均布載荷作用下膠接懸臂梁的靜態響應分析

史文譜,王 浩,閆家正

(煙臺大學機電汽車工程學院,山東 煙臺 264005)

層合梁比單層梁有諸多好處,比如剛度強化、受力穩定、力學性能優化、降低應力集中和減少不必要的附重等[1],因而廣泛應用于路橋工程、吊裝碼頭、微納米機電系統[2]等許多場合。在材料力學教程[3]中,對界面不滑移理想結合組合梁問題已有討論;在假設疊合梁間光滑接觸情形下,謝麗君[4]討論了簡支疊合梁的撓度計算問題;談至明[5]則利用Goodman假設研究了Winkler彈性地基上雙層疊合梁的計算問題,給出了解析解;趙亮等[6]利用廣義哈密頓原理、有限元法和Newmark迭代法研究了雙層疊合梁上存在移動質量時的振動特性問題;揭敏在文獻[7]中討論了密實非膠接自由接觸梁的計算問題;唐曉雯等[8]基于層合梁彎曲的Timoshenko理論和電測技術研究和測試了均布載荷作用下的簡支(雙金屬)層合梁的彎曲正應力;羅威等[9]分析了膠接接頭可靠性的影響因素和研究進展;陳征輝等[10]分析了膠層厚度、膠接真空度和膠接夾持距離等因素對交接強度的影響問題;羅威等[11]利用ANSYS軟件探討了膠粘劑彈性模量對膠接接頭的應力分布的影響。縱觀列出和未列出的參考文獻看,有關膠接[1]懸臂梁在均布載荷作用下的變形計算和剪切應力分析的問題還未見有論文發表,對此,本文基于線彈性變形和材料力學假設進行了理論研究,給出了膠接梁的撓度、上下梁的軸向位移以及膠層內剪切應力隨不同E2/E1時的變化情況,數值算例結果表明膠層內最大剪切應力靠近梁的固定端一側,且梁的撓度大小和軸向位移大小以及膠層剪切應力大小的變化曲線都隨E2/E1的增大呈下降趨勢。

1 問題模型和分析

圖1是膠接組合懸臂梁,分上梁、膠層和下梁三部分,梁長為L,梁的寬度為b,膠層厚度為δ,上下梁高度分為h1,h2;楊氏模量分別為E1,E2;膠層剪切模量為G。梁的左端固定,右端自由,下梁承受向上的均布載荷作用,線密度為q,建立圖示3個坐標系oxw、o1z1y和o2z2y;o1、o2分別是上下梁截面的形心點。假設梁變形和膠層剪切變形是線彈性的,上下梁變形的平面假設成立。

圖1 純彎矩作用下的膠接組合懸臂梁

假設上下梁截面形心線撓度分別為w1(x),w2(x),形心線上點的軸向位移分別為u10(x,y),u20(x,y);上下梁截面上任意點的軸向位移分別為u1(x,y),u2(x,y)。由于膠合梁的上下梁在變形過程中始終沒有分離,故根據材料力學知,在小變形假設下,上下梁在同一截面上各點的撓度是一樣的,并統一假設為w(x),即

w1(x)=w2(x)=w(x),

(1)

由梁變形的平面假設知,膠合梁任意截面x處上梁截面y1處和下梁截面y2處點的軸向位移u1,u2可分別表示為

(2)

其中:w′(x)表示撓度w(x)關于x的一階導數;y1,y2分別是上下梁截面上計算位移的點離其中性軸的距離。

與位移u1,u2分別對應的線應變ε1,ε2可寫為

(3)

其中,w″(x)是撓度w(x)對x的二階導數。

膠層很薄,其角變形假設為線彈性的,從幾何關系上,其剪切應變γ為

(4)

由問題的本構方程(胡克定律)有

(5)

假設上下梁任意截面x處的軸向力和內力矩分別為(FN1,M1)和(FN2,M2),則它們可表示為

(6)

其中:S1,S2分別是上下梁橫截面面積;J1,J2分別是上下梁截面關于其各自中性軸z1,z2的截面慣性矩。

從上下梁上分別截取微元體進行受力分析如圖2所示,容易推出軸向力FN1,FN2與剪應力τ之間滿足如下方程組

圖2 上下梁微元體受力分析

(7)

由合力矩定理,對膠合梁截面的分界線取矩(忽略膠層的厚度)可得組合梁整體截面上的總內力矩M(x)為

M=M1+M2-h1FN1/2+h2FN2/2,

(8)

其中,M是任意截面上的總內力矩。

綜合考慮式(5)—(8)可得位移函數u10,u20,撓度w(x)和內力矩M(x)滿足的微分方程組如下所示

另外,根據內力矩M(x)與分布載荷q(x)之間的微分關系d2M(x)/dx2=q(x),對式(9)中的第三個方程兩邊關于x連續微分2次得

(10)

