題目千變總有根
——談高中數學問題的解決策略

杜盛伙

（福建省三明市寧化縣第一中學，福建 三明 365400）

許多數學教師在每次考試后經常講的一句話是：“這道題我上課講過類似的，學生的得分率怎么還這么低”。而學生總是和老師說：“許多題目似曾相識，但就是做不出來”。為什么會有這樣的偏差？因為在新高考背景下，高考數學命題沒有考試大綱，依據高考評價體系，在立德樹人的指導思想下，既考查學生對基礎知識，基本技能的掌握程度，又考查對數學核心素養的理解水平。如果在平時學習中僅就題論題，對問題的理解只停留在知識、方法表象層次上，而沒有領悟到問題背后的根，那么學生刷再多的題，也只是事倍功半。因此，教師在平時的教學中要引導學生，解題要注重歸納領悟，歸納出每類題的數學之根；數學的根應該是數學最本質的東西，是數學知識的內在聯系，數學規律的形成過程，數學思想方法的提煉，數學核心素養的理解。

1 研究問題的變式，留住知識之根

許多的高考試題都是通過課本中的習題改編而來的，教師在教學中，要注意一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性，通過對變式問題的研究，可以解決一類問題，既探究數學知識的內在聯系，又養成多角度思考問題的習慣，開拓解題思路，從而培養和提升數學核心素養。

例1、在ΔABC中，AB=3,AC= 5,若點P為線段BC的中點，則=______。

解：因為點P為線段BC的中點，所以又因為

所以

變式1、在ΔABC中，AB=3,AC= 5,若點P為ΔABC的外心，則

解：取BC的中點D，連接,AD PD，則

又點P為ΔABC的外心，點D為BC的中點，故，則

變式2、在ΔABC中，AB=m,AC=n，點D為BC的中點，若點P為線段BC垂直平分線上的任意一點，求證：

2 優化問題的解法，留住方法之根

一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力及思維的靈活性；一題多解的本質是用不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系，從不同途徑，用多種方法思考問題，可開拓解題思路，掌握知識的內在聯系，并從多種解法的對比中選出最佳解法，總結解題規律，提高了分析問題、解決問題的能力。

例 2 、已 知 函 數f(x)=x3+ax2+bx+c，且0＜f( -1 )=f( -2 )=f( -3 ) ≤ 3，則（）

A、c≤3B、3＜c≤6

C、6＜c≤9D、c＞9

解法一、由f( -1 )=f(-2 )=f( - 3)得：

則f(x)=x3+6x2+11x+c，

又因為0＜f( -1 ) ≤ 3，故0＜-6+c≤ 3，所以6＜c≤ 9，故選C。

解法二、設f( -1 )=f( -2 )=f( -3 )=k，則0＜k≤3

設f(x)= (x+ 1 )(x+2)(x+ 3)+k，則c=k+ 6，所以6＜c≤ 9，故選C。

解法三、由已知得：f(x)= (x+ 1 )(x+2)(x+ 3)+c- 6得：0＜-6+c≤ 3，

所以6＜c≤9，故選C。

解法四、令f( -1 )=f( -2 )=f( -3 ) = 3，則c= 9，故選C。

以上四種解法的認知水平并不是同一檔次的，法一直接用已知條件求出系數a,b，代入后解不等式，為常規解法，運算量較大；法四為特殊值法，有一定的偶然性，和法一比更簡潔，是一種行之有效的解決選擇題的方法；法二、法三則蘊含了函數的零點與解析式之間的關系，是解決問題的基本方法，并可將問題結構轉化為更高次數的函數問題。

總之，數學教學的本質是思維過程的引導、啟發，在教學中要引導學生做題要多反思，從根處抓起，通過研究問題的變式，優化解題的方法等方式，跳出無邊無際的書山題海，通過對解題過程的反芻，留住知識之根，方法之根，也只有從根處澆灌知識營養，數學之花才能燦爛綻放。