基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐研究

廣東

深度學(xué)習(xí)是指在教師的引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.在這個(gè)過程中,學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識,理解學(xué)習(xí)的過程,把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法,形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機(jī)、正確的價(jià)值觀.如何判斷課堂教學(xué)深度學(xué)習(xí)是否發(fā)生,主要看是否具備以下幾個(gè)特征:一是聯(lián)想與結(jié)構(gòu),把要學(xué)的內(nèi)容與以前的內(nèi)容聯(lián)系起來,同時(shí)以融會貫通的方式對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織,構(gòu)建出自己的知識結(jié)構(gòu);二是活動與體驗(yàn),學(xué)生能夠全身心投入到探索、發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷知識的形成過程,體會科學(xué)的思考方法;三是本質(zhì)與變式,能夠抓住教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵特征,全面把握學(xué)科知識的本質(zhì)聯(lián)系,并能夠在變式中辨析本質(zhì)特征;四是遷移與應(yīng)用,要將學(xué)習(xí)的東西用到新的情境中去,能夠舉一反三,學(xué)以致用.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修訂)》中指出:日常教學(xué)應(yīng)加強(qiáng)對基本概念和基本思想的理解和掌握,核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全程,幫助學(xué)生逐步加深理解.隨著新課程的深入實(shí)施,高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)受到了前所未有的重視.在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“深度學(xué)習(xí)”必須做好以下幾個(gè)方面:1.問題驅(qū)動,激活學(xué)生思維;2.深入探索,體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程;3.意義構(gòu)建,理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì);4.靈活遷移,應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決問題.

一、問題驅(qū)動,激活學(xué)生思維

問題是數(shù)學(xué)的心臟,激發(fā)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生為核心,設(shè)計(jì)適合學(xué)生學(xué)習(xí)的問題來展開教學(xué),發(fā)展學(xué)生思維.教學(xué)內(nèi)容的問題是教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境,以問題為中心組織教學(xué)內(nèi)容,以問題啟發(fā)學(xué)生思考,探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論,以獲得知識形成、問題解決的體驗(yàn).在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,教師圍繞概念的生成創(chuàng)設(shè)一系列的問題情景,交叉地指導(dǎo)學(xué)生探究,步步深入,最終解決問題.

(一)合理地創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的問題情景

華羅庚曾說過:“唯一推動我學(xué)習(xí)的力量,就是興趣與方便,因?yàn)閿?shù)學(xué)是充滿了興趣的科學(xué),也是最便利于自學(xué)的科學(xué).”富有趣味和啟發(fā)性的問題情景可以形成生動活潑、積極健康的課堂氛圍,這樣能使學(xué)生的大腦處于適度的興奮狀態(tài),易于引起學(xué)生的興趣,從而更好地接受新知識,并在此基礎(chǔ)上通過聯(lián)想、分析、綜合和推理,進(jìn)行創(chuàng)造性的深度學(xué)習(xí),最終習(xí)得概念的本質(zhì)及遷移應(yīng)用.在這個(gè)過程中,使學(xué)生個(gè)體的創(chuàng)造力、潛能和素養(yǎng)得到豐富和發(fā)展,個(gè)體的能動性得到充分展現(xiàn),實(shí)現(xiàn)知識向能力的轉(zhuǎn)化,使教學(xué)過程變成學(xué)生個(gè)性發(fā)展和完善的過程.

數(shù)學(xué)歸納法(節(jié)選)

師:四大古典名著之《三國演義》中有非常著名的一個(gè)章節(jié)——呂子明白衣渡江,關(guān)云長敗走麥城,講的是“武圣人”關(guān)羽打敗仗的故事,有哪些同學(xué)讀過這個(gè)故事?跟大家分享一下.(學(xué)生們被成功吸引,部分同學(xué)躍躍欲試,老師抓住機(jī)會開始點(diǎn)將)

生:故事講的是……(老師根據(jù)學(xué)生的講述情況進(jìn)行補(bǔ)充,保證故事的完整性)

師:故事聽完了,我想問大家一個(gè)問題:“白衣”是“化裝成平民”,那么呂蒙為什么要“白衣渡江”?(課堂氣氛進(jìn)一步活躍,同學(xué)們都迫不及待地發(fā)表意見)

生:化裝成平民可以出其不意地襲取烽火臺,打關(guān)羽一個(gè)措手不及.(同學(xué)們各抒己見,課堂氣氛高漲)

