數學抽象素養的特征及其案例分析

四川

數學抽象是數學核心素養之一,也是重要的數學基本思想,雖然中學數學教師對于抽象思維的培養一直都比較重視,但是,數學抽象與一般意義上的抽象還是有所不同的,有些教師對于數學抽象的理解還不夠深刻,本文探討數學抽象的基本特征及其培養策略,希望能對讀者有所啟發.

一、數學抽象的價值性特征

數學抽象的價值性主要體現在:數學抽象具有重要的學科價值.從一定程度上而言,數學學科主要是借助于數學抽象建立起來并不斷發展的,一方面數學抽象使數學成為高度謹慎、高度精確、應用廣泛、結構性強的學科,另一方面,數學抽象的不斷發展,使數學學科與其他學科緊密地聯系在一起.數學抽象具有重要的教育價值.學生學習數學不僅能培養其數學抽象核心素養,還有助于改善其思維方式,提高思維效率,同時,數學抽象還可以幫助其更好地體會數學的本質等.因此《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》將數學抽象作為數學學科核心素養之一.對教師而言,引導并訓練學生逐步從初級的經驗水平轉向高級的科學水平,提高學生的思維水平,促進他們的智慧發展,是數學教育的任務.

案例:當復習到“面面垂直的判定定理”時,學生無法表述定理內容,這時教師應啟發學生,門不管旋轉到什么位置,它總與地面垂直,可以從這個現象中總結定理.如果還是沒有效果.需要教師繼續幫助分析,不管門怎么旋轉,它總是繞門軸旋轉,而門軸始終與地面垂直,即使如此,有可能還是有學生說不出定理內容.為什么會出現這種情況呢?僅僅歸咎于從新授課到高三復習之間的時間過長,學生遺忘嚴重,這說不通.要重視培養學生的數學抽象能力.實際生活中隨處可見“面面垂直”的現象,學生坐在教室里,視線就離不開“面面垂直”,應從身邊想象、抽象出“面面垂直”的定義、定理,讓學生體驗數學的應用性和無窮魅力.

二、數學抽象的客觀性特征

數學是以抽象的方式來反映客觀世界的數量關系與空間形式的一門科學,具有一定的客觀性.數學抽象的客觀性常常表現為，許多抽象的數學理論具有一定的客觀現實背景,或者數學抽象的產物(即數學理論)在社會生活、科學研究中具有廣泛的用途.《全日制義務教育數學課程標準(試驗稿)》指出:數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概況、形成方法和理論,并進行廣泛應用的過程.從本源上來說,很多數學概念或數學理論是從現實世界客觀存在的事物中,經過抽象,概括出客觀事物之間的數量和數量關系、圖形與圖形關系.其數學抽象的過程并不是由人們憑空捏造、任意想象的,并不會因為某一個(類)人某種觀念的變化而發生改變.數學抽象的客觀性一方面表現在數學抽象的對象與結果是客觀的.數學對象并不是沒有內容的,也不是與現實世界毫無關系的,從本源上來說,許多數學對象來自于現實世界.在某一數學對象及其理論被數學家創造出來之后,就像現實世界客觀存在的事物一樣具有一定的客觀屬性.另一方面,表現為數學概念、數學理論等數學抽象的產物,其蘊含的數學內容是有其數學基礎與邏輯保障的,并且不斷受到數學共同體的檢驗.從這個角度而言,數學抽象具有一定的客觀性.

案例:筆者對“兩平面垂直”的相關定義、定理進行了梳理,形成以下教學思路:首先,探究載體源自生活.實際生活中隨處可見“面面垂直”的現象,應從身邊想象、抽象出“面面垂直”的定義、定理;其次,強化探究思路的分析.一節課就是一個微課題,研究方向要明確,這里的研究方向與教學目標有點相似,但需要教師與學生共同分析,得出合理的探究目標,而不是學生必須遵循教師的要求去學習;最后,要遵循課程理念和課程標準的要求.定義、定理的抽象,必須是建立在探究的基礎上,發現問題的本質內涵而后抽象形成.問題的設計,不能過多選用指向性很強的問題,那不是探究問題,那是邏輯思考解決問題,不是真發現.探究問題要有“寬”度,要讓學生想開,培養他們的發散思維能力,那樣的發現才是自主發現,由此抽象出的結論,學生才能經久不忘！

