隨機通脹下基于終止風險的DB養(yǎng)老金計劃的保費估值

何學強, 王傳玉，余 鑫

(安徽工程大學 數(shù)理與金融學院，安徽 蕪湖 241000)

在養(yǎng)老金計劃的設計中，根據(jù)繳費和支付方式的不同，可以分為確定給付(Defined Benefit，DB)型和確定繳費(Defined Contribution，DC)型計劃。DB養(yǎng)老金計劃中養(yǎng)老基金是養(yǎng)老金支付的主要來源，養(yǎng)老金計劃發(fā)起人在需要時有道德義務向養(yǎng)老金計劃提供支持。如果養(yǎng)老金計劃出現(xiàn)赤字問題和發(fā)起人公司破產(chǎn)，那么DB養(yǎng)老金計劃會出現(xiàn)養(yǎng)老基金提前終止和發(fā)起人資產(chǎn)遇險終止兩種風險。一旦出現(xiàn)這兩種風險，員工退休時的收益就得不到保障。因此，DB養(yǎng)老金計劃通過引入PBGC為養(yǎng)老金計劃提供擔保，使養(yǎng)老金計劃受益人能夠從PBGC獲得足夠的養(yǎng)老金。作為回報，養(yǎng)老金計劃發(fā)起人需要支付一筆保費給PBGC以確保利益。研究的目的是確定PBGC應該為其保險收取的價格，以保持財務穩(wěn)定，從而實現(xiàn)自籌資金。

關(guān)于PBGC保費計算的一系列工作中，最早的工作可以追溯到Sharpe,Sharpe假定PBGC是解決養(yǎng)老基金赤字的第一條途徑。Marcus將PBGC的負債建模為遠期合約，這使得PBGC能夠從終止的計劃中獲得盈余，然而這是不太現(xiàn)實的，因為法律不允許PBGC的責任是消極的。Lewis通過為公司的非養(yǎng)老金資產(chǎn)建立獨立的隨機過程來計算養(yǎng)老金保險的理論保費、非養(yǎng)老金債務、養(yǎng)老基金和養(yǎng)老金負債，并將PBGC的負債建模為看跌期權(quán)合約。Bodie和Brown的工作表明，從PBGC的角度來看，統(tǒng)一保費是錯誤的，而定價不當?shù)酿B(yǎng)老保險對計劃發(fā)起人是有害的。而Stewart提供了背后的經(jīng)濟理由和相關(guān)后果，經(jīng)濟的理由是，對有風險的公司來說，收取固定的保費會導致股票的市場價值增加，從而為贊助商提供更多風險和資金的激勵。另一個研究的方向是設計PBGC的終止或監(jiān)管規(guī)則，以及一般的養(yǎng)老金擔保制度。Cheng根據(jù)關(guān)鍵資金比率提出了一項養(yǎng)老金保障保險的終止規(guī)則，這是通過解決優(yōu)化問題而實現(xiàn)的。此外，養(yǎng)老金監(jiān)管至關(guān)重要。Chen的研究中說明，養(yǎng)老金福利可以通過各種方式得到保障，與養(yǎng)老基金提供的保護相比，擔保人的援助只提供了全額養(yǎng)老金支付的部分保障，將償付能力要求與養(yǎng)老保障基金和擔保人支持相比較。償付能力要求提供了內(nèi)部緩沖，而養(yǎng)老保障基金和擔保人援助作為外部擔保機制。Chen進一步了解養(yǎng)老基金的最佳監(jiān)管規(guī)則，并發(fā)現(xiàn)監(jiān)管機構(gòu)需要充分考慮安全機制和風險措施。

