基于Super-twisting算法的永磁同步電機(jī)自適應(yīng)滑模速度控制

湯 成，胡繼勝

（大連交通大學(xué) 機(jī)車車輛工程學(xué)院，大連116028）

永磁同步電機(jī)（PMSM）因其具有高效率、低能耗、功率密度高、轉(zhuǎn)矩大、噪聲小及可靠性高等多重優(yōu)勢[1]被廣泛應(yīng)用于風(fēng)力發(fā)電、電動(dòng)汽車、軌道交通各個(gè)領(lǐng)域中[2-4]，由此對PMSM 系統(tǒng)的控制精度、控制穩(wěn)定性也提出了更高的要求。傳統(tǒng)的PI 控制作為一種經(jīng)典控制策略因其算法理論較為簡單、穩(wěn)定可靠在工業(yè)控制領(lǐng)域受到廣泛應(yīng)用，但因PMSM 是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合、參數(shù)可能隨時(shí)間變化的復(fù)雜系統(tǒng)，PI 抗干擾能力又較差，難以滿足對PMSM 高精度控制的要求。因此，諸如滑模變結(jié)構(gòu)控制（SMC）[5]、自適應(yīng)控制[6]、遺傳算法控制[7]等新型控制開始被提出。其中，滑模變結(jié)構(gòu)控制因其響應(yīng)速度快、抗擾動(dòng)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被眾多專家學(xué)者加以深入研究以應(yīng)用到PMSM 系統(tǒng)中。文獻(xiàn)[8]基于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，引入了變指數(shù)函數(shù)和雙曲正切函數(shù)，提高了系統(tǒng)趨近速度和抖動(dòng)抑制能力。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于改進(jìn)的冪次指數(shù)趨近律的模糊自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計(jì)方法，引入了積分滑模面和模糊自適應(yīng)方法優(yōu)化趨近律未知參數(shù)。文獻(xiàn)[10]在冪次趨近律的基礎(chǔ)上加入指數(shù)項(xiàng)，并且在冪次指數(shù)項(xiàng)指數(shù)中引入系統(tǒng)狀態(tài)變量使冪次指數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)聯(lián)，解決冪次趨近律在原理滑模面時(shí)趨近速度慢的問題，同時(shí)使系統(tǒng)平滑進(jìn)入滑模面。

綜上所述，本文在自適應(yīng)滑模速度控制器[11]的基礎(chǔ)上，引入了Super-twisting 滑模控制。Supertwisting 滑模控制屬于二階滑模控制方法，相較于傳統(tǒng)的滑模控制，由于可以產(chǎn)生連續(xù)的無抖振控制信號(hào)，還可以實(shí)現(xiàn)滑模變量及其導(dǎo)數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定，所以其控制性能更加優(yōu)越。

1 PMSM 數(shù)學(xué)模型

同步旋轉(zhuǎn)d-q 坐標(biāo)系下PMSM 定子電壓方程為

式中：ud、uq為定子電壓在d、q 軸分量；Rs為定子電阻；id、iq為定子電流在d、q 軸分量；Ld、Lq為d、q 軸電感；ωe為電機(jī)電角速度；Ψf為永磁體磁鏈[1]。

PMSM 運(yùn)動(dòng)方程為

式中：J 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωm為電機(jī)角速度；pn為磁極對數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2 滑模速度控制器設(shè)計(jì)

由式（1）和式（2）可得永磁同步電機(jī)狀態(tài)方程為

定義永磁同步電機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)變量為

式中：ωref為電機(jī)的轉(zhuǎn)速給定；ωm為實(shí)際轉(zhuǎn)速。

由于積分滑模面可以平滑過渡，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，削弱抖動(dòng)，且變量中無變量的二階導(dǎo)數(shù)，增強(qiáng)控制器的穩(wěn)定性。因此，定義滑模面為

式中：h 為正系數(shù)。

則由式（5）可得：

將式（4）帶入式（6）可得：

由于實(shí)際電機(jī)運(yùn)行時(shí)存在參數(shù)不匹配及擾動(dòng)問題，因此假定：

式中：a0、b0為永磁同步電機(jī)系統(tǒng)中電機(jī)的設(shè)定參數(shù)；Δa、Δb 為永磁同步電機(jī)實(shí)際參數(shù)值與設(shè)定值之間的差值。

同時(shí)，在式（7）中加入系統(tǒng)中可能存在的有限的擾動(dòng)c 即可得到：

式中：ρ=b0TL-Δaiq+ΔbTL+c

假設(shè)系統(tǒng)的總擾動(dòng)量ρ 為一個(gè)有限的緩慢變化的量，則我們設(shè)ρ 的估計(jì)值為，它們的差值為。由此，為使滑模面與擾動(dòng)值漸進(jìn)穩(wěn)定，設(shè)計(jì)控制量u 為

式中：k1、k2為正系數(shù)。

定義Lyapunov 函數(shù)為

則其導(dǎo)數(shù)為

將式（9）、式（10）帶入式（12）可得

定義自適應(yīng)律為

可得：

即設(shè)定合適的自適應(yīng)律后整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明轉(zhuǎn)化為Super-twisting 算法漸進(jìn)穩(wěn)定性的證明。

