利用非線性模型提高加長型熱脈沖雙探針土壤熱參數測定精度*

任姮燁，司炳成，2，3?，李 敏，胡 優

（1. 西北農林科技大學旱區農業水土工程教育部重點實驗室，陜西楊凌 712100；2. 薩斯喀徹溫大學土壤科學系，薩斯卡通 S7N5A8；3. 魯東大學資源與環境工程學院，山東煙臺 264025）

熱脈沖雙探針對土壤破壞小，成本低廉，可連續獲得原位數據，被廣泛應用于土壤熱參數、含水率[1-5]、土壤容重[6]等測定中。常規雙探針長度僅為2.8 cm，測定土壤體積有限，不能滿足水文、環境和農業監測的現實需求，增加探針長度可增加雙探針測量體積，從而增大測量結果代表性，但同時增加探針長度會導致傾斜而產生誤差[2，7-8]。

為減少探針傾斜的影響，Kamai 等[9]和 Satio等[10]通過將探針直徑增至4 mm 以上使探針更為堅固，而Mori 等[11]將探針長度縮短至1.3 cm。但以上兩種方法會偏離將有限性探針看作無限線性熱源的假設。Liu 和Wen 等[12-14]通過改進感應探針（內含熱感應元件）的設計先后提出了原位間距校正方法的線性模型和非線性模型，并分別采用一階和二階函數對探針間距進行校正。測試結果表明利用線性模型可有效減小探針共面傾斜下的土壤容積熱容的誤差，對于非共面、探針彎曲的傾斜無法準確校正[13，15]。其優點是感應探針僅包含2 個熱敏電阻，制作簡單，要求的數據采集儀接口數量少，可減小儀器成本，因此，優先選擇線性模型校正探針間距變化。而非線性模型在此基礎上還可校正非共面傾斜下和探針彎曲引起的測量誤差，但要求感應探針中至少安裝3 個熱敏電阻，增加了需要的數據采集儀接口數量和儀器成本。線性模型和非線性模型為增加探針長度從而增加測定體積提供了理論基礎，但探針長度越長就越容易傾斜，導致的誤差越大，當使用加長型探針時，優先考慮的線性模型是否仍然適用值得進一步探討。

為了解決上述問題，本研究將雙探針加長至10 cm，對于探針傾斜所產生的誤差利用Liu 等[13-14]提出的理論進行修正，通過對比不同模型校正后的土壤熱參數值與理論值，評價了線性模型和非線性模型對于長探針間距誤差校正的適用性。本研究將加長型探針長度定為10 cm 的原因：（1）測定體積較大的熱脈沖單探針長度為10 cm[16]；（2）熱脈沖-時域反射探針長度超過10 cm 時，會提高測定含水率的精度[17]。（3）分布式光纖測溫的最小分辨率也在10 cm 左右[18]。隨著熱脈沖-光纜和熱脈沖-時域反射技術的發展[13，19-22]，本研究選取的10 cm 探針長度是可以更好地體現上述測試技術的優勢，具有較廣的應用前景。

1 材料與方法

1.1 熱脈沖雙探針原理

熱脈沖雙探針由一組間距為r 的加熱探針和感應探針構成（圖1）。根據熱傳導理論，在一個無限大的均勻等溫介質中，無限線性熱源發出t0時長的熱脈沖，距熱源徑向距離r 處溫度隨時間的變化可表達為[1]：

式（1）中，ΔT 為溫度變化值（℃），t 為時間（s），q′為單位長度加熱絲在單位時間內釋放的熱量（W·m–1），κ 為土壤熱擴散系數（m2·s–1），ρc 為土壤容積熱容（MJ·m–3·K–1），Ei（–x）為指數積分。對式（1）求t 的偏微分并使結果等于零，得到κ 和ρc 為：

式（2）和式（3）中，tm為最大升溫值對應的時間（s）。

根據de Vries 模型[4]，土壤容積熱容表達式為：

式（4）中，ρwcw為水的容積熱容量（MJ·m–3·℃–1）；θw為土壤體積含水率（m3·m–3）；cs為土壤固體的比熱（J·kg–1·℃–1），ρb為土壤容重（kg·m–3）。由式（4）可以反推土壤含水率θw的計算公式：