Kalra首先考慮了養(yǎng)老基金的提前終止，并研究了這類非自愿終止的保費評估問題。然后Chen在完備市場下討論了養(yǎng)老基金的提前終止，假設PBGC作為二級保險擔保發(fā)揮作用?？紤]到PBGC僅涵蓋養(yǎng)老基金的剩余赤字，并建立養(yǎng)老基金資產(chǎn)和發(fā)起人資產(chǎn)模型，該模型解釋了養(yǎng)老基金和發(fā)起人公司的資產(chǎn)的聯(lián)合動態(tài)，有效地確定PBGC提供的基于風險的養(yǎng)老金保險的保費，還用積分的方法得到了這種基于提前終止風險的保費的封閉定價公式。接著Chen在Chen的基礎上建立了養(yǎng)老金擔保公司(PBGC)提供的基于風險的保險費計算模型。并且考慮到養(yǎng)老基金和計劃發(fā)起人的投資政策，還考慮到發(fā)起人資金不足引發(fā)的遇險終止，實證地說明了對100家最大的美國DB贊助公司的理論定價公式。還觀察到，在基于風險的保費計算中，資金比率和杠桿是主要的風險因素。Qian首次在同時考慮提前終止和遇險終止的條件下研究PBGC為DB養(yǎng)老金計劃擔保所收取的保費估值問題。

文獻[1-13]逐步完善了PBGC為養(yǎng)老金計劃擔保的保費計算問題的研究，從最開始不考慮養(yǎng)老金計劃終止的情況，到后來單獨考慮提前終止或遇險終止，再到后來同時考慮兩種終止情況時的保費計算。雖然這些研究為養(yǎng)老金計劃機制的完善提供了理論依據(jù)，但是之前的研究都是在理想的條件下進行的，例如無通貨膨脹。這就會導致研究結(jié)果與現(xiàn)實會有較大的差異，即這些研究結(jié)果的應用伴隨著一定的風險。而在金融市場中，通貨膨脹是實際存在的，因此，研究在前人的基礎上引入隨機通脹因素，這樣得出的結(jié)果會與現(xiàn)實更接近。

近幾年通貨膨脹對金融市場的影響越發(fā)顯著，因此，在研究DB養(yǎng)老金計劃基于風險的保費時必須考慮隨機通脹因素。那么如何引入隨機通脹就是首先要考慮的問題，其次就是保費計算模型的建立，最后的問題就是數(shù)值模擬。研究在Qian的基礎上引用了王照中的隨機通脹模型，假設隨機通脹也是一個隨機過程，其收益水平滿足一個微分方程，養(yǎng)老基金資產(chǎn)和發(fā)起人資產(chǎn)在隨機通脹下的真實價值就等于無通脹時的價值除以隨機通脹的收益水平。然后給出提前終止和遇險終止觸發(fā)的條件，并對提前終止時間和遇險終止時間進行分析，得出PBGC在提前終止、遇險終止以及沒有提前終止和遇險終止這三種情況下對DB養(yǎng)老金計劃提供的資金援助。建立兩個終止時間的聯(lián)合終止概率密度表達式，通過對兩種終止時間的討論，得出提前終止、遇險終止以及沒有提前終止和遇險終止這三種情況下PBGC對DB養(yǎng)老金計劃提供的資金的均值，然后給出計劃發(fā)起人需要交給PBGC的保費的定價公式。最后，對結(jié)果進行數(shù)值模擬，分析隨機通脹對PBGC收取的保費的影響并比較了研究模型與Qian的模型。

1 模型構(gòu)建與假設

研究單一雇主的DB養(yǎng)老金計劃的養(yǎng)老金保險。假設養(yǎng)老金計劃在0時向

α

歲的一名代表受益人發(fā)放，該福利在

T

時作為一筆一次性付款支付給

R

歲的該受益人。那么支付時間

T=R

-

α

。從Qian1的研究出發(fā)，可以假設雇主有義務支付給受益人的福利為：

(

1

)

式中

,

p

是

α

歲的代表受益人至少活了

j

年的概率

;r>

0是無風險利率

;F

是規(guī)定的年度福利，具體取決于雇員服務年數(shù)、退休年齡、福利乘數(shù)和收入歷史。雖然時變利率或隨機利率可能更為現(xiàn)實，并對養(yǎng)老金支付產(chǎn)生影響，假設認為利率是固定的。主要研究目標是在隨機通貨膨脹下養(yǎng)老金發(fā)起人和養(yǎng)老基金對PBGC保費支付的影響。假設所有過程和隨機變量都定義在帶流概率空間

(Ω,F,{F

}

0≤≤

,P)

上，且滿足一般條件，其中

P

表示真實概率測度。而完備的金融市場是由無風險金融資產(chǎn)

(

例如銀行存款

)

和有風險金融資產(chǎn)

(

例如股票

)

組成。兩種資產(chǎn)的定價過程為：

dB

=rB

dt,

(

2

)

