觀察·猜想·歸納·演繹
——小學生數學基本活動經驗量表創建之水平維度劃分研究

福建省廈門市前埔南區小學 劉琳暉

小學生數學基本活動經驗即小學生經歷和感悟歸納推理和演繹推理過程后積淀的經驗，并最終形成數學思維模式。筆者通過對基本的數學思維活動經驗核心成分進行分析，發現在數學活動中，教師都要引導學生從觀察入手，提出猜想，歸納概括，并運用結論進行演繹推理，從而積累數學活動經驗。

愛因斯坦說過：所謂教育，是將學校學到的知識忘掉后剩下的本領。這種隱性的本領之一即為數學基本活動經驗，需要通過一定的測量工具將其外顯化。筆者通過明確數學基本活動經驗核心成分，根據數學基本活動經驗內隱性的特征，進一步研究其框架結構，創建小學生數學基本活動經驗量表。量表包括水平方向的數學基本活動經驗維度劃分和豎直方向的數學基本活動經驗層次水平劃分，本文重點研究水平方向的維度劃分，包括觀察、猜想、歸納及演繹四個方面的內容。

一、觀察，厘清思維的關聯性

蘇霍姆林斯基說：觀察是智慧最重要的能源。觀察作為積累數學基本活動經驗的初步階段，是人們憑借感性經驗獲取事物表象的認知，并對其進行加工的過程。數學中的觀察包含兩個方面：異中求同和同中求異。異中求同可以通過讓學生觀察比較，抽象概括出事物的共同屬性，明確概念之間的共性問題；同中求異可以突出對象之間的差異性，突出概念的本質屬性。

例如教學三角形的認識，課始出示六邊形、五邊形、四邊形、三角形等圖形，讓學生觀察比較圖形的共同點并思考可以從哪些角度研究圖形，從而發現共性：平面圖形可以從邊、角、頂點進行觀察研究。接著給平面圖形添上線段，再次讓學生觀察，發現任何多邊形都可以分割成三角形，感受三角形是平面圖形中最基本的圖形，從而明確研究的內容。教學從學生熟悉的平面圖形入手，喚醒學生已有的經驗，明晰觀察角度與內容，積累了知識和方法的數學活動經驗。

又如教學線段、直線、射線時，利用課前三分鐘，播放豎琴、激光、大橋等畫面，讓學生帶著數學的眼光欣賞生活中的線條；接著把各種線條抽象出來，進一步引導學生觀察、想象、比畫，進行分類，從而明確研究對象。在此過程中，從生活中的實例引入各種不同的線，學生通過觀察，初步感知三種線的表象，并通過分類，從而明確研究“直的線”，有利于良好認知結構的形成。借助生活中的原型，以學生已學的線段為起點，放手讓學生觀察、想象、描述，明確線段、射線、直線特點，在比較異同中突出三種線的本質屬性。

觀察作為最基本的學習活動，要在教師的引導下，學會從不同現象中看出事物的共性和本質，或在多種相似事物中發現不同?！巴高^現象看本質”，有機訓練學生的觀察力和對事物的敏感度，并展開豐富的聯想，厘清思維的關聯性，逐步走向認識和理解的深刻，在“用眼注視”和“用腦思考”中積累數學活動經驗。

二、猜想，開發思維的發散性

牛頓有句名言：沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發明和發現。猜想即對探究的知識和數學問題進行的一種預測性推斷，是學生在觀察后根據已有的數學知識和經驗，對數學對象做出推斷的思維形式。數學猜想是數學學習中最活躍、最積極、最主動的因素之一，它能夠吸引學生全身心投入相關探究活動中，驗證猜想過程，發散數學思維。

例如教學三角形的分類時，教師出示了三個只露出一個角（分別是鈍角、直角、銳角）的三角形，讓學生猜想分別是什么三角形。對于前面兩個圖形，學生能很順利地猜出分別是鈍角三角形和直角三角形，而最后一個圖形學生產生意見分歧。教師沒有馬上進行驗證，而是放手讓學生大膽質疑，用不同的方法，如畫圖呈現、語言描述等去說理。教師充分挖掘含有猜想因素的知識內容進行加工，創設猜想的思維空間，為猜想奠定了基礎。同時激活學生的數學思維，讓學生在猜想與表達過程中加深對三角形分類的理解，完善知識結構。