師:為什么出其不意地襲取了一個(gè)烽火臺,就會打關(guān)羽一個(gè)措手不及?烽火臺有什么作用?(老師特別強(qiáng)調(diào)“一個(gè)烽火臺”)

生:烽火臺點(diǎn)火就會升起“狼煙”,一個(gè)接一個(gè)地點(diǎn)火,以這種方式向遠(yuǎn)方傳遞敵情.而呂蒙成功襲取了一個(gè)烽火臺,使這種“狼煙”沒有辦法升起,也就無法進(jìn)行信息的傳遞,所以……

師:呂蒙的勝利是因?yàn)樗谩皵?shù)學(xué)歸納法”.(同學(xué)們都目瞪口呆,紛紛表示“抗議”,要老師對這個(gè)結(jié)論做出讓他們理解的解釋,我因正中下懷而暗自竊喜,旗開得勝,課程開始)

在這個(gè)導(dǎo)入設(shè)計(jì)中,摒棄了傳統(tǒng)的導(dǎo)入方式,設(shè)計(jì)了一個(gè)充滿啟發(fā)性的問題情境,一下子抓住了學(xué)生的思維,使學(xué)生思維順著教師的設(shè)計(jì),一步一步進(jìn)行下去,并在整個(gè)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)過程中都跟烽火臺的狼煙傳遞進(jìn)行呼應(yīng),讓學(xué)生在情感體驗(yàn)的同時(shí)輕松地學(xué)習(xí),取得了較好的效果.強(qiáng)化問題情景的啟發(fā)功能,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用、形成探究的欲望,應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂的發(fā)展方向.

(二)合理創(chuàng)設(shè)問題鏈,引領(lǐng)學(xué)生層層深入探究

問題鏈?zhǔn)墙處煘榱藢?shí)現(xiàn)一定的教學(xué)目標(biāo),根據(jù)學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn),針對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中將要產(chǎn)生或可能產(chǎn)生的困惑,將教材知識轉(zhuǎn)換成層次鮮明、具有系統(tǒng)性的一連串的教學(xué)問題:是一組有中心、有序列、相對獨(dú)立又相互關(guān)聯(lián)的問題.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的“問題鏈”,對學(xué)生主動建構(gòu)概念有較強(qiáng)的導(dǎo)向作用,是促進(jìn)學(xué)生理解和掌握概念本質(zhì),發(fā)展學(xué)生的思維能力,以及推動學(xué)生實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的一種有效控制手段,是提高課堂教學(xué)效率的一種教學(xué)策略.

函數(shù)的奇偶性(節(jié)選)

問題1:觀察下列函數(shù)的圖象有何特征?

問題2:如何用數(shù)學(xué)的語言去描述函數(shù)圖象的“對稱”?

問題3:如何定量刻畫二次函數(shù)f(x)=x2自變量取互為相反數(shù)時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值相等?能列舉一些具體數(shù)據(jù)嗎?這樣的列舉能反映函數(shù)f(x)=x2圖象的變化趨勢嗎?能用什么辦法解決好定量刻畫問題?

問題4:如何用符號語言表示函數(shù)f(x)的圖象“關(guān)于y軸對稱”或“關(guān)于原點(diǎn)對稱”?

問題7:如果函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)任意自變量x,都有f(-x)+f(x)=0,函數(shù)f(x)是奇函數(shù)嗎?

問題8:如果函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)任意自變量x,都有f(-x)-f(x)=0,函數(shù)f(x)是偶函數(shù)嗎?

問題9:回顧上述學(xué)習(xí)過程,有何體驗(yàn)或感悟?

問題的設(shè)計(jì)一定要精準(zhǔn),問題鏈中的每一個(gè)問題都是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)“錨點(diǎn)”,環(huán)環(huán)相扣,層層深入,引導(dǎo)學(xué)生抓住核心問題深入探究.“函數(shù)的奇偶性”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中,問題鏈就像一根指揮棒,指引著學(xué)生對“函數(shù)的奇偶性”進(jìn)行深度學(xué)習(xí).從圖象直觀出發(fā),到奇(偶)函數(shù)的描述性定義,再到奇偶性形式化的定義;從定性描述到定量刻畫;用“任意”突破“無限”等,由淺入深,環(huán)環(huán)相扣,最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