(

3

)

(

4

)

假設養(yǎng)老基金表現(xiàn)良好，那么所有福利都將由養(yǎng)老基金自己支付。如果養(yǎng)老基金資金不足，那么發(fā)起人的資產(chǎn)將是支付福利的潛在資源。發(fā)起人資產(chǎn)

a

滿足下面的微分方程：

(

5

)

隨機通貨膨脹也是一個隨機過程，其收益水平

Q

滿足下面的微分方程

:

(

6

)

考慮通貨膨脹的影響，則在

t

時刻的養(yǎng)老基金總資產(chǎn)的真實資產(chǎn)為

:

發(fā)起人公司資產(chǎn)的真實資產(chǎn)為：

則

(

7

)

(

8

)

在風險中性測度下，養(yǎng)老基金和發(fā)起人資產(chǎn)的表達式為

:

(

9

)

(

10

)

由伊藤公式解得：

2 計劃發(fā)起人和PBGC對養(yǎng)老金計劃提供的資金

對于標準終止，無論是計劃發(fā)起人還是PBGC都沒有義務對養(yǎng)老金計劃提供資金援助。研究的重點是考慮養(yǎng)老金計劃提前終止和遇險終止。

為了描述每種類型的終止，首先介紹一些關(guān)鍵的符號。對于養(yǎng)老基金的提前終止，定義了養(yǎng)老基金在

t

時刻的臨界值是

ηB

e

--，其中

B

e

--表示未來退休金支付在

t

時刻的貼現(xiàn)值，

η

是終止觸發(fā)時的資產(chǎn)比例，也就是說，是一種乘數(shù)，允許養(yǎng)老基金在一段寬限期內(nèi)恢復，以防它暫時表現(xiàn)不佳。

因此，在養(yǎng)老基金資產(chǎn)第一次低于或越過臨界值時，得到提前終止時間如下：

π

=inf{t|X

≤

ηB

e

--

},

(

11

)

式中，如果

η>

0，終止將永遠不會發(fā)生，而

η

≥1則意味著PBGC將作為完全資助的計劃結(jié)束。假設

η

∈

(

0

,

1

)

，并且要求

X

>ηB

e

-以確保最初的養(yǎng)老基金不會提前終止。遇險終止與計劃發(fā)起人的資產(chǎn)有關(guān)，通常來說，計劃發(fā)起人會發(fā)布公司債務。因此，假定發(fā)起人公司有責任在

t

時償還的債務為

θA

e

，0

<θ<

1是其初始杠桿率

;v

是反映公司債務增長率的預定常數(shù)

;A

是發(fā)起人資產(chǎn)的初始價值；

θA

是計劃發(fā)起人的初始債務水平。假定發(fā)起人公司優(yōu)先償還公司債務是合理的，使用停止時間

τ

來描述計劃發(fā)起人第一次未能支付債務和繼續(xù)經(jīng)營。這種終止的臨界值被定義為

ξA

e

。其中，

ξ

是一個比計劃發(fā)起人的杠桿比率

θ

更高的參數(shù)。假設養(yǎng)老金發(fā)起人有道德上的義務來彌補所要求的養(yǎng)老金福利的一些赤字。此外，我們還規(guī)定了

ξ<

1的技術(shù)條件，以確保發(fā)起人在0時刻不違約。因此，得到提前終止時間如下：

τ

=inf{t|A

≤

ξA

e

}

。

(

12

)

2.1 計劃發(fā)起人對養(yǎng)老金計劃提供的資金

在這一部分中，分析3種終止：標準、遇險和提前終止。對于標準終止，PBGC不提供任何資金。因此，只研究其他兩種情況：

τ

>τ

和

τ

≤

τ

。如果

τ

>τ

，那么發(fā)起人公司破產(chǎn)，并將首先觸發(fā)遇險終止。此外，將情況

τ

≤

τ

分成兩個子情況：

τ

≤

T

和

τ

>T

。

(

1

)