三、數學抽象的模型化特征

數學抽象是用數學語言概括或近似地描述現實世界的事物之間的數量關系與空間形式.數學抽象離不開模式化,模式化的最終結果是構建數學模型.數學模型是溝通數學與現實世界的橋梁.為了構造適宜的數學模型解決某一現實問題,需要對現實問題進行一定簡化,忽略其次要因素、或與解決問題無關的因素,并在此基礎上運用一定的數學方法,使之轉化成一個數學問題.即從數學的角度,運用數學的手段,不斷使一個現實問題理想化與形式化.最后,運用一定的數學方法解決相應的數學問題,并把所得的問題的解代回到現實問題中進行檢驗,以分析其是否達到預設的解決目的.另外,很多時候,模型化的數學抽象過程并不是一次性完成的,而是有一個逐步完善、不斷精確的過程,如果在構建某一數學模型的過程中,簡化(忽略)的因素太多,從而在一定程度上改變了原來現實問題的本質結構,這時候所得的數學模型對原來現實問題的解答只能是初步的、近似的,可能遠遠不能滿足其預設的解決目標.這時候就需要把此前簡化(忽略)的某些因素重新納入,重新構建新的數學模型,尋找新的解決問題的數學方法.理想的數學模型要求與所需要解決的現實問題完全吻合,可以100%解決其現實問題,但由于現實問題的復雜性,針對某一現實問題構建其理想的數學模型往往是困難的,有些甚至是不可能的.因此,在構建數學模型的過程中,往往要進行“折中”,只要能夠達到預設的解決問題的目標要求,就可以認為相應的數學模型是合理的、有效的.

案例:教學是師生共同構成的一個交往互動的過程,教師之所以具有不可替代性,正是因為教學具有動態性的特點.教材提供了教學的線索,提供了學生學習知識的框架，而如何讓學生真正理解知識,發展未來生活學習必備的素養,則需要教師對教材和課堂靈活駕馭.數學是一門抽象性極強的學科,也是發展學生抽象思維的最佳學科.面對靈活多變的課堂和個性鮮明、具有較強思維能力的高中生,要想培養他們的數學抽象素養,不僅要對數學知識和學生抽象思維發展特點有較好的掌握,更要在課堂中巧設疑問，把握好教學時機.

四、數學抽象的形式化特征

數學抽象的最終表現形式(即數學抽象的結果)通常是高度抽象化和形式化的.數學形式化的重要組成部分和表現形式主要體現為:首先,數學符號是數學思維活動最基本的物質載體與數學思想交流與傳播的重要媒介,它能夠以最直觀、最簡明的形式來表達人們的數學思想.其次,數學符號將數學的文字語言轉化為符號語言,從而為數學理論的表述和數學論證提供了極大的便利.再次,數學抽象的重要表現形式之一是公理化.公理化即從一些預先選擇的原始概念和公理出發,運用邏輯方法,構建相應的數學內容體系.數學公理化方法作為一種重要的數學方法,可以揭示一個數學系統或分支的內在規律,從而使它系統化、邏輯化.從數學學科發展的角度而言,數學的形式化(公理化)可以精確的揭示數學命題或數學推理之間的邏輯聯系,合乎邏輯的推導出相應的數學內容體系,從數學教育的角度而言,數學抽象的形式化(公理化)特征可以訓練學生的邏輯思維能力與抽象思維能力等.在數學教學過程中,教師應結合具體的數學內容逐步培養學生，形成使用合乎邏輯的數學符號進行數學推理的學習習慣與學習能力,并在數學教學過程中逐步參透數學的形式化(公理化)思想,引導學生逐步感受、理解和運用形式化(公理化)思想.

案例:雙曲線作為圓錐曲線的一種,在平時的教學中，教師常常采用從橢圓類比而來的方法,將橢圓定義中的“和”用“差”置換提出問題,并通過拉鏈畫圖讓學生感受滿足條件的點的軌跡特征,進而引出雙曲線定義,這樣的教學看似符合當下以學生為中心、讓學生在探究中得到知識的理念.但仔細剖析,不難發現這種探究只是一種假探究,并沒有留給學生充分的分析和想象空間.后面焦點定義的提出更是牽強,按照學生當時的知識儲備水平和思維水平,是不可能將這樣一種曲線和兩個定點聯系起來的,這兩個點是如何得到的更是無法追尋.其實可以拿出一張平整的紙張,在上面找到兩個定點F1,F2,以F1為圓心、小于F1F2的長度為半徑作圓,在圓周上任取點Pi,i=1,2,3,4,…，之后,將紙張進行折疊,使得F2與圓上的點P1重合,將折痕記為l1,通過折疊找到半徑F1P1所在直線與折痕l1的交點,記為M1，然后在圓上再取一點,記為P2,重復前面兩個步驟,得到交點M2.通過多次折疊,發現折痕包裹出兩條相背又相互對稱的曲線,引出雙曲線概念.