二、深入探索,體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“輕過程、重結(jié)果”,流行做法有“導(dǎo)學(xué)案”,“一個(gè)定義三項(xiàng)注意”等,忽視概念產(chǎn)生的背景和形成過程,概念學(xué)習(xí)退化為“列舉概念要素、關(guān)鍵詞和注意事項(xiàng)”的學(xué)習(xí).教學(xué)活動外化,教學(xué)內(nèi)容泛化,課堂變的熱鬧了,在一定程度上激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情,但學(xué)生內(nèi)在的思維和情感沒有被真正激活,課堂缺乏深層次的思考.導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)打破了原有課程的內(nèi)在邏輯,支離破碎,課堂的花架子很多,實(shí)質(zhì)性的內(nèi)容卻很少,教學(xué)內(nèi)容嚴(yán)重泛化或碎片化,造成了低效甚至無效.課堂教學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探索,體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程和本質(zhì),堅(jiān)持重結(jié)果也重過程,讓數(shù)學(xué)教學(xué)成為“有思想的教學(xué)”,成為提高學(xué)生思維能力的舞臺.

直線的傾斜角與斜率(節(jié)選)

師:在平面直角坐標(biāo)系中,要確定一條直線,需要哪些幾何要素?

生:兩點(diǎn)確定一條直線.

師:還有沒有其他確定一條直線的方法呢?

情境:教師展示一個(gè)很大的正方形,該正方形的對角線比同學(xué)們手中的三角板(等腰直角)的任意一條邊都長得多,怎么樣將它的對角線連接起來呢?

生:正常情況下直接將相對的兩個(gè)頂點(diǎn)連接起來便可得到,但是這里的正方形對角線比三角板的任意一條邊都長得多,這種做法不可取.我們知道正方形的對角線與邊成45°,只要將三角板的一條直角邊或者斜邊與正方形的一邊重合,且兩者的頂點(diǎn)重合,把過該點(diǎn)的斜邊或直角邊逐漸延長,最終可準(zhǔn)確地將正方形的對角線連接起來.

師:直線還可以由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向(角)來確定.這個(gè)角就是兩條直線間的相對位置關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)確定一條直線的要素除了兩個(gè)點(diǎn),還可以是一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向(角).

下面我們將直線放在平面直角坐標(biāo)系中來研究.給出一點(diǎn)P,可以作無數(shù)條直線.這些直線組成“直線束”.

師:一個(gè)點(diǎn)不能確定一條直線,如果要確定直線束中的某條直線,還需要一個(gè)什么條件?如果學(xué)生說出第二個(gè)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生回憶剛才畫正方形對角線的情境.確定一條直線還需要一個(gè)方向(角),由此說明引入傾斜角的必要性.

師:剛才通過畫正方形對角線了解到,一個(gè)角是兩條線的相對位置關(guān)系,現(xiàn)在我們要有刻畫傾斜程度的角,就必須還有一條形成角的參照的直線.在平面直角坐標(biāo)系中,以哪條軸線為基準(zhǔn)形成刻畫傾斜程度的角?(學(xué)生可能回答x軸或y軸)

師:以x軸或y軸為基準(zhǔn)都可以,在平面直角坐標(biāo)系中討論角,我們常常以x軸為基準(zhǔn).當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.

當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0°.

設(shè)計(jì)意圖:利用富有啟發(fā)性的問題串,引導(dǎo)形成傾斜角概念,讓概念生成水到渠成.

在“直線的傾斜角”的教學(xué)中,讓學(xué)生從“要確定一條直線,需要哪些幾何要素?”問題情境開始,挑戰(zhàn)一個(gè)操作性的問題,學(xué)生在動手操作的過程中,體會概念形成的必要性和必然性,傾斜角的概念生成水到渠成.問題由淺入深,層層遞進(jìn),學(xué)生在深入探究的過程中思考、歸納并總結(jié)規(guī)律,在這個(gè)過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),增強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性.這樣的數(shù)學(xué)概念教學(xué),過程自然而又體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),學(xué)生真正經(jīng)歷概念的探究過程,思維得到極大的發(fā)展,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的育人價(jià)值.

三、意義構(gòu)建,理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

深度學(xué)習(xí)特別重視對知識本質(zhì)的理解,基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)就必須重視對于概念本質(zhì)的理解,特別是要注重探索理解概念本質(zhì)的過程,為了幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),教學(xué)中可通過類比生活中的一些常識性的模型或概念,進(jìn)行有意義的構(gòu)建,理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).

直線的傾斜角與斜率(節(jié)選)

情境:除了用傾斜角、斜率刻畫直線的傾斜程度以外,日常生活中,還有沒有表示傾斜程度的量?