發(fā)起人資產(chǎn)在

T

時刻之前低于臨界值，即

τ

≤

T

。此時有：

X

>ηB

e

--和

A

=ξA

e

。①養(yǎng)老基金表現(xiàn)得很好，即

X

>B

e

--。這意味著養(yǎng)老基金資產(chǎn)的價值大于所承諾的養(yǎng)老金福利付款的貼現(xiàn)值。這種情況下，計劃發(fā)起人和PBGC都不要提供資金。②養(yǎng)老基金不足以支付所有貼現(xiàn)的養(yǎng)老金福利，即

X

<B

e

--。雖然

X

>ηB

e

--，但是仍然有可能使得

X

<B

e

--。這時發(fā)起人公司提供的資金為

:

S

(τ

)=(B

e

---

X

)I

----×

I

----+

(ξ

-

θ)A

e

I

---≥-×

I

----，

(

13

)

式中

,I

是示性函數(shù)；

B

e

---

X

指發(fā)起人公司的資產(chǎn)足以滿足

τ

時刻的養(yǎng)老金福利時，發(fā)起人公司能夠承受的部分。因此

,

這種情況下發(fā)起人公司將能夠填補在此情況下養(yǎng)老基金的不足。另一種情況是

,

當遇險終止發(fā)生時

,

發(fā)起人公司在清償?shù)狡趥鶆蘸鬀]有剩余多少資金

,

此時提供的資金是

(ξ

-

θ)A

e

。

(

2

)

發(fā)起人資產(chǎn)在時刻

T

之后低于臨界值，即

τ

>T

。這意味著

X

>ηB

且

A

>ξA

e

，且當

τ

≥

T

時，養(yǎng)老基金在到期日

T

自然關(guān)閉。值得注意的是，如果

X

≥

B

,

那么無論是計劃發(fā)起人還是PBGC都不需要介入并負責養(yǎng)老金的支付。因此，我們將專注于

X

<B

繼續(xù)進行分析。此時發(fā)起人公司提供的資金如下：

S

(T)=(B

-

X

)I

0--×

I

I

+

(A

-

θA

e

)I

-≥-×

I

I

,

(

14

)

如果

τ

≤

τ

，提前終止將在遇險終止之前觸發(fā)。我們也考慮兩種情況：

τ

≤

T

和

τ

>T

。

(

1

)

養(yǎng)老基金

T

時刻前資金不足，即

τ

≤

T

。這意味著

X

=ηB

e

--且

A

>ξA

e

，這時養(yǎng)老基金面臨提前終止，對于發(fā)起人資產(chǎn)有：

①發(fā)起人公司有部分償付能力，即

B

e

---

X

>A

-

θA

e

,

在這種情況下，PBGC提供了發(fā)起人公司無法承受的赤字比例。

②發(fā)起人公司表現(xiàn)足夠好，即

B

e

---

X

≤

A

-

θA

e

,

此時，受益人的養(yǎng)老金福利可以由發(fā)起人公司自己處理。

基于以上分析，可以從發(fā)起人公司獲得資金如下：

S

(τ

)=(A

-

θA

e

)I

1----×

I

+

(

1-

η)B

e

--

I

1---≤-×

I

。

(

15

)

(2)養(yǎng)老基金低于臨界值的時間不早于時刻

T

，即

τ

>T

。這時候有

X

>ηB

且

A

>ξA

e

。當

τ

>T

時，養(yǎng)老基金在到期日

T

自然關(guān)閉。只需要關(guān)注

X

<B

的情況，因為

X

≥

B

意味著養(yǎng)老基金足以支付所承諾的養(yǎng)恤金。因此有

S

(T)=(B

-

X

)I

0--×

I

I

+

(A

-

θA

e

)I

-≥-×

I

I

。

(

16

)

發(fā)起人公司提供的全部資金為

:

S

=[S

(τ

)I

≤+

S

(T)I

]I

+

[S

(τ

)I

≤+

S

(T)I

]I

≥。

2.2 PBGC對養(yǎng)老金計劃提供的資金

與Chen和Chen相一致，PBGC是養(yǎng)老金支付過程中的第三條途徑，它涵蓋了養(yǎng)老基金和發(fā)起人公司無法支付的剩余赤字。因此，PBGC提供的資金如下：

如果

τ

<τ

且

τ

≤

T,

即養(yǎng)老金計劃發(fā)生遇險終止，則

S

(τ

)=(B

e

---

X

-

(ξ

-

θ)A

e

)

×

I

---≥-×

I

----。

(

17

)

