例談一類含雙變量x1,x2的不等式求解問題

安徽

含雙變量x1,x2的不等式求解問題一直是高考數學的重要考點之一,并且經常以壓軸題的形式出現.試題設計經常與函數、不等式結合起來進行考查,同時注重對轉化與構造、函數與方程、數形結合等重要的數學思想與方法的考查,試題整體難度較大,從而造成學生思維混亂,難以進行深入推理與計算.因此,本文針對這類含雙變量x1,x2的不等式求解問題,將結合實例進行分析,尋求此類問題的解題策略,并提供一些高考數學的備考建議,以便同行交流與探討.

一、考點類型分析

1.對稱轉化,借助單調

評注:由g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]化為g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)是一種數學對稱美的體現,遇到類似的條件句朝著對稱的方向轉化.這樣一來,對于任意的x1>x2>0,總有g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)成立,就變成了φ(x1)>φ(x2),這就轉化為函數φ(x)=g(x)+λf(x)在(0,+∞)上單調遞增,最終轉化為導數問題.

例2.已知函數f(x)=-lnx-2x2+1,證明對于任意x1,x2∈(0,+∞),不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立.

評注:含有|f(x1)-f(x2)|的式子解題關鍵是去掉絕對值符號,可以利用單調性去掉絕對值符號.即對于單調增函數f(x),若x1g(x1)在[a,b]上恒成立?g(x)在[a,b]上單調遞增,所以g′(x)≥0在[a,b]恒成立.對于含有二元變量x1,x2的函數,可以使變量x1,x2分別位于不等號兩邊,呈現出不等式左右兩邊結構一樣的對稱關系式,便于構造函數模型解決問題.

2.整體換元,構造函數

(2)證明:x1x2>e2.

(2)f′(x)=lnx-ax,x1,x2是f(x)的兩個極值點,可知x1,x2分別是方程lnx-ax=0的兩個根,即lnx1=ax1,lnx2=ax2,設x1>x2,

相加得lnx1+lnx2=a(x1+x2)①,

相減得lnx1-lnx2=a(x1-x2)②,

故所證不等式x1x2>e2成立.

3.關注極值,借助偏移

例5.已知函數f(x)=(x-2)ex+3(x-1)2有兩個零點,設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2.

解析:由題意知f′(x)=(x-1)ex+6(x-1)=(x-1)·(ex+6).令f′(x)>0,則x>1,令f′(x)<0,則x<1,所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,因此函數的唯一的極值點是x=1.構造函數F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+3(x-1)2-(-x)e2-x-3(1-x)2=(x-2)ex+xe2-x.

所以,F(x)=f(x)-f(2-x)在R上單調遞增.因為F(1)=f(1)-f(2-1)=0,所以當x>1時,f(x)>f(2-x),不妨設x1<1f(2-x2).所以,f(x1)=f(x2)>f(2-x2),即f(x1)>f(2-x2).因為x2>1,則2-x2<1,且x1<1,又因為f(x)在(-∞,1)上單調遞減,所以x1<2-x2,即x1+x2<2.

4.等價轉化,構造模型

例6.函數f(x)=(x-3)ex,對于任意x1,x2∈[1,3]有f(x1)-f(x2)≤a,則實數a的最小值為________.

解析:令f′(x)=0,解得x=2,因為f(1)=-2e,f(2)=-e2,f(3)=0,所以f(x)min=-e2,f(x)max=0.又因為對于任意x1,x2∈[1,3],有f(x1)-f(x2)≤a,所以f(x)max-f(x)min≤a.因為f(x)max-f(x)min=e2,所以a≥e2,故實數a的最小值為e2.

評注:|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min?f(x)min-f(x)max≤f(x1)-f(x2)≤f(x)max-f(x)min.對于任意x1,x2∈D,f(x1)-f(x2)≤a?f(x)max-f(x)min≤a;f(x1)-f(x2)≥a?f(x)min-f(x)max≥a.

5.依據結構,等價轉化

評注:對于任意的x1,x2,不等式|f(x2)-f(x1)|≤m恒成立的意義就是函數f(x)在區間內任意兩個函數值相差都不超過m,即f(x)max-f(x)min≤m；而存在x1,x2能滿足不等式|f(x2)-f(x1)|≥m的意義是函數f(x)在區間內,至少存在兩個函數值相差超過m,即f(x)max-f(x)min≥m.

6.任意存在,注意區別

例8.已知e為自然對數的底數,f(x)=xlnx+a,g(x)=x2ex.

評注:若對于任意x1∈D1總存在x2∈D2使得f(x1)=g(x2),實質上就是兩個函數值域的包含關系,故此類問題利用值域可解;當涉及x2的具體個數時,就不是單純依靠函數值域就能解決的.如若任意x1∈D1總存在唯一的x2∈D2使得f(x1)=g(x2),函數g(x)在區間[-1,1]內取一個與f(x1)相等的函數值,對應的自變量的值x2是唯一的.從圖形上看,函數g(x)在區間[-1,1]上必須是單調的,且y=f(x1)與函數g(x)圖象有且僅有一個交點.

二、復習備考建議

1.立足數學解題通性、通法教學,構建數學題組訓練

高考數學試題對于函數的基本概念、性質、原理、法則等的考查由來已久,特別是近幾年新高考制度的不斷改革創新,也使得高考數學題更加注重學生核心素養的目標達成以及數學學科的關鍵能力考查.絕對值不等式,對數平均數不等式,常用對數不等式等都有歷史的傳承,盡管高考數學試題的情境不斷變化,但是考點卻相對固定,解題的通性通法基本上都是將雙變量問題轉化為單變量問題,至于解題策略,教師應教給學生常見的構造法,轉化法,換元法等等,無論哪種方法,最終目的都是實現將雙變量(或多變量)問題進行減元、降次,從而逐步接近目標結構式,最終解決數學問題.在這一過程中,學生的解題思路打開了,思維也得到真正提升,從而大幅提高學生的邏輯思維水平.

教師在平時的課堂教學中,可以設置形近質異的試題組合,對學生進行鞏固訓練,培養學生的思維辨析能力,還可以通過設置變式題組訓練,對學生進行思維發散與聚合鞏固訓練,真正實現學生思維的有效遷移.

2.開展主題式、微專題式復習教學,形成知識框架體系

主題式復習教學就是系統地整合數學知識、方法和技能,總體上梳理數學問題的特征,解題“套路化”,找出思維誤區、知識盲點,真正實現教學條理化、順序化、結構化.微專題式復習教學就是通過微專題,對數學某一概念、某一方法、某一考點類型、某一知識點進行系統地深度教學,讓學生真正從概念表層、方法、思路單一、固化走到深度感悟數學本質和規律的數學復習教學形式.教師在課堂上,通過學生思維的聯想與類比,聚合與發散等,引領學生真正從一看就懂,一做就錯,轉向問題脈絡清晰、透徹,解題思路融會貫通,變式練習達成有效的最終目標,實現學生思維的整體提升與整合,構建學生的自我知識框架體系.

導數不等式問題,本身就是高考數學的難點之一,特別是雙變量導數不等式問題,部分學生認為是“老題陳酒”,早已過時,于是不再關注.正是由于歷史遺留的知識盲點和思維“痛點”沒有真正解決和“根治”,在后期專題復習中,考生“高原綜合征”的現象時有發生.例如,2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)第21題導數不等式中恒成立問題,2018年全國卷Ⅰ理科第21題導數不等式中雙變量問題都是典型的癥狀表現,由于很多學生考前過度刷題,不求甚解,造成臨考思維混亂,解法機械套用,無法實現真正解決問題,最后考場敗下陣來.