純水在20℃時容積熱容量為4.18 MJ·m–3·K–1，土壤固體比熱值在干土中使用長探針測定獲得，其值為844.35 J·Kg–1·K–1。

1.2 原位間距校正方法

雙探針測定的容積熱容對兩支探針的間距很敏感。將熱探針插入土壤時，易造成傾斜，從而引起探針間距的改變?？紤]傾斜的原位間距校正方法（線性模型和非線性模型）可減小探針間距改變帶來的測量誤差。當探針發生共面傾斜時，可在感應探針中放置2 個熱敏電阻并用線性模型校正探針間距；當探針發生非共面傾斜時，則需要在感應探針內放置至少3 個熱敏電阻并使用非線性模型校正探針間距[12，23]。其中共面傾斜指傾斜后的加熱和感應探針共平面，非共面傾斜則指傾斜后的兩支探針不共平面。Wen 等[24]進一步將線性模型和非線性模型簡化為一個模型并給出了求解方法：

假設感應探針分別距底座距離l1，l2，l3處放置3 個熱敏電阻（圖1，以下簡稱熱阻1，熱阻2，熱阻3；其中，線性模型僅有熱阻1 和2），定義tmi為熱敏電阻i 的溫度響應曲線達到最大值ΔTm時對應的時間（線性模型：i=1，2；非線性模型：i=1，2，3），并定義ηi為：

對于均質土壤，各處熱敏電阻熱擴散率相同，根據式（2）可得：

式中，線性模型只用到p 值，非線性模型則會用到p 和p2值。定義探針未發生傾斜時各熱敏電阻與加熱探針的間距為初始間距ri0，探針間距偏移量為Δri，則探針發生傾斜后的新間距（校正間距）ri為：

外傾Δri為正值，內傾反之；a，b 值為回歸系數，對于線性模型，b=0。對于共面傾斜，可利用線性模型校正（b=0），非共面傾斜則需利用非線性模型校正（b≠0），a，b 值的求解過程參考Wen 等[24]。求得的a，b 值代入式（8）則可獲得傾斜后的校正間距（線性模型：r1，r2；非線性模型：r1，r2，r3）。

圖1 加長型雙探針示意圖Fig. 1 Schematic of the apparatus with extended dual probes

1.3 試驗裝置

加長型熱脈沖雙探針的長度為10 cm，外徑為1.3 mm，內徑為0.9 mm，材料為304 不銹鋼。探針設計應符合一定規則，Blackwell 等[25]指出探針長與半徑比值大于25，Liu 等[26]建議熱敏電阻距離探針頂部與底部的距離應大于1 cm，Kluitenberg 等[27]提出探針建議不宜過大（＜8 mm），否則需要較大的功率加熱，易造成水分蒸發。本文采用探針，長度半徑比為77，間距為6 mm，符合上述要求。加熱探針內置鎳鉻絕緣電阻絲（阻值為86 Ω·m–1）。感應探針中有3 個熱敏電阻（10K3MCD1，Betatherm Corp.，Shrewbury MA），為滿足線性熱源模型，分別放置在距底座距離l1= 70 mm，l2= 50 mm，l3=30 mm的位置。并在兩個探針內填充高導熱性能的環氧樹脂（Omega engineering，Stamford，CT）。兩根探針通過環氧樹脂膠固定在圓柱形PVC 底座（壁厚5 mm，直徑30 mm，高35 mm），組成熱脈沖探頭（圖1）。熱脈沖探頭固定在PVC 土柱底部（高13.4 cm，外徑5.5 cm，壁厚0.5 cm）。室內恒溫條件下（20℃），利用濃度為5 g·L–1的瓊脂溶液標定雙探針初始間距（圖1），其中瓊脂溶液的容積熱容與去離子水相同，為4.18 MJ·m–3·K–1。雙探針與數據采集儀（Model CR1000，Campbell Scientific，Logan，UT）采用四線半橋的方法連接。為保持探針加熱電流穩定，數據采集儀和探針電阻絲分別采用獨立的12V 恒壓蓄電池供電。熱脈沖時長 t0= 15 s，加熱功率q′≈ 45W·m–1，采樣頻率為1 Hz。