為證明二階滑模算法的漸進(jìn)穩(wěn)定性，令A(yù)=矩陣Q，一定存在一個(gè)正定矩陣P 滿足Lyapunov方程

選取Lyapunov 函數(shù)為

則由式（18）可得：

所以對V（s，r）求導(dǎo)可得：

因?yàn)閂 為二次正定函數(shù)，所以有：

式中：λmin（P）、λmax（P）分別為P 的最小和最大特征值，，進(jìn)一步可得：

綜合式（20）和式（22）可得：

由式（20）可得：

綜合式（23）、式（24）可得：

綜上，基于Super-twisting 算法的自適應(yīng)滑模速度控制器能在有限時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)達(dá)到漸進(jìn)穩(wěn)定。

3 仿真驗(yàn)證及結(jié)果分析

為驗(yàn)證基于Super-twisting 算法的自適應(yīng)滑模速度控制器的可行性與穩(wěn)定性能，基于MATLAB/Simulink 搭建了PMSM 矢量控制系統(tǒng)，如圖1所示。本系統(tǒng)采用了傳統(tǒng)的id=0 控制對永磁同步電機(jī)進(jìn)行控制。其中自適應(yīng)滑模速度控制器模塊由式（10）搭建而成，以電機(jī)角速度給定值與實(shí)際值的差值為輸入，通過基于Super-twisting 算法的自適應(yīng)滑模控制器對系統(tǒng)控制量iqref進(jìn)行給定。仿真中永磁同步電機(jī)參數(shù)如表1所示。

為驗(yàn)證本文提出的自適應(yīng)滑模速度控制器的控制效果，取經(jīng)典指數(shù)趨近律滑模速度控制器作為對比。除速度控制器模塊外，包括電流環(huán)、SVPWM、永磁同步電機(jī)等模塊均完全一致。設(shè)置給定轉(zhuǎn)速為800 r/min，并在0.2 s 時(shí)施加10 N/m 的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

圖1 基于Super-twisting 算法的自適應(yīng)滑模控制的PMSM 調(diào)速模型Fig.1 PMSM speed regulation model of adaptive sliding mode control based on Super-twisting algorithm

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)Tab.1 Permanent magnet synchronous motor parameters

圖2 給定轉(zhuǎn)速800 r/min 下電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)對比圖Fig.2 Comparison of motor speed response at a given speed of 800 r/min

由圖2 可以看出當(dāng)電機(jī)從零速上升到參考轉(zhuǎn)速800 r/min 時(shí)，ST 自適應(yīng)滑模控制的超調(diào)量只有85 r/min 左右，相比較傳統(tǒng)滑模控制的154 r/min減小了將近45%，且動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)滑模控制，從0.1 s 減小到了0.017 s 左右。當(dāng)0.2 s 時(shí)對電機(jī)施加10 N/m 時(shí)，可以看出ST 自適應(yīng)滑模控制的轉(zhuǎn)速降只有11 r/min 左右，相較于傳統(tǒng)滑模控制的108 r/min 減小了近90%，而穩(wěn)定時(shí)間相對卻減少了0.0785 s。綜上，ST 自適應(yīng)滑模算法在降低超調(diào)、負(fù)載波動(dòng)以及快速穩(wěn)定上性能都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)滑模控制，提高了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。又由加載前后靜態(tài)局部放大圖可以看出加載前后傳統(tǒng)滑模速度控制下，轉(zhuǎn)速波動(dòng)有略微增大趨勢，而ST 自適應(yīng)滑模速度控制下速度波動(dòng)較小，且波動(dòng)明顯優(yōu)于傳統(tǒng)滑模控制，可見新型滑模速度控制靜態(tài)特性也優(yōu)于傳統(tǒng)滑模控制。

圖3 給定轉(zhuǎn)速800 r/min 上下5 r/min 波動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖Fig.3 Speed response diagram of the motor with a fluctuation of 5 r/min up and down at a given speed of 800 r/min

圖4 給定轉(zhuǎn)速800 r/min 上下5 r/min 波動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖Fig.4 Speed response diagram of the motor with a fluctuation of 5 r/min up and down at a given speed of 800 r/min

由圖3、圖4 可以看出當(dāng)給定800 r/min 上下5 r/min 波動(dòng)時(shí)，ST 自適應(yīng)滑模控制下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)依舊能很好的跟隨，而傳統(tǒng)滑模控制則無法快速跟隨。可見ST 自適應(yīng)滑模速度控制器性能確實(shí)優(yōu)于傳統(tǒng)滑模速度控制。

4 結(jié)語

針對PMSM 交流調(diào)速系統(tǒng)中使用傳統(tǒng)滑模速度控制器時(shí)，轉(zhuǎn)速超調(diào)大、加載時(shí)轉(zhuǎn)速下落大、到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)間長以及魯棒性差的問題，提出了一種基于Super-twisting 算法的自適應(yīng)滑模速度控制器以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的滑模速度控制器。基于MATLAB/Simulink 對新型滑模速度控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明相較于傳統(tǒng)滑模控制器，新型滑模速度控制器超調(diào)小，到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)間短，且魯棒性優(yōu)越。