基于二階滑模控制的定頻Buck數字電源設計

侯元祥 巫慶輝 蔡健哲

（渤海大學控制科學與工程學院，遼寧 錦州 121000）

0 引言

隨著電源領域及微機控制技術的高速發展，數字電源受到了越來越多人的關注，數字控制具有靈活、基準調節簡單、精度高等優勢，正逐漸取代傳統模擬控制[1]。數字電源的工作點不定，對輸出的瞬態響應要求比較高，常規線性控制器是基于小信號模型設計的，被控變換器只有在特定條件下才能工作在最優狀態，因而對于工作范圍較寬的數字電源，無法利用傳統的局部線性化方法進行控制器設計。滑模控制通常具有出色的大信號處理能力，將其應用在DC-DC變換器中，可以使電力電子變換器在更大的工作范圍內具備較高的性能[2-3]。

滑模控制在DC-DC變換器中的首次應用出現于1983年Bilalovic等人發表的文獻[4]中，作者論證了在降壓變換器（Buck）中使用滑模控制的可行性，隨后的30多年，該領域得到了長足發展。目前該領域主要可分為兩個大方向：可變頻率控制與固定頻率等效脈沖寬度調制（pulse width modulation,PWM）控制。

理想滑模控制器需要工作在無窮大頻率處，因而可變頻率滑模控制器更加易于實現，其中具有代表性的方法有滯環滑模控制器[5]、電壓電流混合滑模控制器[6-7]、分數階滑模控制器[8]等，但由于開關頻率不固定，變換器中儲能電感與濾波電容的參數選取比較困難，且很難解決印制電路板（printed circuit board, PCB）設計中的電磁干擾、高次諧波吸收問題。

為了解決上述問題，有學者提出了定頻滑模控制器，其中包括自適應滯環滑模控制器[9]、PWM等效滑模控制器[10-11]、定頻模糊邏輯滑模控制器[12]等。此類控制器嚴格意義上屬于間接滑模控制器，滑模控制律最終會等效為功率器件的占空比。該方法解決了開關頻率不固定的問題，但等效控制概念的引入降低了滑模控制器魯棒性和調節性能。文獻[13-15]提出了具有積分項及二重積分項的滑模控制器，進一步提高了間接滑模控制器的穩態性能，并給出了在Buck變換器中的仿真結果。

為了進一步提高控制器動態性能、減小系統超調，本文基于定頻積分滑模控制器的原理，增加誤差的二階導數作為附加滑模面，構成二階滑模控制器。此外，實驗中發現，受輸出電壓紋波及采樣電路的噪聲影響，采用差分求取導數信息的方法極易受高頻噪聲干擾，致使導數信號的信噪比較低，因此本文利用高階跟蹤微分器（tracking differentiator,TD）來獲得輸出電壓的各階導數。

1 同步Buck電路數學模型的建立

同步Buck電路拓撲如圖1所示，采用兩個電力電子器件Q1、Q2作為開關，工作時兩個開關管處于互補狀態，相比于傳統Buck電路，同步Buck電路無續流二極管，可以提高效率，此外利用金屬氧化物半導體場效應晶體管（metal oxide semiconductor field effect transistor, MOSFET）雙向導通的特性，同步Buck電路在全狀態下均工作于電感電流連續模式（continous conduction mode, CCM），對于控制器的設計更加有利。

圖1 同步Buck電路拓撲

采用狀態空間平均法進行建模，引入開關變量u，當Q1打開、Q2關閉時，u=1，反之則u=0。取x1為電感電流，x2為電容電壓，得到Buck電路的系統狀態方程[7]為

式中：Vin為電源電壓；L為Buck電路儲能電感；C為儲能電容；RL為負載電阻。該系統屬于典型的時變系統，系統狀態受負載電阻及開關狀態影響。

2 定頻積分滑模在Buck電路中的應用

嚴格意義上的滑模變結構控制器需要工作于開關頻率無窮大的狀態，為了固定開關頻率，通常利用等效控制原理，對滑模控制律進行間接變換，使之適用于傳統的定頻PWM控制。此時控制器屬于準滑模控制，為了保證等效控制律的性能，通常額外增加積分環節[12-13]，即滑模面由誤差、誤差一階導數、誤差積分項組成，則有