1.4 試驗過程

研究表明雙探針測定土壤水熱參數和原位間距校正方法的規律不受土壤質地的影響[1，12，14，24，28]，本研究選擇砂土作為供試土樣。土樣取自陜西楊凌渭河沿岸，其黏粒（＜0.002 mm）、粉粒（0.002～0.05 mm）和砂粒（＞0.05 mm）的質量分數分別為0.03、0.09和98.8 kg·kg–1。供試土壤進行過篩（1 mm）和烘干處理后，稱取所需質量的烘干砂土，加入一定質量的去離子水，配成質量含水率梯度為0、5%、10%、15%、20%的土壤，按目標容重1.60 g·cm–3裝于PVC土柱并于恒溫條件下使土壤水分充分平衡。測定過程控制室內環境溫差小于±1℃。

為滿足3 個熱敏電阻處熱擴散率相等的前提假設，將熱脈沖雙探針和土柱平行于水平面橫向布置，以減小重力作用帶來土壤水分分布不均勻的影響。如圖2 在土樣中人為模擬探針在田間土壤里可能出現的四種傾斜方式（圖2），共面外傾（OD1）、非共面外傾（OD2）、共面內傾（ID1）和非共面內傾（ID2）。人為傾斜以聚氨酯橡膠材料控制，因其用量極小，其對測量結果的影響可忽略不計。傾斜后3 個熱敏電阻處探針校正間距見表1。以上土柱試驗對每種傾斜方式（OD1、OD2、ID1 和ID2）設4 個重復（獨立填裝4 次），每個重復加熱3 次。

圖2 不同傾斜方式示意圖Fig. 2 Schematic of different ways of deflection

表1 利用非線性模型計算得到不同傾斜方式傾斜后的新間距Table1 New probe spacings of different types of deflection corrected by the non-linear model

1.5 數據處理和誤差分析

為了分析線性模型和非線性模型對于加長型探針的適用性，利用線性模型和非線性模型分別校正上述干土中四種傾斜方式（OD1、OD2、ID1、ID2）下的探針間距，將以新間距獲得的土壤比熱作為實測值并與理論值進行相對誤差分析，理論值為探針未傾斜時測定的土壤比熱。相對誤差（ER）可定義為：

式（9）中，ER 代表相對誤差，x實測值代表實測值，x理論值代表理論值。

為驗證長探針測定土壤熱參數的可行性，利用適用于長探針的校正模型校正不同含水率下的土壤在探針外傾和內傾時的探針間距，以校正的新間距擬合土壤容積熱容和熱擴散率，二者的乘積即為土壤熱導率。感應探針共有三個熱敏電阻，每個熱敏電阻位置均可得到新的校正間距并擬合得到相應的容積熱容和熱導率，取這三個新間距擬合的容積熱容和熱導率的平均值作為土壤容積熱容和熱導率的實測值。土壤容積熱容的理論值則可根據式（4）計算，其中土壤容重為填裝容重，含水率由烘干法獲得，土壤的固體比熱為利用長探針測定的探針未傾斜時的土壤比熱值。土壤熱導率的測定不受探針間距和長度的影響[29-31]，以初始間距擬合計算的熱導率作為理論值。為驗證長探針測定含水率的可行性，將土壤含水率實測值與烘干法測定的含水率進行比較，實測土壤含水率根據式（5）計算，其中土壤容積熱容為新間距擬合得到的容積熱容。本研究通過Matlab 內置的solve 函數和lsqcurvefit 函數計算校正后的探針間距和非線性擬合熱參數。