如果

τ

<τ

且

τ

>T,

或者

τ

≥

τ

且

τ

>T,

即養(yǎng)老基金在到期日

T

自然關(guān)閉

,

則

S

(T)=(B

-

X

-

(A

-

θA

e

))I

-≥-×

I

I

。

(

18

)

如果

τ

≥

τ

且

τ

≤

T

,

即養(yǎng)老金計劃發(fā)生提前終止，則

S

(τ

)=((

1-

η)B

e

---

(A

-

θA

e

))

×

I

1----×

I

。

(

19

)

結(jié)合以上4種情況，得出PBGC提供的資金為：

S

=[S

(τ

)I

≤+

S

(T)I

]I

+

[S

(τ

)I

≤+

S

(T)I

]I

≥。

(

20

)

3 PBGC收取的保費

研究將推導PBGC在為養(yǎng)老金計劃提供保險時應收取的基于風險的保費

p

的計算公式。基于風險的保費定義為

S

的貼現(xiàn)值的期望，如式(21)所示

:

p=E

{[e

-

S

(τ

)I

≤+

e

-

S

(T)I

]I

+

[e

-

S

(τ

)I

≤+

e

-

S

(T)I

]I

≥

}

。

(

21

)

(

22

)

(

23

)

引理

1 設

f

(z

,t)

，

f

(z

,t)

，

f(z

,z

,t)

分別表示

Z

1，

Z

2，

(Z

1

,Z

2

)

的密度函數(shù)

,

并且令

則

式中，

t

∈

[

0

,T]

。由于模型是同時分析不同類型的終止，所以無法使用

τ

和

τ

的邊際密度函數(shù)來計算保費。將遇險終止和提前終止放在一個單一的框架內(nèi)時，需要

(τ

,τ

)

的聯(lián)合密度作為計算的重要組成部分。

g(t

,t

)

是通過時間

(τ

,τ

)

的聯(lián)合密度函數(shù)。如果

τ

和

τ

獨立，則

g(t

,t

)=g

(t

)g

(t

)

，而

g

(t

)

和

g

(t

)

表示

τ

和

τ

的邊際密度函數(shù)。

引理

2 設

g

(t)

和

g

(t)

分別表示

τ

和

τ

的密度函數(shù)，則

式中，

φ(

·

)

表示標準正態(tài)隨機變量的概率密度函數(shù)，

t

∈

[

0

,T]

。

證明

由

Harrison

15可知

式中，

Φ(

·

)

表示標準正態(tài)隨機變量的累積分布函數(shù)。上式兩邊對

t

求導，得到

同理可得

將式

(

21

)

分解成4個部分，即養(yǎng)老金計劃遇險終止時，PBGC收取的保費為：

p

=E

(e

-

S

(τ

)I

≤

I

),

養(yǎng)老金計劃在計劃到期日

T

自然終止時，PBGC收取的保費為：

p

=E

(e

-

S

(T)I

I

),

養(yǎng)老金計劃提前終止時，PBGC收取的保費為：

p

=E

(e

-

S

(τ

)I

≤

I

≥

),

養(yǎng)老金計劃在計劃到期日

T

自然終止時，PBGC收取的保費為：

p

=E

(e

-

S

(T)I

I

≥

)

。

在給出主要結(jié)果之前，先定義

和

D(t,x,y)=xB

e

--+

yA

e

。

定理

1 當無風險利率大于公司債務增長率時

(r>v)

，PBGC保險的保費

p

如下所示：

p=p

+

p

+

p

+

p

=

證明

根據(jù)式

(

17

)

可以得出

p

=E

[e

-

S

(τ

)I

≤

I

]=E

[e

-

(B

e

---

X

-

(ξ

-

θ)A

e

)

×

I

---≥-×

I

----

I

≤

I

]

。

為了讓上式取非零值，上述示性函數(shù)中的所有事件都必須發(fā)生。

當事件

{ηB

e

--

<X

}

和

{X

<B

e

---

(ξ

-

θ)A

e

}

同時發(fā)生，則有

ηB

e

--

<B

e

---

(ξ

-

θ)A

e

}

，

從而得出

(r

-

v)τ

>lnC(r)

