等. 式（1）也可以改寫為面積與流量的關系式：其中S為放礦口處面積. 由于該公式是建立在顆粒連續運動條件下的，因此也適用于筒倉內部顆粒流動. 基于Beverloo經驗公式的內涵，則能夠建立顆粒位移、速度與流量等之間的關系.

1.2 流體力學中的理想流體問題

1.2.1 直流管下理想流體流動單元流動特點

理想流體流動過程中，容器邊界主要起著限制流體流動范圍、改變流體流動方向的作用. 因此，當直流管邊界不變時，同一平面上的流體流動的單位速度相等且流動方向平行于管道中心；當直流管斷面縮小時，流動單元向放出口運動，其速度隨流動通道的縮小而增加[16]，如圖2.

圖2 直流管中理想流體流動特征（1—直流管邊界; 2—放出口;3—流動單元運動跡線）Fig.2 Ideal fluid flow characteristics in a straight pipe (1—boundary of straight pipe; 2—ore draw hole; 3—movement trajectory of flow unit)

1.2.2 流動網絡

流動網絡反映了理想流體中流動單元的流動特點，是國內外分析理想流體流動過程的常用方法之一[16]，理想流體的二維流動網絡如圖3.

圖3 流動網絡（1—邊界；2—流線；3—等位線）Fig.3 Flow network (1 —boundary; 2 —streamline; 3 —equipotential line)

二維流動網絡由流線和等位線組成. 流線代表了理想流體內部流動單元的運移跡線，等位線與流線垂直，同一等位線上流動單元的流速相等.而三維流動網絡中，通過同一點有無數條等位線組成唯一的等位面. 等位線和等位面的分布特征是建立三維流函數的基礎.

1.2.3 流量與截面面積的關系

流體力學中，單位時間內流過任何截面的流體體積稱為流量，在理想流體中通常指的是體積量. 體積流量的大小等于平均流速乘以與速度垂直的等位面面積[16]. 因此在給定的流動網絡內，單位時間內穿過任意等位面的流量為一定值.

1.3 物質單元運動的相似性問題

根據顆粒流動力學和流體力學相關研究發現，在一定邊界條件下，物質單元的運動狀態是相似的. 而筒倉卸載過程的顆粒運動特征與直流管中理想流體流動特征具有一定的相似性，其邊界條件和物質單元運動的相似性表現為：在放礦漏斗中心線與容器中心線重合、不考慮容器邊界摩擦作用等條件下，固定邊界中物質單元的運動特征具有相似性. 在遠離放出口范圍內或物質流動通道不變時，物質單元作勻速直線運動，各單元間相對速度為零；在放出口附近或當物質流動通道縮小時，物質單元運動跡線發生變化，運動方向逐漸指向放出口. 此外，在物質單元運動過程中，單位時間內通過與物質單元運動速度垂直的截面的物質總質量是一定值，與該截面面積、物質單元運動速度有關.

1.4 礦巖運移軌跡和速度預測模型理論基礎

1.4.1 礦巖運移規律

根據一定條件下物質單元運動狀態的相似性，結合放礦漏斗中心線與溜井中心線重合條件下溜井儲礦段結構的特點，將儲礦段分為礦巖勻速運動區（以下簡稱勻速區）、礦巖變速運動區（以下簡稱變速區）、平衡區. 若放礦口邊墻與水平面的夾角（即放礦口傾角）為α，由于α的不同，礦巖運動特征會出現無平衡區和有平衡區兩種情況，如圖4.

圖4 溜井儲礦段礦巖運移規律（1—溜井儲礦段邊界；2—流線;3—礦巖勻速運動區；4—礦巖變速運動區；5—平衡區）. （a）無平衡區時；（b）有平衡區時Fig.4 Ore-rock migration law in the ore-storage section of orepass(1—boundary of ore-storage section in orepass; 2—streamline; 3—uniform velocity area of ore-rock motion; 4—variable speed area of ore-rock motion; 5 —equilibrium area): (a) nonequilibrium area; (b) equilibrium area

當放礦口傾角較大時，放礦口附近沒有礦巖“滯留”，礦巖呈“整體流”下移. 在這種情形下，根據礦巖流速的變化特征，儲礦段可劃分為勻速區和變速區兩部分，即儲礦段筒倉結構范圍為勻速區，放礦口上部漏斗結構范圍為變速區，如圖4（a）；當放礦口傾角較小或平底放礦時，放礦口上部一段范圍內存在礦巖流動“死區”，導致“空環效應”，減小了礦巖流動通道面積. 該區域內礦巖堆積，不發生位移，可稱之為平衡區. 以平衡區上標高為界，標高以上為勻速區，標高以下為變速區，如圖 4（b）.

礦巖在不同區域中的運移過程呈現出如下特征：

（1）勻速區內礦巖整體下移，礦巖塊作直線下向運動；

（2）平衡區內礦巖不發生運動，形成類似漏斗型的礦巖滑動邊界，減小了礦巖流動通道面積；

（3）變速區內礦巖塊受邊界影響，礦巖開始向放礦口移動，運動方向由鉛直向下慢慢指向放礦口，作曲線運動（中心線上礦巖作直線運動），越接近放礦口，礦巖軌跡越接近直線.