式中：x1為電壓誤差；x2為電壓誤差變化率；x3為電壓誤差的積分；Vout為Buck電路輸出電壓，忽略電容C的內阻，則此處Vout=VC，將式（1）代入式（2），得到Buck電路的狀態空間方程為

整理成標準形式為

滑模面瞬時狀態軌跡可描述為

式中，J=[a1a2a3]，a1、a2、a3均為滑動系數。

為了得到等效控制律，需要將式（3）對時間的導數設為0，利用不變性條件[10]求出等效控制信號ueq，它是離散開關變量u的等效平均值，同時等同于功率器件PWM的占空比，令JAx+JBueq+D=0，得到等效控制函數為

表述為控制框圖形式如圖2所示。

圖2 Buck電路一階滑模控制框圖

圖2中，β1、β2為分壓網絡的補償系數，可以看出，等效后的滑模控制律，與傳統的比例微分（PD）控制器類似，但是多了輸入電壓Vin與輸出電壓Vout分量，這些分量的出現歸因于附加積分滑模面的作用及反饋的非線性，因此，相比于傳統的線性控制器，滑模控制器可以在較寬的工作范圍內仍然保持控制器的魯棒性。

2.1 改進后的二階積分滑模控制器

數控電源通常不具備真正的穩態工作點，其輸出電壓及負載范圍跨度非常大，經過仿真分析發現，在某些工作狀態下，傳統的滑模控制律在應用過程中存在超調、誤差收斂慢的現象，由于增加控制器的階數通常可以改善系統的動態性能，所以本文對傳統的滑模控制器進行了改進，增加了誤差的二階導數作為附加滑模面，改進后的二階滑模控制器結構為

將式（1）代入式（7），得到狀態空間方程為

利用不變性條件得到改進后的滑模控制器等效控制函數為

相比于傳統的一階滑模控制器，二階滑模控制器其等效控制律中含有輸出電壓的二階導數，從經典控制理論來看，引入高階導數，會在系統閉環傳遞函數中形成零點，間接增加了系統的等效阻尼比，可以抑制超調以改善系統動態性能。

2.2 滑模控制器存在條件與穩定性分析

為了保證滑模控制器穩定，滑模系數必須滿足滑模運動的存在條件，即局部可達性條件，如式（10）所示。

式（10）可以表示為

將式（8）代入式（11）進行求解，用u=1替換，u=0替換，得到滑模控制器的存在條件為

為了保證滑模運動的存在，滑動系數a1、a2、a3、a4應滿足式（12）。

在滿足滑模運動的存在條件后，為了保證控制器穩定，需要根據期望的動態性能來設計滑模系數，令滑模軌跡S=0，即

對式（13）兩邊取微分，可得到滑模軌跡方程為

式（14）為標準的三階系統，可根據主導極點的概念或借助線性系統分析工具進行分析與參數整定，進而獲得期望的滑模軌跡動態性能，在此本文不做深入探討。

2.3 線性跟蹤微分器在滑模控制中的應用

由上述分析可知，二階滑模控制的實現主要在于如何準確獲得輸出電壓Vout的一階導數及二階導數，由于Buck電路本身存在輸出電壓紋波，電壓采樣過程又極易受放大器噪聲及量化噪聲影響，傳統采用差分代替微分的方法得到的導數信息中含有大量噪聲，因此本文將跟蹤微分器應用到二階滑模控制器中。

線性跟蹤微分器的一般形式為[16-17]

式中：v、y為線性跟蹤微分器的輸入、輸出；s為微分算子；r為跟蹤微分器的速度因子，決定了跟蹤微分器的帶寬，取n=3時，可得到3階跟蹤微分器。將其寫為狀態變量表示為

設采樣步長為h，將其離散化為

式中，f為中間變量。當r取值合適時，可近似有

即通過式（18）可以得到輸入信號的一階導數與二階導數。

圖3為三階線性跟蹤微分器的仿真效果，輸入信號為v(t)=sint的正弦信號，為了驗證跟蹤微分器的噪聲抑制能力，原始信號加入幅值為0.004的白噪聲，采樣間隔h=0.001s，速度因子r=20。