2 結果與討論

2.1 長針原位間距校正模型的選擇

圖3 溫度響應曲線和擬合曲線Fig. 3 Measured curves and fitting curves of temperature

表2 校正探針外傾（OD2）的間距和擬合的熱參數Table2 Corrected probe spacings and fitted thermal parameters for probes deflected outwardly（OD2）

溫度變化最大值ΔTm值依次增大。這是由于熱量在相同的土壤介質中的傳播速度相同，探針間距越小，溫度上升就越快。探針間距分別使用線性模型和非線性模型校正后的新間距（表2），結合相應的實測溫度響應曲線，以最小二乘法擬合，獲得相應的擬合曲線并得到容積熱容和熱擴散率。使用非線性模型計算的新間距（表2）結合熱阻1、熱阻2 和熱阻3 的實測溫度響應曲線擬合熱傳導方程（公式（1））得到了圖3 中的擬合曲線，殘差平方和結果見表2。線性模型計算的新間距結合實測溫度響應曲線進行擬合也可獲得相似的擬合曲線，殘差平方和結果見表2。對于相同的實測溫度響應曲線，不同的新間距擬合熱傳導方程（公式（1））得到的擬合曲線相似，校正得到的新間距不同，則所得的容積熱容和熱擴散率不同（表2）。以上以OD2 為例，OD1、ID1 和ID2 的相應結果也很類似。

由表3 可知，對于共面傾斜（OD1、ID1），未校正時干土比熱相對誤差為33.94%，經非線性和線性模型校正探針間距后，干土比熱相對誤差分別為–8.30%和43.90%。對于非共面傾斜（OD2、ID2），未校正時干土比熱相對誤差為32.65%，經非線性模型和線性模型校正探針間距后，干土比熱相對誤差分別為6.07%和31.94%。上述結果表明，無論是共面傾斜還是非共面傾斜，經非線性模型校正間距后，比熱測定準確度大幅提高，而線性模型未能明顯減小加長型探針的間距誤差，說明加長型探針的間距校正宜用非線性模型，而不宜用線性模型。這是由于線性模型只能校正未發生彎曲的探針在共面傾斜情況下的間距誤差。而對于加長型探針，加熱探針和感應探針在被人為控制發生共面傾斜的過程中，不可避免地發生輕微彎曲，從而影響線性模型的校正效果，而非線性模型則可有效地考慮輕度彎曲，有效減小探針彎曲時比熱測定誤差。綜上，非線性模型校正可明顯減少加長型雙探針彎曲造成的間距誤差。

表3 線性模型校正、非線性模型校正間距誤差和未校正間距的比熱（cs）相對誤差Table3 Relative errors in heat capacity with spacing error corrected with the linear model，non-linear model

2.2 非線性模型校正后土壤熱參數與理論值比較

由2.1 可知，相比線性模型，非線性模型更適于長探針的間距校正，故下文只考慮使用非線性模型校正長探針測定土壤熱參數和含水率的間距誤差。探針傾斜對于土壤熱導率的測試結果影響很小[30]，圖4 是長探針實測的經非線性模型校正的土壤熱導率和理論值的比較，可以看出，無論探針處于外傾還是內傾，長探針測定的土壤熱導率與理論值基本位于1∶1 線上（R2為0.996），說明利用非線性模型校正，可以獲得準確的土壤熱導率。