又如在認識三角形特點時，可以引導學生再次觀察三角形邊和角的特點，啟發學生提出猜想，如三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的內角和是180°；直角三角形兩個銳角相加之和為90°；三角形三條邊不同，三個角也不同；等等。在教學中，教師借助關聯性的教學內容，發散學生思維，引導學生去觀察、比較，進而提出猜想，打破學生慣性思維，主動學習。同時還要引導學生細心驗證，把猜想和驗證有機結合起來，這樣的猜想對于積累數學活動經驗才具有完整的現實意義。

數學猜想作為探索數學規律本質時思維活動的策略之一，是在已有的事實或知識經驗的基礎上進行的一種假設。教師要善于為學生創設有利條件，讓學生大膽觀察、主動猜想，培養學生猜想的能力，讓學生在自主猜想—實踐驗證中體驗成功的樂趣，并轉化成對學生有益的數學活動經驗。

三、歸納，培養思維的聚合性

小學的數學學習是以活動經驗為基礎、以邏輯思維為核心的認知過程。在一定意義上可以說，邏輯思維的實質就是推理。歸納推理是推理的一種重要形式，是從部分到整體、特殊到一般的推理。在教學中，教師引導學生從觀察入手進行思考，利用已有的事實和經驗引發猜想，在歸納中推斷出某些數學結果。學生在經歷數學活動的過程中積累了豐富的數學活動經驗，就能自然迸發出靈感，培養思維的聚合性。

如教學多邊形的內角和時，通過特例長方形和正方形，猜想任一四邊形的內角和是360°。利用四邊形與三角形之間的關系，利用分割法進行轉化，從而推導四邊形的內角和是360°。當學生有了這樣的經驗后，讓學生進一步思考如何求五邊形、六邊形的內角和。學生遷移經驗，輕松想到將多邊形分割成三角形，從而得到多邊形的內角和，再通過表格梳理歸納，發現n邊形與（n-2）個180°之間的關系，得到規律，多邊形的內角和是（n-2）×180°。

在探究過程中，可以繼續啟發學生用其他方式進行驗證，如在多邊形內任取一點O與各頂點相連，觀察發現三角形的個數和多邊形的邊數相同，思考多邊形的內角和與拆成的三角形內角和之間的聯系，發現所有三角形的內角和減去一個周角，即180°n-360°=（n-2）×180°。學生經歷了從不同的角度進行公式的猜想與歸納的過程，掌握多種驗證方法的同時，實現分析能力的提升和概括思維的形成。

教學中，教師創設歸納推理的情境，能激活學生原有的經驗，進行合情推理，促進思維的嚴謹性，感受猜想、探究、驗證帶來的成功體驗和數學學習的樂趣。同時，可以通過圖形說理、舉反例、列表等方法讓學生明白歸納是一種嚴謹的數學推理，讓學生對數學知識有更為完整、深刻的認知，培養學生的數學發現力、建構力和創造力。

四、演繹，拓展思維的邏輯性

演繹推理是從一般性的前提出發，通過推導得出具體陳述或個別結論的過程。教學中注重培養學生的演繹推理能力，“語言是思維的外殼”，教師可通過追問為什么，讓學生深入思考，學會組織語言表達推理的依據，養成有理有據的思維模式，學會演繹推理，開發思維的邏輯性。

如在學習了三角形的面積后，課后有這么一道題：梯形ABCD（如圖）中哪兩個三角形的面積相等？

或許有學生會通過觀察，脫口而出S△ADO=S△BOC，此時只停留在猜想的層面。這時教師要適時追問，讓學生充分表達，借助同底等高的三角形面積相等這一結論來證明，并學會規范書寫過程得到結論。

因為△ABC與△DAB、△ADC與△BCD都是同底等高的三角形，

所以S△ABC=S△DAB，S△ADC=S△BCD。

因為S△ABC=S△AOB+S△BOC，

S△ABD=S△ADO+S△AOB，

所以共有3組面積相等的三角形。

演繹推理通常存在于邏輯和數學證明中。學生在演繹證明的過程中，教師要鼓勵學生大膽說出思考的過程，并把推理的依據、過程以及得到的結論充分展現出來，這能讓學生表達更加嚴謹，思維更富邏輯性。

小學生數學基本活動經驗量表創建之水平方向四個維度劃分中，觀察和猜想屬于積累數學基本活動經驗的萌芽階段，歸納和演繹則是成長階段。在小學數學學習中，有很多可供學生進行觀察的內容，如認識圖形、探索規律等，需要指導學生科學觀察的順序、角度和方法，引導學生描述觀察的結果，鼓勵學生大膽猜想。進而指導學生嘗試自主進行歸納、演繹等推理互動，以更加有序的思維研究數學問題，積累數學活動經驗，從而獲取數學知識。