帶有雙臨界指數項的非線性Choquard方程解的存在性

崔雪玲,王非之

(煙臺大學數學與信息科學學院, 山東 煙臺 264005)

本文研究了下述帶有雙臨界指數項的非線性Choquard問題

(1)

-Δu+u=(Iα*F(u))f(u),x∈N,

其中N≥3,F∈C1(;),f=F′, 證明了若f滿足適當的次臨界增長條件, 則上述問題存在非平凡解, 而且說明了這些條件是上述問題有非平凡解的必要條件。LI和MA[6]研究了

本文在文獻[7]的基礎上,只在N≥5的條件下得到了問題(1)解的存在性,推廣了文獻[7]的結論。

以下為本文中要用到的方法。

由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式(引理1)和Sobolev嵌入定理, 泛函Jα(u):H1(N)→屬于C1(H1(N,)), 定義為

而且

若u是方程(1)的弱解, 則Pohoz?ev 恒等式P(u)=0[5], 這里P(u):H1(N)→是Pohoz?ev泛函, 定義為

本文結構如下:第1節給出一些預備知識, 第2節建立Pohoz?ev-Palais-Smale序列, 第3節給出定理1的證明。

1 預備知識

利用山路引理證明解的存在性,考慮山路水平[5]

(2)

這里山路集合定義為

Γ={γ∈C([0,1];H1(N)):γ(0)=0,Jα(γ(1))<0}。

首先給出一些引理,然后計算出式(2)中山路水平b的取值范圍。

推論1 由引理1,對于任意v∈Ls(N),其中N)且

引理2[9]令Ω?N為一個有界區域,q∈(1,∞)且{un}為Lq(Ω)中的有界序列。若un→u在Ω上幾乎處處成立,那么在Lq(N)上un?u。

下面對山路水平b進行估計。

證明令序列 {uj}?H1(N){0} 滿足和P(uj)=0,那么,

也就表明b≥0。證畢。

先利用uε(x)來估計b。

由文獻[6]和[10],有下述估計,

(3)

(4)

(5)

通過直接計算,對于ε<1,

其中

其中

簡單計算得

因此

(6)

類似地,對于ε<1,

其中

其中

簡單計算得

因此

(7)

由于

所以結合式(3)—(7),可得

再利用vδ(x)來估計b。

容易看出

(8)

通過直接計算,對于δ<1,

其中

其中

簡單計算得

因此

(9)

注意到

其中

簡單計算可得

a1≤O(δN),a2=O(δN),

因此

(10)

類似地,對于δ<1,

其中

其中

簡單計算可得

因此

(11)

最后

其中

其中

簡單計算得

因此

(12)

由于

所以結合式(8)—(12)可得

綜上所述, 結論得證。

2 Pohoz?ev-Palais-Smale序列

本節將構造Pohoz?ev-Palais-Smale序列。首先給出定義。

定義1 一個序列(uj)j∈屬于H1(N)是Jα在水平b的一個Pohoz?ev-Palais-Smale序列,如果當j→∞時,

Jα(uj)→b>0;

Jα′(uj)→ 0, 在(H1(N))*中強收斂;

P(uj)→ 0。

引理5 對方程(1)對應的泛函Jα及山路水平b, 存在一個Pohoz?ev-Palais-Smale序列{uj}?H1(N), 使得當j→∞時,

Jα(uj)→b>0;

Jα′(uj)→ 0, 在(H1(N))*中強收斂;

P(uj)→ 0。

證明證明分為以下三步進行:

(1)臨界水平滿足b<∞。

對于任意函數u(x)和τ≥ 0,定義uτ:N→為

直接計算,對于每個τ>0,

(2)臨界水平滿足b>0。

對于每一個u∈H1(N){0},由H?lder不等式和推論1可得

從而

(13)

(3)根據文獻[11], 對σ∈,ω∈H1(N)以及x∈N, 定義映射Φ:×H1(N)→H1(N), 并且Φ(σ,ω)=ω(e-σx)。對每一個σ∈以及ω∈H1(N), 通過計算, 泛函Jα°Φ為

(Jα°Φ)(σn,ωn)→b,(Jα°Φ)′(σn,ωn)→ 0,(×H1(N))*。

(14)

因為對每一個(h,k)∈×H1(N), 有

(Jα°Φ)′(σn,ωn)[h,k]=Jα′(Φ(σn,ωn))[Φ(σn,k)]+P(Φ(σn,ωn))h,

所以P(Φ(σn,ωn))→ 0。我們取un=Φ(σn,ωn)即可。證畢。

3 定理1的證明

本節首先給出一些引理,然后給出定理1的證明。

引理6 假設{uj}是泛函Jα的一個Pohoz?ev-Palais-Smale序列, 則{uj} 在H1(N)中有界。

證明由于{uj}是H1(N)中的Pohoz?ev-Palais-Smale序列,

于是,

引理7[12]令α∈(0,N)且當j→∞時,uj在H1(N)中弱收斂于某個u0,

定理1的證明令{uj}?H1(N)是泛函Jα的一個Pohoz?ev-Palais-Smale序列, 那么

并且由引理6, {uj} 在H1(N)中是有界的。于是{uj} 存在一個子序列{un} 在H1(N)中弱收斂于u0, 即un?u0。接下來證明u0是問題(1)的解。

由 〈Jα′(u0),u0〉=0得

因此

令vn=un-u0可得,

利用引理7和8, 注意到

由〈Jα′(u0),u0〉=0以及〈Jα′(un),un〉→ 0, 可得

(15)

再一次利用引理7和8, 注意到

由P(u0)=0,P(un)→ 0, 可得

即

(16)

因此, 結合式(15)與式(16), 可得

假設

由S1,S2的定義,

于是

(17)

根據上式,下面證明b1=0 并且b2=0。

這也與引理4矛盾, 因此b1=0。即證得b1=b2=0。

于是

由上式可知在H1(N)中, 當n→∞時,vn→ 0, 即un→u0,則u0是方程(1)的弱解。證畢。