五、數學抽象的理想化特征

數學抽象是從數量關系與空間形式兩個角度來研究事物之間的本質與規律的一種數學研究方法,在數學抽象的過程中,其面對的數學對象往往是經過一定簡化或純化,即進行了一定理想化的.由于事物的有些屬性對研究該事物某些方面的性質沒有直接的關系,或者所起的作用可以忽略不計,為了便于研究,常常適當舍棄與目標無關的一些屬性,建立一種高度抽象的理想個體,這就是理想化的過程.另外,從理想化的發展進程而言,理想化是一個不斷深入與完善的過程,為了逐步實現數學抽象的理想化,需要數學研究者對數學抽象的對象與過程進行反復歸納、概括與提煉,從數學的角度拋開事物表象的、外部的、偶然的因素,抽出事物本質的、內在的、必然的因素,數學抽象理想化的形成過程是漫長的、不斷發展的.另一方面看,由于數學抽象的理想化特征,使得相關的數學理論得以簡化與純化,從而使人們更容易去認識、掌握并運用它.因此,數學的研究必須借助理想化,沒有理想化,數學自身的發展將是難以想象的,有了理想化,數學的抽象才能達到更高層次.

六、數學抽象的精確性特征

數學抽象貫穿于數學知識的產生、發展與應用的過程中,具有一定的精確性,在一定程度上體現了數學知識的本質特征,揭示了數學知識之間的普遍聯系,并使得由此得到的數學知識的概括性更強、抽象程度更高、應用性更廣等.另外,數學抽象的精確性,還體現在它要求我們必須用嚴謹而合理的數學基礎和推理過程來保證由數學抽象得到的數學知識的精確性,換言之,數學概念的精確性與推理邏輯的嚴謹性成就了數學結論的精確性和邏輯必然性.由于數學知識是客觀的、具體的(數學知識被數學家創造出來,并經數學共同體確定之后,就具有了一定的客觀性),而數學抽象作為一種重要的數學研究方法,卻是靈活的,并具有一定精確性,因此,掌握某類數學知識相對而言是較為容易的,但是對數學抽象的掌握與運用,卻需要較長時間的學習與理解,并基于具體的數學學習內容與數學學習過程,逐步加深對相應數學抽象過程與數學抽象方法的理解與掌握程度.按通常情況下學生學習時認知的先后順序,把數學抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化等五個階段,應結合具體的數學內容與數學教學過程,以螺旋上升、逐步深入的方式,引導學生逐步經歷與感悟、理解與運用數學抽象的以上階段.

案例:哥尼斯堡是歐洲一個美麗的城市,一條河流流經這個美麗的城市,河里面有兩座島,有七座橋連接著岸和島、島和島,人們晚飯后沿著河岸散步,可以經過橋走到島上,或者經過橋走到對岸.有一天,一個人想出一個游戲來,看誰能夠不重復地走遍這七座橋.不重復地走遍這七座橋包含兩個意思,第一是要把這七座橋都走一遍,第二是不能重復地走這七座橋,每座橋都只能走一遍,幾天實踐下來,沒有一個人能找到這樣的一條路線,不是少走了一座橋,就是某座橋走了兩遍.

這是為什么呢?歐拉通過三步抽象解決了這一問題:第一步抽象是地圖的抽象.這個問題和島的開放、封閉、大、小沒有關系,和岸的開放、封閉、橋的長短、直彎也沒有關系,重要的是岸、橋、島的相對位置關系,把岸和島抽象成點,把這七座橋分別抽象成七條線.這一步抽象是對地圖的抽象,把地圖抽象成點線圖,這既簡化了問題的條件,又突出了問題的本質.第二步抽象是對問題的抽象.不重復地走遍七座橋,歐拉把它抽象成要用筆畫出這個點線圖來.既不能少畫一條線,也不能重復地畫一條線,這是對問題的抽象.這一步抽象明確了問題的本質,給出了問題的表述.第三步抽象是把問題轉化為數學方式的敘述.“找到一個連通的點線圖可以一筆畫出的充分必要條件,并且對可以用一筆畫出的圖形給出一筆畫的方法”這一步抽象便于發展我們數學方式的理性思維，從歐拉的三步抽象過程中可以看到數學抽象的作用和威力.

