回焊爐傳熱溫度曲線

岳江浩

（重慶交通大學，重慶400000）

1 問題重述

1.1 問題背景

集成電路在生產的過程當中，往往需要將裝有各種電子元件的電路板放入回焊爐，進行回流焊接。在自動焊接過程中，溫度對電路板的焊接效果影響很大，讓回焊爐各區域保持符合工藝要求的溫度尤為重要?；睾笭t按功能分為預熱區、恒溫區、回流區、冷卻區四個區域，各區域又設置了若干個小溫區，各溫區之間存在間隔，回焊爐前后又設有爐前區域與爐后區域。在回焊爐電路板焊接生產中，爐溫曲線應滿足一定的要求，稱為制程界限。

1.2 問題的提出

回焊爐按功能分為預熱區、恒溫區、回流區、冷卻區四個區域，各區域又設置了若干個小溫區，各溫區之間存在間隔，回焊爐前后又設有爐前區域與爐后區域。由傳送帶將電路板傳送至各個區域，可以通過調節各溫區的溫度與傳送帶的過爐速度來得到較好品質的產品。由此提出下列問題：

1.2.1 建立電路板溫度隨時間變化的模型，在傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區溫度的設定值分別為173℃（小溫區1～ 5）、198℃（小溫區6）、230℃（小溫區7）和257℃（小溫區8 ～9）的情況下，求解焊接區域中心溫度的變化情況，并分別列出小溫區3、6、7 中點和8 區域結束處的溫度，同時畫出爐溫曲線，并將每隔0.5 s 焊接區域中心的溫度制成表格。

1.2.2 假定各溫區溫度的設定值分別為182℃（小溫區1 ～5）、203℃（小溫區6）、237℃（小溫區7）、254℃（小溫區8 ～ 9），根據問題一的模型確定傳送帶最大允許速度。

2 模型的假設

2.1 假設爐前區域與間隔區域為穩態導熱。

2.2 假設各溫區溫度不受相鄰溫曲溫度影響。

2.3 假設電路板與傳送帶接觸的一面絕熱。

2.4 假設該傳熱過程為一維非穩態無限大平板傳熱。

2.5 假設焊接區域中心為電路板幾何中心。

2.6 忽略熱輻射的影響。

3 問題一模型的建立與求解

熱風式回流焊爐通過熱風的層流運動傳遞熱能，利用加熱器與風扇，使爐內空氣不斷升溫并循環，待焊件在爐內受到熾熱氣體的加熱，從而實現焊接。(以下分析都基于同一溫度下的區域)

3.1 一維平板非穩態導熱模型

3.1.1 爐前區域與間隔區域導熱過程分析

因為相鄰兩小溫區空氣溫度均勻恒定，間隔內介質均勻其傳熱過程數學描述為：

其中:q 為熱流密度，λ 表示傳熱系數，dt/dx 表示空間節點上的溫度差,Φ 為熱流量，A 為導熱面積。根據式(4)得到笛卡兒坐標系中三維非穩態導熱微分方程[2]的一般形式為：

綜合方程組(9)與式（11) 得到描述電路板溫度隨時間變化的一維平板非穩態導熱模型：

3.2 電路板經過各溫區時間隨傳送速度變化模型

區域劃分:

為了方便建模與求解，現將爐前區、爐后區以及11 個小溫區按溫度重新劃分區域，編號用i 表示：爐前區編號為1，1-5溫曲編號為2，6 溫曲編號為3，7 溫曲編號為4，8-9 溫曲編號為5，10-11 溫曲編號為6，爐后區編號為7。

3.3 電路板經過各區域時間隨傳送速度變化模型

3.4 模型求解

有限差分法:

因為本模型為非穩態模型相對于理想穩態情況在控制方程中多出了一個非穩態項，現我們通過對該一維非穩態模型離散化來求解，具體步驟如下：step1：時間-空間區域離散化。首先對連續的時間設置時間步長t, 在電路板上焊接區域中心所在與x 軸平行的線段上取n 個點，這n 個點平分該線段，則某一節點的溫度可表示為T(i)。step2: 一維平板非穩態導熱顯式差分格式。顯示格式可以通過上一時間節點來計算下一個時間節點的溫度，計算工作量小但需要對方程進行約束來防止解出現震蕩現象。對式(11) 進行顯示差分, 擴散項中心差分，非穩態項向前差分：

step4：數值穩定性約束在顯式差分格式中，點n 在i+1 時刻的溫度是在該點i 時刻溫度基礎上得出，且受臨近兩點溫度的影響，為了保證結果的穩定性與精確度，對差分方程添加傅利葉網格限制[4]:

模型中有a 和b 兩個未知參數，首先給算法中這兩個未知參數任意設立幾個值值，利用matlab 求出結果與附件中提供的數據進行比較并計算方差得到大致的參數范圍，再用最小二乘法求得最優解。利用matlab 進行求解得出在傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區溫度的設定值分別為1730C（小溫區1～5）、1980C（小溫區6）、2300C（小溫區7）和2570C（小溫區8～9）情況下焊接中心溫度隨時間變化的曲線如圖1 所示。經過計算得到小溫區3、6、7 中點及小溫區8 結束處焊接區域中心的溫度和時間如表1。

表1

4 問題二模型建立與求解

4.1 傳送速度優化模型的建立

4.1.1 目標函數的確立

目標是在1820C（小溫區1～5）、2030C（小溫區6）、2370C（小溫區7）、2540C（小溫區8～9）的情況下求得最大傳送速度:

maxv

4.1.2 約束條件的確立

圖1

4.1.3 優化模型建立

結合問題一得出的一維平板非穩態導熱模型，聯立目標函數與約束條件，從而建立回焊爐傳送速度的優化模型：見公式（20）。

4.2 模型求解

step1：傳送帶傳送速度范圍為(65～100cm/min)，在這個范圍內平均取N 個節點，每兩個節點間的區域足夠小，將傳送速度離散化。step2：將每個速度節點按從大到小的順序，依次代入問題一的一維平板非穩態差分算法中。step3：得到的第一個滿足外部約束條件的速度節點既為最大傳送速度。最終算得最快傳送速度為85cm/min。