師:如圖,我們經(jīng)常用一些生活斜面的圖片,從“坡度”、“坡比”這兩個(gè)概念刻畫斜坡的傾斜程度.你們還記得坡比的概念嗎?

生:傾斜角α的正切值.

師:我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率.

傾斜角是90°的直線沒有斜率.傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切值叫作這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα(α≠90°).

傾斜角相同的直線,其斜率相同;傾斜角不同的直線,其斜率不同.因此,我們可以用斜率刻畫直線的傾斜程度.直線的傾斜角、斜率都是用來刻畫傾斜程度的,它們本質(zhì)上是一致的.傾斜角從形的角度刻畫傾斜程度,而斜率是比值,實(shí)質(zhì)是數(shù)值,它從數(shù)的角度反映傾斜的程度,顯然用斜率更細(xì)致入微些.

設(shè)計(jì)意圖:通過類比,由形的角度刻畫傾斜程度過渡到數(shù)的角度刻畫傾斜程度,得到斜率概念.

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)不應(yīng)該簡單地成為數(shù)學(xué)知識的傳遞,而要充實(shí)學(xué)生的知識基礎(chǔ)、完善學(xué)生的邏輯思維、發(fā)展學(xué)生科學(xué)理性的精神,即學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)也要經(jīng)歷掌握知識本質(zhì)的過程.在“直線的斜率”教學(xué)中,為了讓學(xué)生把握“斜率”的本質(zhì),先提供一下生活中的斜坡的圖片,然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)從“坡度”、“坡比”這兩個(gè)概念刻畫斜坡的傾斜程度,抽象出如何刻畫直線的傾斜程度.只有這樣充分經(jīng)歷認(rèn)識“斜率”本質(zhì)的過程,才能促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

四、靈活遷移,應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決問題

有學(xué)習(xí)就會有遷移,甚至“學(xué)習(xí)就是遷移”，“學(xué)習(xí)為了遷移”.“遷移”是經(jīng)驗(yàn)的擴(kuò)展與提升,“應(yīng)用”是將內(nèi)化了的知識外顯化、操作化的過程,也是將間接經(jīng)驗(yàn)直接化、將符號轉(zhuǎn)為實(shí)體、從抽象到具體的過程,是知識活化的標(biāo)志,也是學(xué)生學(xué)習(xí)成果的體現(xiàn).基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)必須做好“遷移與應(yīng)用”,讓學(xué)生參與概念的遷移并應(yīng)用的過程,使新概念成為學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物.這是學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)活動中經(jīng)歷的對未來要從事的社會實(shí)踐的初步嘗試,也是數(shù)學(xué)概念教學(xué)教育性的重要體現(xiàn).

基于深度學(xué)習(xí)的平面向量的實(shí)際背景及基本概念(節(jié)選)

問題10:觀察圖中的正六邊形,請給圖中的任意兩條線段加上箭頭表示向量,試說說它們間的關(guān)系,找出你認(rèn)為有特殊關(guān)系的向量?

設(shè)計(jì)意圖:不是先給出平行(共線)向量、相等向量的定義,再做練習(xí)鞏固,而是讓學(xué)生參與概念的定義過程,使概念成為學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物.教師組織學(xué)生進(jìn)行討論.

問題11:你是如何研究的?例如,你畫了哪幾個(gè)向量?你是由平面向量的什么屬性判斷它們的關(guān)系特殊?

設(shè)計(jì)意圖:不僅要關(guān)注結(jié)果,更要關(guān)注過程.尤其要挖掘?qū)W生應(yīng)用向量概念的思維過程.

歸納得到:

(1)從“方向”角度看,有方向相同或相反,就是平行向量,記為a∥b;

(2)從“長度”角度看,有模相等的向量,記為|a|=|b|;

(3)既關(guān)注方向,又關(guān)注長度,有相等向量a=b,相反向量a=-b.

我們規(guī)定:零向量與任意向量都平行,即0∥a.

在深度學(xué)習(xí)中,“遷移與應(yīng)用”是重要的學(xué)習(xí)方式而不只是對學(xué)習(xí)結(jié)果的檢驗(yàn)方式.在基于深度學(xué)習(xí)的平面向量的實(shí)際背景及基本概念教學(xué)中,在已經(jīng)生成向量的概念的基礎(chǔ)上,構(gòu)建具體的問題情景,讓學(xué)生在解決具體問題的過程中“遷移與應(yīng)用”,進(jìn)一步加深對于概念的理解.