七、數學抽象的純粹性特征

數學抽象是數學教學中一種經常性、普遍性的思維活動,也是數學活動中最基本、最重要的思維方式之一,具有一定的純粹性.數學抽象的純粹性在于它只是純粹的考慮事物與現象的數量關系和空間形式,同時完全舍棄事物和現象的其他一切屬性,對事物與現象進行定量的分析,這種特殊的抽象內容正是數學與其他學科的根本區別.數學抽象的純粹性不僅體現在數學抽象的內容上,更體現在數學抽象的方法上,數學抽象的對象是通過邏輯建構這一方法所獲得的,而數學對象的邏輯建構借助于純粹的數學語言(和邏輯語言)，正是這種“純粹”的數學抽象的內容與方法,在一定程度上保證了數學理論的精確性、邏輯性、嚴謹性.另外,數學抽象的純粹性還體現在其所達到的特殊高度,數學抽象的對象,并非像其他學科那樣全部依賴于客觀世界的事物,更有一部分抽象對象是為了讓人們更好地去理解其他事物或現象,由人們的思維直接創造而成的.數學抽象的這種高度純粹性,決定了它的抽象程度遠高于其他學科.

第一問屬于基礎題目,解不等式便可解決.第二問根據函數單調性的定義,通過作差比較,分類討論,即可使問題得到解決.第三問，證明題本來就是學生學習的難點,再加上純粹的數學證明的抽象性等原因,使得學生對于證明題會出現無法下手、邏輯不清等困難.學生對于抽象的問題總是想一步到位找到解決辦法,但是在平時的學習中,學生又缺乏分解問題的能力,即分步解決問題的邏輯思維和能力.對于這種抽象的題目,很多學生會選擇放棄,這十分可惜.第三問確實有一定的難度,對于充分性的證明,需要學生準確把握題干中所提供的數據信息,根據零點存在性定理準確找到零點的范圍;必要性的證明則利用了第二問單調性的結論,借助g(x)的性質加以分解,總之,第三問的解決需要對抽象的數學證明加以分解,并通過敏銳的觀察力,結合題目分析論證.

八、數學抽象的發展性特征

數學抽象的發展性,一方面表現為數學抽象是具有層次性的,即對數學對象的抽象是逐級抽象、逐步完善、不斷發展的,無論是在數學學習過程中,還是在數學發展過程中,數學抽象一直在不斷的深入與豐富.具體表現為數學學習與研究過程是從基礎到復雜、從具體的事物到抽象的事物,再從初步抽象的數學結果抽象出更為抽象的數學結果.隨著抽象層次的不斷提高,數學不斷地向更高(高維,多變量)的抽象層次發展,使它包含的內容更深刻、更遠離現實世界,從而使應用與適用的范圍也越來越廣.另一方面,數學抽象的發展表現為學生對數學抽象的認識與理解是逐步深入的,其數學抽象能力是逐步提高與發展的,隨著學生對數學抽象對象、數學抽象過程以及由此而產生的數學抽象結果的深入理解,其對數學抽象的認識不再固執于它的某一方面,而是綜合考量數學抽象各方面的本質特征,以及它們之間的內在聯系和相互作用等.

案例:歐拉對哥尼斯堡七橋問題的研究成果,最終在圣彼得堡科學院發表,這篇論文是具有歷史意義的一篇論文,它開創了圖論的先河,其實也開創了拓撲學的先河.數學的抽象性使得一部分學生很頭疼,當然也使得很多學生因為數學的抽象美而深深地愛上了數學,不管是數學證明問題還是具體的應用題目,只要學會數學抽象的手段,對問題加以分解,步步攻克,都會柳暗花明,得到新的成果.數學家的創新思維是值得我們學習和體會的,在中學教學和學習過程中,師生無時無刻不在實踐數學抽象,讓大家體會到抽象是數學的武器,是數學的優勢,我們應該喜愛抽象并且學會抽象的手段,體會數學精神,學會數學思維,掌握數學方法,使用數學語言,理解數學思想,提高數學素養.