二維函數光子晶體不同函數形式對帶隙結構的調控

張斯淇, 李 宏, 李美萱, 劉小涵

(吉林工程技術師范學院 量子信息技術交叉學科研究院, 吉林省量子信息技術工程實驗室, 長春 130052)

光子晶體[1-2]是多種介電常數在空間呈周期性變化的人工微結構. 利用光子晶體的光子帶隙和光子局域等特性可控制光子運動[3-8]. 光子晶體產生的物理效應可用于設計光子晶體器件, 如濾光器、 光開關、 激光器、 光纖及微腔等[9-12]. 文獻[13-14]研究表明, 光子帶隙帶寬與光子晶體器件性能成正比, 帶寬越寬應用價值越大. 可通過降低光子晶體結構的對稱性得到較寬的光子禁帶[15-16], 如改變散射子形狀及晶格結構[17]、 采用復合式結構[18]或用各向異性介質材料代替各向同性材料[19]等方法. 但在實際中實現這些方法均存在困難, 如采用復合式結構方法會使光子晶體的結構變得復雜, 且不適合工藝制造. 文獻[20]設計了一種二維函數光子晶體, 可通過對介質柱施加電場、 光場和磁場[21]改變其折射率. 在此基礎上, 本文利用平面波展開法研究二維函數光子晶體介質柱介電常數不同的線性函數形式對橫電(TE)波和橫磁(TM)波帶結構的影響. 數值計算結果表明： 二維函數光子晶體比二維常規光子晶體的帶隙更寬； 通過變換介質柱介電常數不同的線性函數形式可使二維函數光子晶體帶隙的個數、 位置及寬度均發生變化, 從而實現對二維函數光子晶體帶隙的調節. 二維函數光子晶體易于調節且可重復使用, 僅需改變光強分布即可得到所需的帶隙結構.

1 二維函數光子晶體

對于二維函數光子晶體, 介質柱的介電常數為εa(r), 介質柱位于介電常數εb的背景中. 二維函數光子晶體介電常數Fourier變換[20]表達式為

(1)

二維常規光子晶體介電常數Fourier變換表達式為

(2)

當方程(1)中的εa(r)=εa(εa為常數)時, 方程(1)即變換為方程(2)的形式. 二維光子晶體TM波和TE波特征方程分別為

(3)

(4)

二維函數光子晶體可通過Kerr效應或電光效應制備[19]. 考慮Kerr效應, 其介質柱的介電常數為

(5)

(6)

不同光強分布可得到不同介質柱介電常數的線性函數形式. 當光強分布為I=I0r(I0為光強振幅)時, 方程(6)變為

(7)

(8)

(9)

(10)

利用平面波展開法, 由方程(1),(3)，(4)計算二維函數光子晶體TE波和TM波的帶隙結構, 由方程(2)～(4)計算二維常規光子晶體TE波和TM波的帶隙結構.

2 數值分析

圖1 二維三角晶格光子晶體

下面分別研究介質柱型二維三角晶格常規和函數光子晶體的帶結構, 其三角晶格結構如圖1所示. 二維三角晶格常規光子晶體TE波和TM波的帶結構如圖2所示, 其中歸一化頻率為縱坐標, 波矢為橫坐標. 其結構參數為： 空氣的介電常數εb=1, 介質柱材料的介電常數εa=12.96, 介質柱半徑ra=0.3a(晶格常數a=10-6m). 由圖2(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現3條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.217～0.319, 帶寬Δω=0.102; 第二條禁帶的頻率為0.413～0.532, 帶寬Δω=0.119; 第三條禁帶的頻率為0.635～0.749, 帶寬Δω=0.114. 由圖2(B)可見, 在TM波的帶隙中出現2條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.349～0.384, 帶寬Δω=0.035; 第二條禁帶的頻率為0.431～0.496, 帶寬Δω=0.065. 當光波頻率處于禁帶位置時, 光波無法通過光子晶體, 但在其他波段可以通過光波, 從而實現了選頻作用. 當頻率為0.431～0.496時, TE波和TM波的帶隙發生重疊, 即絕對禁帶. 頻率處于重疊波段的光在各方向均不能通過, 從而加強了光子晶體控光的能力.

圖2 二維三角晶格常規光子晶體的帶結構

介質柱介電常數函數形式為εa=k·r+b時的二維三角晶格函數光子晶體帶結構如圖3所示, 其中函數系數k=1.6×107,b=12.96,εb=1, 介質柱半徑ra=0.3a. 由圖3(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現4條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.198～0.293, 帶寬Δω=0.095; 第二條禁帶的頻率為0.373～0.495, 帶寬Δω=0.122; 第三條禁帶的頻率為0.59～0.69, 帶寬Δω=0.1; 第四條禁帶的頻率為0.714～0.724, 帶寬Δω=0.01. 由圖3(B)可見, 在TM波帶隙中出現3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.321～0.369, 帶寬Δω=0.048; 第二條禁帶的頻率為0.421～0.476, 帶寬Δω=0.055; 第三條禁帶的頻率為0.711～0.72, 帶寬Δω=0.009. 當頻率為0.421～0.476和0.714～0.72時, 帶隙中出現2條絕對禁帶.