。結(jié)合

τ

≤

T

和

r>v

，可得

τ

的區(qū)間為

顯然，必須滿足約束條件

事件

{ηB

e

--

<X

}

和

{X

<B

e

---

(ξ

-

θ)A

e

}

同時發(fā)生等價于

ηB

e

--

<X

e

1

<B

e

---

(ξ

-

θ)A

e

}

。把上式先除以

X

,

然后兩邊取自然對數(shù)得到

Z

1的定義域。

否則

p

=

0。根據(jù)式

(

18

)

計算

p

，

p

=E

[e

-

S

(T)I

I

]=E

[e

-

(B

-

X

-

(A

-

θA

e

))

×

I

-≥-

I

I

I

I

]

。

上式取非零值，必須滿足

B

-

ηB

>B

-

X

>A

-

θA

e

≥

ξA

e

-

θA

e

,

這意味著

C(v)

必須小于1。

由

ηB

<X

=X

e

1

<B

+

θA

e

-

A

≤

B

-

(ξ

-

θ)A

e

,

和

ξA

e

<A

=A

e

2

<B

-

X

+

θA

e

，可得

Z

1和

Z

2的定義域為

因此，如果

C(v)<

1，則

(D(T,

1

,θ)

-

X

e

-

A

e

)f(z

,z

,T)g(t

,t

)dz

dz

dt

dt

，否則

p

=

0。遵循同樣的想法，可以推導出

p

的表達式。如果

C(v)<

1，則

(D(T,

1

,θ)

-

X

e

-

A

e

)f(z

,z

,T)g(t

,t

)dz

dz

dt

dt

，否則

p

=

0。

p

=E

[e

-

S

(τ

)I

≤

I

≤

]=E

[e

-

((

1-

η)B

e

---

(A

-

θA

e

))

×

I

1----

I

I

≤

I

]

。

p

的計算和

p

相似，為了讓上式取非零值，下列不等式必須成立：

(

1-

η)B

e

--

>A

-

θA

e

>(ξ

-

θ)A

e

。

由此得出

(ξ

-

θ)A

e

<(

1-

η)B

e

--。因為

r>v

且

τ

≤

T,

可以得出約束條件

C(r)<

1和

(r

-

v)τ

>lnC(r),

即

所以，如果

C(r)<

1，則

否則

p

=

0。因為

r>v

，所以

C(r)>C(v)

。結(jié)合所有情況，就得出了結(jié)果。

定理

2 當無風險利率等于公司債務增長率時

(r=v)

，PBGC保險的保費

p

如下所示：①如果

C(r)=C(v)<

1，則

p=p

+

p

+

p

+

p

=

②如果

C(r)=C(v)

≥1，則

p=

0。

定理

3 當無風險利率小于公司債務增長率時

(r<v)

，PBGC保險的保費

p

如下所示：①如果

C(v)<

1，則

p=p

+

p

+

p

+

p

=

②如果

C(v)

≥1且

C(r)<

1，則

p=p

+

p

=

③如果

C(v)

≥1，則

p=

0。

證明類似于定理1。

4 數(shù)值模擬與分析

圖1 基于風險的保費p與隨機通脹波動率σt的關(guān)系圖 圖2 基于風險的保費p與養(yǎng)老基金投資風險資產(chǎn)比例的關(guān)系圖

5 結(jié)論

研究在隨機通貨膨脹條件得到由PBGC為基于提前和遇險終止風險的DB養(yǎng)老金計劃提供擔保的保費定價公式，并進行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明，隨機通脹的加入使得保費增加了。雖然這一結(jié)果給計劃發(fā)起人增加了負擔，需要支付更多的保費給PBGC，但是卻降低了PBGC所承擔的風險。并且通貨膨脹因素在現(xiàn)實中是實際存在的，增加通貨膨脹因素大大降低了結(jié)果的誤差。因為以前的研究沒有考慮到通貨膨脹，所以前期研究的結(jié)果讓PBGC實際操作過程中缺少了靈活性。而此處研究結(jié)果是在通貨膨脹條件下得出的，更符合實際情況，也更容易被PBGC接受。

研究主要的貢獻是在同時考慮提前終止和遇險終止的情況下增加隨機通脹因素來對PBGC收取的保費進行建模。此外，模型還可以在其他一些方面進行拓展，比如，將固定的無風險利率改進為隨機利率。