由圖5 可以看出，探針間距變化給土壤容積熱容測定帶來較大誤差（未校正時外傾和內傾的RMSE 分別為0.152 MJ·m–3·K–1和0.766 MJ· m–3· K–1）。非線性模型修正后的土壤容積熱容準確度大幅提高（外傾和內傾的RMSE 分別為0.136 MJ·m–3·K–1和0.173 MJ·m–3·K–1，圖中僅列出非線性模型校正后的結果）。未校正間距誤差時，探針外傾會高估容積熱容，探針內傾結果相反，這與Wen 等[14]對常規短探針的研究結果一致。內傾未校正結果偏離 1∶1 線程度較高，這是由于內傾傾斜程度更大。經過校正后，內傾和外傾校正在高含水率范圍（＞0.2 m3·m–3）會高估土壤容積熱容（外傾平均相對誤差+6.8%，內傾相應值為+8.7%）；低含水率范圍（＜0.2 m3·m–3）校正的土壤容積熱容與理論值相比較整體表現為低估（外傾平均相對誤差為–5.8%，內傾相應值為-6.1%），低含水率范圍的校正結果略優于高含水率范圍。分析其原因在于：第一，根據非線性模型，校正后的新間距只由溫度到達最大值的時間tm決定，而tm值卻由間距和土壤含水率共同決定。含水率增加或探針間距減小，均導致tm值減小，但非線性模型中的tm值難以體現間距和含水率的雙重變化，當含水率較高時非線性模型校正會低估探針間距，從而造成土壤容積熱容的高估，含水率較低時則相反。第二，探針長度越長，初始間距校準的不確定性更大[32]，長探針會引起更大的初始間距測定誤差，從而影響容積熱容的準確測定。第三，熱擴散率相等是精確校正容積熱容間距誤差的前提。使用長探針時應盡量避免土壤水分重力作用，保證三個熱敏電阻處含水率相同，以滿足三個熱敏電阻熱擴散率相等。由于土壤含水率較低時受重力影響較小，故受低含水率范圍的校正結果優于高含水率范圍。

圖5 非線性模型校正間距和未校正間距容積熱容計算結果Fig. 5 Volumetric heat capacities acquired with probe spacing corrected or not with the non-linear model

2.3 非線性模型校正后的土壤含水率

土壤質地和容重一定時雙探針測定的土壤含水率取決于土壤容積熱容。圖6 說明長探針測定的土壤含水率和容積熱容的規律基本一致，探針間距變化導致較大土壤含水率測定誤差（外傾和內傾的RMSE 分別為0.035 m3·m–3和0.188 m3·m–3），但經非線性模型修正后，土壤含水率的測量精度提高（外傾和內傾的RMSE 分別為0.034 m3·m–3和0.038 m3·m–3，圖中僅列出非線性模型校正后的結果）。

2.4 測試結果的不確定性

測試結果的不確定性來自四個方面：第一個方面是，熱源本身造成的不確定性有熱源尺寸、加熱功率、探針傾斜、電阻隨溫度變化等。第二個方面是土壤的不均勻性、各向異性和導熱系數變化的多解性，主要有土壤礦物成分、密度、顆粒大小、孔隙比、孔隙分布特征、有機質含量等。第三個方面是由于確定溫度上升曲線到達最大值的時間tm時存在誤差，tm值受到信噪比、熱敏電阻的測定精度及響應速度的影響。第四個方面，原位間距校正模型基于不同熱敏電阻處土壤的熱擴散率相等的前提假設，因此土壤水分分布的均勻程度對測定結果也會產生一定的影響。

圖6 非線性模型校正間距和未校正間距土壤含水率計算結果Fig. 6 Soil water contents acquired with probe spacing corrected or not with the non-linear model

3 結 論

本研究基于原位間距校正方法，將熱脈沖雙探針的長度加長至10 cm，人為進行探針傾斜，并對砂土進行長針水熱參數的測定，以評價線性模型和非線性模型對于長探針的適用性。結果表明，無論是共面傾斜還是非共面傾斜，非線性模型能夠明顯提高長針測定土壤比熱的準確性，相對誤差為–8.30%；而線性模型校正效果不明顯，相對誤差達43.90%，因此，非線性模型適于長探針，而線性模型對于長探針間距校正存在一定局限性。探針間距變化對土壤熱導率測定無影響，但給土壤容積熱容和含水率測定帶來較大誤差；使用非線性模型修正后，長探針測定土壤容積熱容和含水率的準確度大幅提高，相對誤差在10%以內。當前影響非線性模型校正長探針間距誤差的主要因素是：非線性模型得到的校正間距由溫度響應曲線到達最大值的時間tm決定，而tm值卻由間距和土壤含水率共同決定。因此，修正非線性模型中的tm值以體現間距和含水率的雙重變化有望進一步提高非線性模型校準探針間距的精度。