圖3 三階線性跟蹤微分器仿真效果

圖3可以看出，跟蹤微分器能較好地得到原始信號的各階導數，滯后現象并不明顯，且原始信號中的高頻噪聲沒有被放大，相比于傳統差分形式的微分器，線性跟蹤微分器具有更強的噪聲抑制能力，特別適用于從被噪聲污染的原信號中提取微分信號。

3 樣機搭建及結果分析

基于前文所述，改進后的Buck電路二階滑模控制器框圖如圖4所示。

為了驗證本文所提算法的可行性，搭建了Buck電路樣機實驗平臺，如圖5所示。

其中開關管容量為500V、20A，型號為IRFP460，主控芯片采用STM32G474單片機，該單片機具有170MHz的主頻、硬件數學加速器、高分辨率PWM及16位模數轉換器，適用于高精度數字電源控制。實驗采用艾德克斯1 500W電子負載并利用其同步觸發功能進行階躍帶載測試，利用USB總線將實驗結果上傳至PC進行數據繪制與分析，此外為了減小輸入電壓波動對控制器性能的影響，前端采用功率因數校正電路（power factor correction, PFC）進行穩壓。Buck電路設計參數見表1。

圖4 改進Buck電路二階滑模控制器框圖

圖5 Buck電路樣機實驗平臺

表1 Buck電路設計參數

為了綜合考察電源的各項指標，實驗過程覆蓋整個電源的功率范圍，包括空載與滿載，期望輸出電壓及負載電流擾動情況如圖6所示。

圖6 期望電壓與負載擾動電流波形

實驗中模數轉換器采樣頻率與PWM頻率相同，為50kHz，線性跟蹤微分器速度因子取r=15 000。圖7為分別采用線性跟蹤微分器與傳統的向后差分法得到的輸出電壓導數信息結果對比。

從圖7可以看出，由于采樣過程引入了隨機噪聲，傳統向后差分法得到的導數信息其信噪比較低，尤其是求取二階導數信息時，噪聲被嚴重放大，而跟蹤微分器對于噪聲抑制的效果較好，求得的導數信息受數據采樣噪聲的影響較小，且滯后現象并不明顯，這對于后續滑模控制器的設計至關重要。

為了避免系統超調同時考慮到硬件上的限制，根據式（14），按照欠阻尼系統來設計滑動系數，為了橫向對比控制器性能，取一階與二階滑模控制器中的系數KP1、KP2相等，其中KP1=0.019，KP2=?1.3×10?5，改進的二階滑模控制器其二階導數項系數KP3=?1.0×10?9。圖8（a）為仿真過程輸出電壓波形，圖8（b）為電源啟動時0～5ms的局部細節，圖8（c）為施加階躍擾動時10～20ms的局部細節。

圖7 輸出電壓一階與二階導數信息

圖8 Buck電路輸出電壓響應曲線

動態性能對比見表2和表3。

表2 一階滑模控制器動態性能

由表2和表3可以看出，與傳統一階滑模控制器相比，改進后的二階滑模控制器，在施加50V階躍指令擾動時，輸出電壓超調現象消失，調節時間更短，200V階躍指令擾動時，調節時間同樣縮短，施加5A負載電流擾動時，電壓跌落更低，動態效果更好。

綜上所述，本文提出的二階滑模控制器，控制性能更加優越，跟蹤微分器的引入解決了實際過程中采樣噪聲對導數求取過程的影響，使其更具實際應用意義。

4 結論

本文針對同步Buck型寬工作范圍數控降壓電源，提出了一種二階滑模控制器，其滑模面由電壓誤差、電壓誤差一階導數、電壓誤差二階導數、電壓誤差積分構成，并搭建了樣機進行算法驗證。實驗結果表明，與傳統一階滑模控制器相比，二階滑模控制器動態性能更好，解決了控制器的快速性與超調量之間的矛盾。

此外，本文引入了跟蹤微分器的概念，用于獲得輸出電壓的各階導數信息，節省了額外的電流傳感器，解決了傳統微分器對于采樣噪聲敏感的問題，具有較高的實際應用價值。值得注意的是，滑模控制及跟蹤微分器便于離散控制，對于數字控制系統比較友好，對于模擬控制系統則實現起來較為復雜。