由式(9)容易得到

(11)

將(11)式兩邊關于x微分一次得

(12)

將式(12)代入式(10)中整理得

對式(9)中的第一個方程關于x連續微分3次有

(14)

其中,w(4)是撓度函數w(x)關于x的四階導數。

將式(12)和式(13)代入式(14)中整理得

(15)

d2f/dx2-β2f=Q,

(16)

方程(16)的解為

f(x)=Ach(βx)+Bsh(βx)-Qβ-2,

即

(17)

連續對方程(17)關于x積分3次有

u10(x)=β-3[Ash(βx)+Bch(βx)]-

(18)

其中,A,B,A1,A2,A3是待定積分常數。

u20(x)=-χ{β-3[Ash(βx)+Bch(βx)]-

(19)

其中:A4,A5是積分常數,χ=E1S1/(E2S2)。

將式(17)代入方程(13)中有

(20)

方程(20)的解為

w(x)=ζβ-4[Ach(βx)+Bsh(βx)]+

(21)

問題的邊界條件為

(22)

將式(18)、式(19)和式(21)代入式(22),可得如下方程組

(23)

另外,由于膠接梁任意截面x處的總內力矩為M(x)=(L-x)2q/2,將該結果代入式(9)中的第三個方程有

(L-x)2q/2,

(24)

將式(18)、式(19)和式(21)代入方程(24)中,通過x的次冪同類項比較,可得如下待定系數方程組

(25)

最后,對于膠接梁任意截面x處,位移函數u10(x),u20(x),w(x)還應滿足式(9)中的第一個方程,同樣利用x的次冪同類項比較,可得待定系數方程組

(26)

聯合求解方程組(23)、(25)和(26)得到待定系數A,B,Aj(j=1,2,…,9)結果如下

(27)

將式(27)代入下列方程組(28)就最終確定了軸向位移u10(x),u20(x)、撓度w(x)和剪切應力τ(x)的具體表達式

(28)

2 算例與分析

假設L=0.9 m,b=0.055 m,h1=0.065 m,h2=0.085 m,E1=2.0×109N/m2,E2/E1=0.5,1.5,2.5,3.5,膠層厚度δ=0.000 2 m,剪切模量G=2.5×107N/m2,q=200 N。計算結果給出了在其他條件不變的情形下,梁撓度w(x)、膠層剪切應力τ(x)和上下梁形心線上點的位移u10(x),u20(x)隨梁不同材質E2/E1比和截面位置x的變化情況,如圖3—6所示。從圖3看出,膠接梁撓度w(x)隨E2/E1的增大呈遞減變化,但又隨著x的增大而增大,這符合懸臂梁變形的特點;從圖4看出,在這4種材質組合下,膠接梁膠層內的剪切應力τ(x)呈現相似規律變化,即都有一個明顯的峰值,位于[0.041,0.065]m之間,而在該峰值前后大體呈現直線規律變化,并且在x=L處為零,這是符合膠接梁在該處無剪切應力的邊界條件的;此外,隨著E2/E1比的增大,該峰值呈下降趨勢。從圖5和圖6看出,隨著E2/E1比的增大,上下梁形心線上點的位移值呈減少趨勢,但對一定材質組合來說,它們的絕對值又隨著截面位置參數x的增大而增加;另外,圖5說明了上梁形心線發生壓縮變形,懸垂端變形最大;圖6說明下梁形心線發生了拉伸變形,懸垂端拉伸變形最大。圖7說明了當膠層厚度為δ=0.000 2 m時,膠層界面剪切應力的變化情形,剪切應力峰值更偏向梁的固定端。

圖3 膠接梁撓度隨不同材質組合和截面位置的變化

圖4 膠層剪切應力隨不同材質組合和截面位置的變化

圖5 上梁形心線軸向變形隨不同材質組合和截面位置的變化

圖6 下梁形心線軸向變形隨不同材質組合和截面位置的變化

圖7 膠層厚度為時其邊界剪切應力隨不同材質組合和截面位置的變化

3 結束語

根據上述理論分析和算例結果可得如下結論:

(1)對不同材質膠接成的組合懸臂梁,在均布載荷作用下,膠層內的剪切應力不為零,在靠近梁的固定端附近的一定范圍內剪切應力較大,增加也比較快,是容易發生剪切破壞的地方。

(2)隨著下梁與上梁楊氏模量比E2/E1的增大,膠接梁的撓度逐步減少,但梁的撓度沿著梁的長度方向卻總是單調增加的,這與懸臂梁的變形特點吻合。

(3)對于膠接梁來說,在其下梁受到均布載荷作用時,上梁形心線承受壓縮;下梁形心線承受拉伸。

(4)從計算結果看,在本文受載條件下,上下梁楊氏模量比越小,膠合梁的強度和剛度性能就越好,這是采用膠合工藝的重要原因之一。