1.4.2 儲礦段礦巖運移網絡

參考流體力學三維流函數計算方法，將礦巖的滑動邊界面視為平面，變速區內礦巖運移跡線視為直線，同時，假設系統存在一等位面作為勻速區和變速區的分界面，當礦巖位于該等位面以上時，其運動特征符合勻速區運移特征；當礦巖位于該等位面以下時，符合變速區運移特征. 根據儲礦段內礦巖運移特點和理想流體流動網絡繪制方法，建立儲礦段礦巖運移網絡，如圖5.

圖5 儲礦段礦巖運移網絡（1—邊界；2—滑動邊界；3—流線；4—等位面；5—分界等位面）Fig.5 Ore-rock migration network in ore storage section (1—boundary;2—sliding boundary; 3—streamline; 4—equipotential surface; 5—demarcation equipotential surface)

勻速區內礦巖流線為鉛垂向下的直線，等位面為儲礦段勻速區范圍的橫截面；變速區內礦巖流線指向放礦口下放礦漏斗中心線上一點，等位面為放礦漏斗橫截面截取的球面，其球心在放礦口下放礦漏斗中心線上. 流線和等位面的分布特征反映了礦巖位移、速度與邊界、放礦量的幾何關系.

2 溜井儲礦段礦巖運移預測模型基本假設

針對放礦漏斗中心線與溜井中心線重合的溜井，為建立儲礦段礦巖運移預測模型，定量分析礦巖運移軌跡和速度，預測不同初始位置下礦巖顆粒運移方向、位移及速度變化，根據礦巖運移規律和圖5，作如下基本假設：

（1）儲礦段放礦過程中礦巖的運動過程是連續的；

（2）礦巖運動規律符合儲礦段礦巖運移網絡分布特征；

（3）不考慮井壁與礦巖塊的摩擦作用.

2.1 礦巖位移及運移軌跡方程

2.1.1 勻速區內礦巖位移及運移軌跡方程

勻速區內，礦巖散體整體全斷面勻速下移，如圖6. 設勻速區內某一礦巖塊初始位置A0，坐標為(x0，y0，z0)，經過時間 t后，該礦巖塊到達 A1點位置，坐標為(x1，y1，z1). 由于礦巖作下向直線運動，僅z值發生變化，礦巖下降高度等于礦巖在t時間內的位移量，建立關系式如下：

圖6 勻速區內礦巖運移過程分析Fig.6 Analysis of ore-rock moving in the uniform velocity zone

在勻速區內，礦巖整體下移，礦巖放出量與穿過A0點的橫截面（等位面）的礦巖質量相等. 由于穿過該截面的礦巖就是在A0點和A1點各自所在等位面之間的礦巖，可建立關系式如下：

式中：W1為t時間內放出礦巖質量，kg；W0為單位時間內礦巖通過放出口的質量，kg·s?1；W2為 t時間內穿過A0點的橫截面（等位面）的礦巖質量，kg；D1為儲礦段的斷面直徑，m；ρP為儲礦段的礦巖密度，kg?m?3.

式中：ρb為礦巖床層堆積密度，kg?m?3；；D0為放礦口直徑，m；dp為礦巖顆粒粒徑，m.

結合式（2），放礦t時間后礦巖位置坐標（x1，y1，z1）為：

式（5）即為礦巖在勻速區的運移軌跡預測模型.

2.1.2 變速區內礦巖位移及運移軌跡方程

變速區內，礦巖塊向放礦口運移，將其運動軌跡簡化為直線，運動方向指向放礦口下放礦漏斗中心延長線上一點O，如圖7. 設該區內某一礦巖塊初始位置為 B0（x2，y2，z2），經過時間 t后，該礦巖塊到達 B1點（x3，y3，z3）. 根據圖 7可知，B0和 B1即在半徑為R0、R1的球面上，又在穿過原點的一條直線上，礦巖塊在t時間內的位移值為R0與R1之差，方向指向O點，可建立關系式如下：

圖7 變速區內礦巖運移過程分析（1—流線；2—等位面；3—滑動邊界）Fig.7 Migration process analysis of ore-rock in variable speed zone(1—streamline; 2—equipotential surface; 3—sliding boundary)

式中：R0為B0點所在等位面的半徑，m；R1為B1點所在等位面的半徑，m；Δ LB為礦巖在t時間內的位移，m.

根據儲礦段礦巖運移特點和圖7，在變速區內礦巖放出量與穿過B0點的橫截面（等位面）的礦巖質量相等，由于礦巖整體下移，穿過該截面的礦巖即為在B0點所在等位面和B1點所在等位面之間的礦巖，礦巖體積變化量為半徑R0、R1的球頂椎體的體積差. 建立關系式如下：

式中：W3為穿過B0點和B1點的橫截面（等位面）之間的礦巖質量，kg；α為礦巖滑動邊界傾角，（°）.

