基于“隱”圓背景下的一類平面向量模長問題

浙江

1.問題緣起

平面向量模長取值范圍問題是平面向量知識的一個重要考查方向.筆者發(fā)現(xiàn)這類問題常常會讓所求向量的終點(diǎn)落在一個定圓上,但問題表述的過程較為委婉,不會直白地指出這個圓的存在,給我們分析問題解決問題增加了難度.下面筆者就自己的解題感受,來談?wù)勅绾伟驯澈蟮摹半[”圓找出來,進(jìn)而窺視一下命題者命題時(shí)的想法.

2.平面幾何刻畫下的四類“隱”圓

在平面幾何中刻畫圓有四種方法:第一是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡；第二是定線段所對的角為直角,那么直角頂點(diǎn)的軌跡為圓；第三是定線段所對的角為定值,其頂點(diǎn)的軌跡為一個圓,即圓周角和弦長確定,可以確定一個圓；第四是一個凸四邊形對角互補(bǔ),可以產(chǎn)生四點(diǎn)共圓,這個凸四邊形可以確定一個圓.平面向量問題中的“隱”圓基本就是四種形式的向量表示,下面分別舉例加以說明.

2.1向量模長為定值下的“隱”圓

例題1:(2017年浙江省數(shù)學(xué)競賽)已知平面向量a,b,c，滿足|a|=1,|b|=2,|c|=3,0<λ<1,若b·c=0,則|a-λb-(1-λ)c|所有取不到的值的集合為________.

2.2向量垂直下的“隱”圓

例題2:(2018年4月杭州市高三二模第9題)記M的最大值和最小值分別為Mmax和Mmin,若平面向量a,b,c滿足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2.則

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圖1

圖2

通過條件的代數(shù)變化,得到向量垂直的代數(shù)結(jié)構(gòu),確定C點(diǎn)的軌跡為圓,這個圓本質(zhì)上就是一個直徑確定的圓.而我們需要做的是把問題中隱含的幾何關(guān)系解讀出來,那么結(jié)果就可以看出來了,下面我們再看一例.

例題3:(2019年1月紹興上虞高三期末考試填空壓軸題)向量a,b,c滿足|a|=|b|=|a-b|=c·(2a+b-c)=1,求|c-a|的取值范圍為________.

命題者的思維過程無非就是把這個幾何結(jié)構(gòu)用向量的代數(shù)關(guān)系式進(jìn)行表示,并進(jìn)行了一定的偽裝.

當(dāng)然我們也可用運(yùn)算的方式來刻畫阿波羅尼斯圓,由條件得|b|2=|2b-3e|2,化簡得b2-4b·e+3e2=0,所以(b-e)·(b-3e)=0.

事實(shí)上和阿波羅尼斯圓相關(guān)的向量代數(shù)結(jié)構(gòu),都可以轉(zhuǎn)化成這樣的形式.如果把這個問題中的b2-4b·e+3e2=0寫成b2-4b·e+3=0后,就變成了浙江省2018年高考的第9題:

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由例題4分析我們知答案為A.

2.3定弦對定角下的“隱”圓

回歸到初中的幾何知識同弧(弦)所對的圓周角相等.

2.4四點(diǎn)共圓下的“隱”圓

例題6:(浙江省2019學(xué)年第一學(xué)期五校聯(lián)考16題)已知向量a,b,c,其中|a-b|=2,|a-c|=1,b,c的夾角為60°,(a-b)(a-c)=-1,則|a|的最大值為________.

利用四點(diǎn)共圓,結(jié)合三角形正(余)弦定理,讓我們可以通過簡單的計(jì)算便可以獲得最終的結(jié)果,真所謂數(shù)形結(jié)合百般好.

3.寫在最后

事實(shí)上“隱”圓是命題者構(gòu)造問題的幾何背景,命題的過程是將這個圓的幾何特征用代數(shù)的語言來進(jìn)行描述.對于解題者來說,根據(jù)向量的代數(shù)關(guān)系通過建系用解析法來處理固然可以,但此時(shí)重在向量的計(jì)算能力的考查.

但如果解題過程中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)幾何結(jié)構(gòu)背景分析,可以發(fā)現(xiàn)以上四類問題共同的“源”是“隱”圓,無非是借助了圓本身蘊(yùn)含的幾種不同的幾何性質(zhì).解題教學(xué)的過程中要借助直覺思維和邏輯推理達(dá)成解題者對數(shù)學(xué)的整體理解,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識,追求結(jié)構(gòu)體系的至精至簡.