介質柱介電常數函數形式為εa=k·r2+b時的二維三角晶格函數光子晶體帶結構如圖4所示, 其中函數系數k=1.6×1013,b=12.96,εb=1, 介質柱半徑ra=0.3a. 由圖4(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.212～0.311, 帶寬Δω=0.099; 第二條禁帶的頻率為0.403～0.525, 帶寬Δω=0.122; 第三條禁帶的頻率為0.624～0.74, 帶寬Δω=0.116. 由圖4(B)可見, 在TE波帶隙中出現3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.341～0.382, 帶寬Δω=0.041; 第二條禁帶的頻率為0.427～0.493, 帶寬Δω=0.066; 第三條禁帶的頻率為0.729～0.733, 帶寬Δω=0.004. 當頻率為0.427～0.493和0.729～0.733時, 帶隙中出現2條絕對禁帶.

圖3 介質柱介電常數函數形式為εa=k·r+b時的二維三角晶格函數光子晶體帶結構

圖4 介質柱介電常數函數形式為εa=k·r2+b時的二維三角晶格函數光子晶體帶結構

介質柱介電常數函數形式為εa=k·(r+d)-1+b時的二維三角晶格函數光子晶體帶結構如圖5所示, 其中函數系數k=1.6×10-5,b=12.96,d=10-6,εb=1, 介質柱半徑ra=0.3a. 由圖5(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現4條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.154～0.238, 帶寬Δω=0.084; 第二條禁帶的頻率為0.298～0.396, 帶寬Δω=0.098; 第三條禁帶的頻率為0.452～0.559, 帶寬Δω=0.107; 第四條禁帶的頻率為0.622～0.698, 帶寬Δω=0.076. 由圖5(B)可見, 在TM波帶隙中出現4條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.259～0.293, 帶寬Δω=0.034; 第二條禁帶的頻率為0.376～0.395, 帶寬Δω=0.019; 第三條禁帶的頻率為0.495～0.524, 帶寬Δω=0.029; 第四條禁帶的頻率為0.563～0.574, 帶寬Δω=0.011. 當頻率為0.376～0.395和0.495～0.524時, 帶隙中出現2條絕對禁帶.

介質柱介電常數函數形式為εa=k1·r2+k2·r+b時的二維三角晶格函數光子晶體帶結構如圖6所示, 其中函數系數k1=1.6×1013,k2=1.6×107,b=12.96,εb=1, 介質柱半徑ra=0.3a. 由圖6(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現4條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.196～0.286, 帶寬Δω=0.09； 第二條禁帶的頻率為0.368～0.486, 帶寬Δω=0.118； 第三條禁帶的頻率為0.584～0.673, 帶寬Δω=0.089； 第四條禁帶的頻率為0.698～0.714, 帶寬Δω=0.016. 由圖6(B)可見, 在TM波帶隙中出現3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.314～0.363, 帶寬Δω=0.049; 第二條禁帶的頻率為0.417～0.471, 帶寬Δω=0.054; 第三條禁帶的頻率為0.7～0.71, 帶寬Δω=0.01. 當頻率為0.417～0.471和0.7～0.71時, 帶隙中出現2條絕對禁帶.

圖5 介質柱介電常數函數形式為εa=k·(r+d)-1+b時的二維三角晶格函數光子晶體帶結構

圖6 介質柱介電常數函數形式為εa=k1·r2+k2·r+b時的二維三角晶格函數光子晶體帶結構

二維函數光子晶體不同線性函數形式對應TE波和TM波帶隙數目列于表1, 二維常規和函數光子晶體對應TE波和TM波的帶隙位置和帶寬列于表2. 由表1和表2可見, 在歸一化頻率為0～0.8內, 二維常規光子晶體與二維函數光子晶體的帶隙個數、 位置及寬度均不相同, 介質柱介電常數不同線性函數形式對應的二維函數光子晶體比二維常規光子晶體的帶隙數目多, 位置發生改變, 且可得到較寬的帶隙. 二維常規光子晶體介質柱的介電常數是常數, 為均勻介質, 對稱性較高, 二維常規光子晶體的帶隙結構無法更改. 二維函數光子晶體介質柱的介電常數是空間位置坐標函數, 為非均勻介質, 具有點群對稱性, 但平移對稱性降低, 從而整體對稱性降低. 由于二維函數光子晶體可通過光折變非線性光學效應或電光效應制備, 將所有介質柱兩端并聯, 同時加上外電壓, 其電壓隨時間變化為不同的函數形式, 介質柱介電常數變化曲線發生改變, 導致相應的帶隙結構發生改變. 因此通過調節電壓, 可得到較寬的光子禁帶.

表1 二維函數光子晶體不同線性函數形式對應TE波和TM波的帶隙數目

表2 二維常規和函數光子晶體對應TE波和TM波的帶隙位置和帶寬

綜上, 本文用平面波展開法研究了二維函數光子晶體介質柱介電常數不同的線性函數形式對TE波和TM波帶結構的影響. 數值計算結果表明: 與二維常規光子晶體相比, 二維函數光子晶體的帶隙數目較多, 帶隙位置發生移動且可得到更寬的帶隙； 通過變換介質柱介電常數不同的線性函數形式可使二維函數光子晶體的帶隙個數、 位置和寬度均發生變化, 從而實現對二維函數光子晶體帶隙的調節. 因此二維函數光子晶體不需重新制備, 可重復使用.