根據式（1）、（6）和（7），得到放礦 t時間后礦巖的位置坐標（x3、y3、z3）為：

式（8）即為礦巖在變速區的運移軌跡預測模型.

根據放礦前后的礦巖塊位置坐標，可求得礦巖塊從B0運移到B1位置的位移量關系式如下：

2.2 礦巖運移速度方程

2.2.1 勻速區內礦巖運移速度方程

根據礦巖在勻速區內運移過程分析（如圖6），勻速區內礦巖作勻速直線運動. 因此，礦巖在經過時間t后下降高度與礦巖速度的關系如下：

式中：vA為礦巖在 A0點的速度，m?s?1.

結合式（1）、（2）、（3）和（10），可得到礦巖在勻速區內運移速度方程如下：

2.2.2 變速區內礦巖運移速度方程

由于礦巖在變速區內的運動視為變速直線運動，因此不能通過礦巖的位移量計算其速度. 根據“單位時間內穿過任意截面（與速度垂直）的礦巖質量為定值”這一特點，?t時刻內放出礦巖量與同時刻內穿過B點所在等位面的礦巖質量相等，根據穩定質量流動量定理[25]，可建立以下方程：

式中：dm/dt為質量流，kg?s?1；ρ 為流體單元密度，kg?m?3；v為流體單元速度，m?s?1；s為流體單元所在截面面積，m2；Q為流體體積變化量，m3.

如圖8所示，過B0點的等位面為圓心在O點、半徑為 R0的球冠表面. 結合式（6）和式（12）可建立關系式如下：

圖8 儲礦區內礦巖運移過程分析（1—流線；2—等位面；3—滑動邊界）Fig.8 Analysis on ore-rock moving in the storage section in ore pass(1—streamline; 2—equipotential surface; 3—sliding boundary)

式中：Q0為放出的礦巖的體積，m3；vB為礦巖在B0點的速度，m?s?1；sB為 B0點所在等位面的面積，m2；hB為等位面形成的球冠高度，m.

整理式（13）可得礦巖在變速區內B0點的速度方程為：

式中：vB為礦巖在 B0點的速度，m?s?1.

2.3 礦巖的速度分區及特征

由圖5可知，礦巖在從勻速區向變速區運動過程中，存在一速度分界等位面，在該速度分界面上，礦巖塊的運移速度滿足以下特征：

設該等位面上一點 D 坐標為（xD，yD，zD），整理可得：

因此，根據式（16），可得出礦巖在勻速區和變速區運移的條件方程如下：

由式（17）可知，分界等位面為一球面，球面半徑與儲礦段的斷面直徑、放礦口傾角有關.

3 討論

了解并掌握礦巖散體在溜井儲礦段內的運動規律是揭示溜井堵塞以及井壁損傷問題發生機理的研究基礎. 但是，礦山實際生產過程中儲礦段內礦巖運移速度、軌跡是無法通過常規手段測得的.溜井儲礦段礦巖運移預測模型提供了一個依據溜井結構參數、礦巖粒徑、放礦時間等在礦山生產現場中可測指標，來預測礦巖運移速度、軌跡的計算方法. 采用該模型，可以進一步分析儲礦段礦巖運移速度場、位移場等，探究礦巖塊組合成拱問題；在研究溜井井壁損傷問題方面，由于井壁摩擦作用會降低礦巖運移速度，造成礦巖動能損失. 損失的能量被井壁材料吸收，引起塑性變形，可采用該模型，進一步分析有摩擦和無摩擦作用下與井壁接觸的礦巖速度及方向變化，計算井壁相切方向上礦巖運動過程中的動能損失量，結合井壁應力分布特征，可探究井壁損傷變形特征.

4 結論

（1）根據筒倉物料卸載過程和直流管下理想流體流動過程中質量單元運動特點，研究了放礦漏斗中心線與溜井中心線重合的溜井結構條件下，溜井儲礦段內礦巖散體運移規律，將儲礦段礦巖運移分為勻速區、變速區、平衡區. 勻速區內礦巖作直線向下運動，速度不變；變速區內礦巖作曲線運動，速度隨位置而變化；平衡區內，礦巖不發生位移.

（2）引入流動網絡概念、Beverloo經驗公式、穩定質量流動量定理等，建立了溜井儲礦段的礦巖散體運移規律預測模型. 該模型在已知儲礦段結構參數、礦巖粒度、位置坐標等條件下，能夠計算礦巖在儲礦段內任意一點的速度以及放礦t時間后礦巖位移量及其位置坐標，定量分析礦巖塊運移過程.

（3）根據所建立的儲礦段礦巖運動預測模型可知，在儲礦段連續放礦過程中，單位時間內放出礦巖量和通過與速度垂直的截面的礦巖質量為一定值，該值與筒倉結構、礦巖層密度、放礦口直徑、重力加速度、礦巖粒度和形狀有關，與儲礦段高度無關.

（4）建立的礦巖位移、運移軌跡和速度方程，適用于放礦漏斗中心線與溜井中心線重合條件下，儲礦段內礦巖散體運移軌跡及速度的預測. 當放礦漏斗中心線與溜井中心線不重合時，應用這些方程會存在較大的差異.